广东省东莞市2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版）

第1页/共1页2021－2022学年度第一学期教学质量检查高一数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求集合A，再由集合的交运算求即可.【详解】由，又，∴.故选：C.2.已知命题p：，，则为（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】全称命题的否定定义可得.【详解】根据全称命题的否定，：，.故选：C.3.若，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由不等式的性质判断A、B、D的正误，应用特殊值法的情况判断C的正误.详解】由，则，A正确；，B错误；，D错误.当时，，C错误；故选：A4.已知扇形的面积为，当扇形的周长最小时，扇形的圆心角为（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】先表示出扇形的面积得到圆心角与半径的关系，再利用基本不等式求出周长的最小值，进而求出圆心角的度数.【详解】设扇形的圆心角为，半径为，则由题意可得∴，当且仅当时,即时取等号，∴当扇形的圆心角为2时,扇形的周长取得最小值32.故选：B.5.若函数图象上所有点的横坐标向右平移个单位，纵坐标保持不变，得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题设可得，根据已知对称性及余弦函数的性质可得，即可求的最小值.【详解】由题设，关于轴对称，∴且，则，，又，∴的最小值为.故选：B.6.如图，质点在单位圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为2，则点到轴距离关于时间的函数图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用角速度先求出时，的值，然后利用单调性进行判断即可【详解】因为，所以由，得，此时，所以排除CD，当时，越来越小，单调递减，所以排除B，故选：A7.对于任意的实数，定义表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分必要性分别判断即可.【详解】若，则可设，则，，其中，，，即“”能推出“”；反之，若，，满足，但，，即“”推不出“”，所以“”是“”必要不充分条件，故选：B.8.已知函数在区间上的值域为，对任意实数都有，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据关于对称，讨论与的关系，结合其区间单调性及对应值域求的范围.【详解】由题设，，易知：关于对称，又恒成立，当时，，则，可得；当时，，则，可得；当，即时，，则，即，可得；当，即时，，则，即，可得；综上，.故选：D.【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质，讨论其对称轴与给定区间的位置关系，结合对应值域及求参数范围.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9.已知函数，则其图像可能为（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】按照，，讨论的取值范围，利用排除法解决.【详解】，，定义域需要挖去一个点，不是完整的直线，A选项错误；时，在上递增，也在递增，两个增函数相加还是增函数，即在上递增，故D选项错误，C选项正确.；时，由对勾函数的性质可知B选项正确.故选：BC.10.图中阴影部分所表示的集合是（）

A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据Venn图，由集合运算的概念，即可得出结果.【详解】阴影部分所表示的集合中的元素属于N，不属于M，故其表示集合或．故选:AC．11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.为偶函数B.的周期为C.在上单调递减D.在上有3个零点【答案】AD【解析】【分析】A由奇偶性定义判断；B求的解析式，判断与是否相等；C由条件可得，结合正弦函数性质判断单调性；D由题设得，根据正余弦函数的性质画出图象，数形结合判断零点个数.【详解】A：且定义域为R，即为偶函数，正确；B：，错误；C：在上，又，故在上不单调，错误；D：在上，故其图象如下：∴在上有3个零点，正确.故选：AD.12.已知正数满足，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】为将正数“提取”出来分析，需要进行取对数操作，利用换底公式得到的等量关系从而判断AB，利用作差法和基本不等式可判断CD.【详解】设，是正数，于是，两边同时取自然底的对数，得到，也即，不一定成立，A选项错误；，，B选项正确；，故只需比较的大小即可，而，又，于是，C选项错误；，而根据基本不等式可得，即，故，故，D选项正确.故选：BD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上．13.等于_______.【答案】【解析】【分析】直接利用诱导公式即可求解.【详解】由诱导公式得：.故答案为：.14.声强级L（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：W/m2）.声强级为60dB的声强是声强级为30dB的声强的______倍.【答案】1000【解析】【分析】根据已知公式，应用指对数的关系及运算性质求60dB、30dB对应的声强，即可得结果.【详解】由题设，，可得，，可得，∴声强级为60dB的声强是声强级为30dB的声强的倍.故答案为：1000.15.若函数满足以下三个条件：①定义域为R且函数图象连续不断；②是偶函数；③恰有3个零点.请写出一个符合要求的函数___________.【答案】（答案不止一个）【解析】【分析】根据偶函数和零点的定义进行求解即可.【详解】函数符合题目要求，理由如下：该函数显然满足①；当时，，所以有，当时，，所以有，因此该函数是偶函数，所以满足②当时，，或，当时，，或舍去，所以该函数有3个零点，满足③，故答案为：16.如图1，正方形ABCD的边长为2，点M为线段CD的中点.现把正方形纸按照图2进行折叠，使点A与点M重合，折痕与AD交于点E，与BC交于点F.记，则_______.【答案】【解析】【分析】设，则，利用勾股定理求得，进而得出，根据正弦函数的定义求出，由诱导公式求出，结合同角的三角函数关系和两角和的正弦公式计算即可.【详解】设，则，在中，，所以，即，解得，所以，所以在中，，则，又，所以.故答案：四、解答题:本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17已知集合，.（1）分别判断元素，与集合A，B的关系；（2）判断集合A与集合B的关系并说明理由.【答案】（1），，，；（2），理由见解析.【解析】【分析】（1）根据集合的描述，判断是否存在使，属于集合A，B即可.（2）法一：由（1）结论，并判断是否有，即知A与B的关系；法二：={x|x是的整数倍}，={x|x是的奇数倍}，即知A与B的关系；【小问1详解】法一：令，得，故；令，得，故.同理，令，得，故；令，得，故.法二：由题意得：，又，故，；，.【小问2详解】法一：由（1）得：，，故；又，，由，得，故，所以，都有，即，又，所以.法二：由题意得={x|x是的整数倍}，={x|x是的奇数倍}，因为奇数集是整数集的真子集，所以集合B是集合A的真子集，即.18.已知，.（1）求；（2）若，，求，并计算.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的关系可得.（2）将写成，再用两角差的余弦求解；由可求，先化简再代入求解.【小问1详解】，且，解得，，所以.【小问2详解】因为，，所以，所以，所以.因为，，所以，，所以.19.给定函数，，，用表示，中的较大者，记为.（1）求函数的解析式并画出其图象；（2）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），作图见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，分类讨论，结合一元二次不等式的解法进行求解并画出图象即可；（2）构造新函数，利用分类讨论思想，结合二次函数的性质进行求解即可.【小问1详解】①当即时，，则，②当即或时，，则，故图象如下：

【小问2详解】由（1）得，当时，，则在上恒成立等价于在上恒成立.令，，原问题等价于在上的最小值.①当即时，在上单调递增，则，故.②当即时，在上单调递减，在上单调递增，则，由时，，故不合题意.综上所述，实数的取值范围为.20.已知函数的图象在直线的下方且无限接近直线.（1）判断函数的单调性（写出判断说明即可，无需证明），并求函数解析式；（2）判断函数的奇偶性并用定义证明；（3）求函数的值域.【答案】（1）函数在上单调递增，（2）奇函数，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据函数的单调性情况直接判断；（2）根据奇偶性的定义直接判断；（3）由奇偶性直接判断值域.【小问1详解】因为随着增大，减小，即增大，故随增大而增大，所以函数在上单调递增.由的图象在直线下方，且无限接近直线，得，所以函数的解析式.【小问2详解】由（1）得，整理得，函数定义域关于原点对称，，所以函数是奇函数.【小问3详解】方法一：由（1）知，由（2）知，函数图象关于原点中心对称，故，所以函数的值域为.方法二：由，得，得，得，得，得，所以函数的值域为.21.已知函数，其中.（1）若函数的周期为，求函数在上的值域；（2）若在区间上为增函数，求的最大值，并探究此时函数的零点个数.【答案】（1）（2）最大值为，6个【解析】【分析】(1)根据正弦的二倍角公式和辅助角公式可得，利用求出，进而求出，结合三角函数的性质即可得出结果；(2)利用三角函数的性质求出的单调增区间，根据题意和集合之间的关系求出；将问题转化为函数与的图象交点的个数，作出图形，利用数形结合的思想即可得出答案.【小问1详解】由，由周期为且，得，解得，即，由，得，故，所以函数在上的值域为.【小问2详解】因为在区间上单调递增，故在区间上为单调递增．由题知，存在使得成立，则必有则，解得，故，所以的最大值为.当时，函数的零点个数转化为函数与的图象的公共点的个数.画图得：由图知与的图象的公共点的个数共6个，即的零点个数为6个.22.如图，已知直线//，是直线、之间的一定点，并且点到直线、的距离分别为1、2，垂足分别为E、D，是直线上一动点，作，且使与直线交于点.试选择合适的变量分别表示三角形的直角边和面积S，并求解下列问题：（1）若为等腰三角形，求和的