名师教案 高中数学人教A版 必修 第一册 正弦函数、余弦函数的图象

课时教学设计：5.4.1正弦函数、余弦函数的图象一、内容和内容解析1.内容正弦函数、余弦函数的图象，包括正弦函数、余弦函数图象的画法．2.内容解析正弦函数、余弦函数是一类基本初等函数，作为函数的下位知识，对于它们的研究基本遵从函数图象与性质的研究思路，可以类比、对比指数函数、对数函数等展开研究：绘制函数图象—观察图象、发现性质—证明性质．首先是关于正弦函数的图象，绘制一个新函数图象的基本方法是描点法，如果能多描出一些点，那么就可以使绘制的图象更精确．但是正弦函数在内，如何实现绘制的精确度呢？这是先要解决的问题．为此，先解决精准绘制某一个点，的问题，此处关键是要理解横坐标的意义，其本质在于对三角函数定义的理解：根据正弦函数的定义可知，在单位圆中，点的横坐标的本质是以为始边，以为终边的角，因此，，如图1所示．过点作x轴，垂足为，则线段的长即为，于是对于任意一个横坐标，其纵坐标可以用几何方法精准描出．CC图1精准绘制一个点的问题解决之后，即可用相同的方法描出其他的点，进而描出正弦函数在一个周期内的图象，并通过平移描出正弦函数的图象．这个过程充分体现了从特殊到一般的研究方法．在此基础上，通过平移变换，画出余弦函数图象．基于以上分析，确定本课时的教学重点：正弦函数、余弦函数的图象．二、目标和目标解析1.目标（1）经历绘制正弦函数图象的过程，掌握描点法，掌握绘制正弦函数图象的“五点法”．（2）经历绘制余弦函数图象的过程，理解其中运用的图象变换的思想．2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）学生能先根据正弦函数的定义绘制一个点，再绘制正弦函数在一个周期内的图象，最后通过平移得到正弦函数的图象；能说出正弦函数图象的特点，并能用五点法绘制正弦函数的图象．（2）学生能用图象变换的方法，由正弦函数的图象绘制余弦函数的图象，并能就一个具体的点清晰地解释图象的变换方式及原因：能用“五点法”绘制余弦函数的图象．三、教学问题诊断分析学生之前拥有丰富的绘制函数图象的经验，但是利用定义的几何意义绘制函数图象是第一次，因此在思维习惯上存在障碍，教学时要给予充分的引导，特别强调要准确地绘制出两函数的图象这一要求，让学生感受到这种做法的困难，然后从三角函数的定义上分析点的坐标的几何意义，让学生真正理解．绘制函数任意一点的操作存在困难．为此，可以先选定一个点的横坐标，然后用“手工细线缠绕”的方法找到弧：找一根没有弹性的细线，在x轴上量出横坐标的长度，然后将长度为的细线以为起点沿逆时针方向缠绕在单位圆上，细线的末端就是，于是图象上的点随之确定．本课时的教学难点是：掌握准确绘制函数图象一个点的方法，并由此绘制出正弦函数的图象．四、教学支持条件分析绘制正弦函数图象的关键是准确地绘制图象上的一个点，为此可让学生用“手工细线缠绕”的方法，使用自制教具完成．也可以利用信息技术完成．后续让学生描出其他的点，并连线描出正弦函数在一个周期内的图象时，同样可以利用信息技术完成．五、教学过程设计（一）规划研究方案，形成研究思路问题1：三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数，按照函数研究的方法，学习了三角函数的定义之后，接下来应该研究什么问题？怎样研究？追问：（1）研究指数函数、对数函数图象与性质的思路是怎样的？（2）绘制一个新函数图象的基本方法是什么？（3）根据三角函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域上的函数图象吗？选择哪一个区间即可？师生活动：教师提出问题，学生回忆函数研究的路线图，师生共同交流、规划，完善方案预设的答案如下．研究的线路图：函数的定义—函数的图象—函数的性质．绘制一个新函数图象的基本方法是描点法．对于三角函数，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周又回到原来的位置，这一特性已经用公式一：表示，据此，可以简化对正弦函数、余弦函数图象与性质的研究过程，比如可以先画函数，的图象，再画正弦函数，的图象．设计意图：规划研究方案，构建本课时的研究路径，以便从整体上掌握整个课时的学习进程，形成整体观念．（二）正弦函数的图象问题2：绘制函数的图象，首先需要准确绘制其上一点．对于正弦函数，在上任取一个值，如何借助单位圆确定正弦函数值，并画出点？追问（1）：根据正弦函数的定义思考，一个点的横坐标在单位圆上表示哪个几何量？的几何意义又是什么？师生活动：教师引导学生，根据定义分析确定，对应的几何量．追问（2）：根据上述分析，如何具体地作出点？师生活动：学生思考后，通过提前准备的工具尝试绘制这个点．具体的操作：方法1:“手工细线缠绕”法（具体操作办法见“教学问题诊断分析”）．方法2:利用信息技术．设计意图：教师引导学生剖析一个点的画法，深化对正弦函数定义的理解．通过分析点的坐标的几何意义，准确描点．问题3：我们已经学会绘制正弦函数图象上的某一个点，类比指数函数、对数函数图象的画法，接下来，如何画出函数，的图象？你能想到什么办法？师生活动：学生给出设想，选择一种或者多种适合的方法实施．预设的答案：方案1：在区间内任取一些横坐标的值，按照上述方法逐一绘制，再用光滑的曲线连接．方案2：为方便操作，可以在区间内取等分点，按照上述方法逐一绘制，再用光滑的曲线连接．追问：这两种绘制方法的异同是什么？（两种方法本质相同，在信息技术条件支持下都容易实现，在手工操作的条件下，用方案2比较可行）．师生活动：学生用方案2绘制函数图象，教师借助信息技术，用方案1绘制函数图象．设计意图：确定画出一个周期内正弦函数图象的方法并实施，同时体会信息技术给数学研究带来的便捷．问题4：根据函数，的图象，你能想象正弦函数，的图象吗？依据是什么？画出该函数的图象．师生活动：学生画图，教师予以指导．预设的答案：根据公式一，可知函数，，且的图象与，的图象形状完全一致．因此将函数，的图象不断向左、向右平移（每次移动个单位长度），就可以得到正弦函数，的图象，如图2所示．图2教师指出，正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．设计意图：绘制函数，的图象，并培养说理的习惯．问题5：如何画出函数，图象的简图？追问：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？师生活动：教师提出问题，引导学生观察图2，并说出他们的想法．预设的答案：观察图2，在函数，的图象上，五个点，，，，在确定图象形状时起关键作用．因此只要描出这五个点，按照正弦函数图象的走势，并用光滑的曲线将之连接就可以画出函数的简图，称为“五点法”设计意图：观察函数图象，概括其特征，获得“五点法”画图的简便画法．（三）余弦函数的图象问题6：如何画出余弦函数的图象？师生活动：学生可能会类比正弦函数图象的画法，提出用类似的方法画余弦函数的图象，对此教师应予以肯定，并进一步提出追问的问题．追问（1）：由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切相关的函数．诱导公式表明，余弦函数和正弦函数可以互化．相应地，能否通过对正弦函数图象进行变换得到余弦函数的图象？师生活动：学生先用排除法观察诱导公式，选择简洁的公式，作为正弦函数、余弦函数关系研究的依据，教师引导学生通过比较进行选择．从数的角度看，可以选择关系．记，则．因此函数的图象，可以看作将函数的图象上的点向左平移个单位得到．追问（2）：你能在两个函数图象上选择一对具体的点，解释这种平移变换吗？师生活动：这是教学的难点，教师要首先进行示范．教师可以先选择一个具体的点，进行分析，然后上升到对一般点的分析，得到图象之后还可以再利用图象进行验证．预设的答案：设是函数图象上任意一点，则有．令，则，即在函数图象上有对应点．比较两个点：与．因为，即．所以点可以看做是点向左平移个单位得到的，只要将函数图象上的点向左平移个单位可得到函数的图象，如图3所示：图3教师指出，余弦函数，的图象叫做余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪形”曲线．设计意图：利用诱导公式，通过图象变换，由正弦函数的图象获得余弦函数图象；增强对两个函数图象之间的联系性的认识．问题7：类似于用“五点法”作正弦函数图象，如何作出余弦函数的简图？追问：余弦函数在区间上相应的五个关键点是哪些？请将它们的坐标填入下表，然后作出，的简图．x设计意图：观察余弦函数图象，掌握其特征，获得“五点法”．（四）例题例1画出下列函数的简图：（1），；（2），．师生活动：学生先独立完成，然后就解题思路和结果进行展示交流，教师点评并给出规范的解答．解：（1）按五个关键点列表：x00101012101描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图4）：图4（2）按五个关键点列表：x01010110101图5设计意图：巩固学生对正弦函数、余弦函数图象特征的掌握，熟练“五点法”画图，掌握画图的基本技能．通过分析图象变换，深化对函数图象关系的理解，并为后续的学习作好铺垫．练：在同一直角坐标系中，画出函数，，的图象．通过观察两条曲线，说明他们的异同．解：可以用“五点法”画出它们的图象，还可以用信息技术画出它们的图象．两条曲线形状相同，位置不同，例如函数，的图象，可以通过函数，的图象向右平行移动个单位长度而得到．练：用五点法分别画下列函数在上的图象：（1）；（2）．解：（1）按五个关键点列表：x0101001010图6（2）按五个关键点列表：x0101013212图7练：函数，的图象与直线（为常数）的交点可能有（）．（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个（E）4个分析：先画出函数，的图象，分情况讨论取不同范围的值时，交点个数的情况．解：画出函数，的图象，如下图．结合图象，讨论取不同范围的值时，交点个数的情况：（结合动图）当或时，与图象无交点；当或时，与图象有1个交点；当时，与图象有2个交点．所以，选ABC．（五）课堂小结教师引导学生回顾本节课的学习内容，回答下面的问题：（1）正弦函数、余弦函数的图象