高中数列问题中的数学思想方法

高中数列问题中的数学思想方法摘要数列是高中数学的重要内容，在高考中占有重要的地位.数列问题中蕴含思想方法十分丰富，掌握这些思想方法有助于提高解决数列问题的能力.本文分析了高中数列知识的重点，难点，热点等问题，研究了数列问题中蕴含的函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法，并给出了一些典型例题.这些研究将有助于提高老师对数列知识的教学水平，并且提高了学生解决数列问题的能力.关键词：数列问题；数学思想；方法ThenumberofcolumnsinhighschoolmathematicalthinkingproblemAbstract：Thenumberofcolumnsisanimportantpartofhighschoolmathematics,occupieanimportantpositionintheentrance.Thenumberofcolumnsinquestioncontainsawathinkingisveryrich,mastertheseideologicalapproachhelpsimprovetheabilitytosseriesproblem.Thispaperanalyzesthehighschoolseriesknowledgeofmajoranddiffihotspotsandotherissues,thenumberofcolumnstostudythefunctionofideologicalinherentintheequationthinking,thinking,etc.classificationdiscussionofmathematicalthinking,andgivessometypicalexamples.thesestudieswillhelptoincreasethenumcolumnsteacherteachingknowledgelevel,andimprovetheabilityofstudentstosolvetheproblemofthenumberofcolumns.Keywords:NumberSequence;mathematicalthinking;method目录引言........................................................................................文献综述....................................................................................国内外研究现状...............................................................................国内外研究现状评估..........................................................................提出问题....................................................................................数列的重点，难点，热点问题.................................................................重点——等差与等比数列的基础知识...........................................................热点——数列求和与求通项....................................................................难点——和项与通项间的递推关系............................................................数列问题中的数学思想方法....................................................................函数思想....................................................................................4.2方程思想......................................................................................分类讨论思想................................................................................等价转化思想................................................................................整体思想....................................................................................递推思想....................................................................................4.7归纳、猜想与证明思想........................................................................115结论........................................................................................5.1主要发现...................................................................................启示........................................................................................局限性......................................................................................5.4努力方向...................................................................................参考文献：...................................................................................1引言数列问题在高中主要考察学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力.在解决数列问题时注意应用通性通法，不宜考虑的太复杂，考虑的太难；题目构造上有时以函数、不等式、解析几何等为背景，因此题目包含了方程的思想、函数数学思想等.数列中涉及累加、累乘、错位相减等多种计算方法，这些方法，不仅提高了学生的思维能力，让学生看到了数学的神奇；数列问题中渗透递归的思想、极限思想，这些都是初等数学与高等数学重要的衔接点，在教学中适当的渗透对培养学生思维能力、做好初等数学与高等数学的衔接有积极意义.学好数列知识不仅在个人投资理财方面有较为广泛的应用外，在企业经营管理上也是不可或缺的.需要中学生做过大量的数列问题的题吧！虽然这些问题是从实际生活中抽象出的略高于生活的问题，但他们是数学习题中最能反映数学知识与实际生活密切关系的一类问题.因此，解答数列有关的应用问题学会这些思想将有助于中学生对数学在日常生活中广泛应用的理解和认识.2文献综述2.1国内外研究现状现查阅到的参考文献中，分别就数学思想方法解题中的应用做出了说明.其中在文献[1]、[4]、[8]中关于数列问题的解决过程中提出了很多种数学思想方法，还考察了数学思维能力和数学思想方法的好素材.杨亢尔在文献[2]中一个数列递推公式和一类应用题的解法中，把递推思想方法呈现出了这种方法在解决数列问题上的新颖性。林明霞在文献[3]中应用了典型的例题来说明相关数学思想方法在解决数列问题的优越性.在参考文献[5]中单独就说明了数形结合思想在解决数列问题的独特性.田照亮在文献[6]中谈到应用数学思想方法的经典例题来解决了数列问题.在文献[7]中就数列中的数学思想方法进行了说明.在文献[9-15]中都在应用近几年在高考数学中就数列问题中出现的七种数学思想方法题型进行了分析总结.2.2国内外研究现状评估文献[1-15]中分别就数学思想方法的重要性及数学思想方法在数列解题中的应用举例做出了说明.文献中主要阐述了七种数学思想方法在数列解题中的应用，没有介绍关于七种数学思想方法的经典例题及解题技巧.对中学和大学数学课程中数学思想方法的应用没有做系统全面的概述总结，同时在学生具体解题应用中出现的问题也没有更加深入的阐述．2.3提出问题部分高中生已掌握在数列问题中的数学思想方法，有较强的学习能力，数学学习过程中也会根据教师的指导，除学好基础知识外，还会总结数学思想方法在数学解题中的应用，很多学生仅仅只是理解高中的基础知识都很困难，更谈不上用数学思想方法来解决数列中的问题．在利用数学思想方法进行解题的时候常常难以掌握各种思想的度.因此，除对数学思想方法在高中数学中的具体应用作介绍外，还需对应用数学思想方法过程中学生可能遇到的难点及解决办法作探讨，包括对使用这些方法的目的、作用作阐述．3数列的重点，难点，热点问题数列在高中的课程中尤其重要，然而就数列有关问题我们从它的重点，难点，热点等问题进行解析，应用七种数学思想方法来探讨它们在数列问题中的解法及其应用.通过这些思想方法我们可以来了解数列的重点，难点，热点问题，从而突显出数学思想方法的重要性.3.1重点——等差与等比数列的基础知识（一）基础知识从第二项起每一项与前一项的差是同一个常数，这是等差数列的本质，其符号语言：aad(nN*,n2)或aaaa(nN*)则是学生逻辑思维的基础，从nn1n2n1n1naaaa(nN*)中虽未看到常数，但却深信“差等”的事实，不能不说是抽n2n1n1n象符号的神奇；而由定义出发产生的等差数列的通项公式却隐藏着研究数列问题的诸多方法：归纳法、迭加法、迭乘法、迭代法，为学习一般数列提供了知识保障；等差数列前n和公式的推导过程中使用了加两次（倒加法）的思想方法，其几何特征类似于梯形的面积公式.（二）基本思维横向类比思维可轻松地掌握等比数列相关知识及其产生过程中的数学方法；若能感悟出两种数列间类比的“规则”，便可从等差数列相关知识出发经大胆猜想发现等比数列可能具有的相应知识.如上海高考题:“在等差数列a中，若a0， n 10则有等式aaaaaa(n〈19，n是正整数). 1 2 n 1 2 19n而逆向探索思维则可深化两数列的基础知识，下仅以等差数列为例说明之：从等差数列的通项公式出发逆向探索发现，若aab，则数列{a}是等差数列；可见，等n n n差数列就是一次函数或常函数.从前n项和公式出发探索发现,若数列{a}的前n项和nn(aa)为S=an2+bn,则数列{a}是等差数列；若数列{a}的前n项和S1n，则数列nnnn2{a}是等差数列.前者不仅告诉我们等差数列与二次函数密切相关,而且教会我们怎样由n和项去求通项；而后者则结出了处理涉及和项与通项的递推公式的一般思维方法.（3）基本方法因等差(比)数列是由首项与公差(比)确定的,故称首项与公差(比)为等差(比)数列的基本量；因此，大凡涉及等差(比)数列的数学问题,我们总希望通过等差(比)数列的基础知识并结合条件去求出首项与公差(比)、或它们间关系，从而达到解决问题之目的，这种方法就是等差（比）数列特有的基本量方法；简言之,就是用基本量去统一条件与结论而达到解决等差（比）数列相关问题的方法.3.2热点——数列求和与求通项通过两个基本数列的学习，在化归与转化中认识更多的数列，是数列教学的隐性目标.而在数列的学习中最能充分体现知识应用的没过于数列求和与求通项了,它们也恰好构成了数列研究的热点.数列求和这里系指求数列的有限的前n项之和.若为等差(比)数列,则直接用公式求和；若非等差（比）数列，则需寻找间接求和的方法.一般地,当数列的通项为分式时,常考虑用“裂项相消法”去求前n项和；当数列的通项恰好是等差数列与等比数列相应项的积时，则必用“错位相减法”，此乃推导等比数列求和公式时的数学方法；当通项可分解成等差或等比数列相应项的代数和时，一般选用“分组求和法”.通过数列求和的复习教学,务必让学生把握求和的基本思维途径:抓通项—思变形—选方法.数列通项已知数列的前几项,写出它的一个通项公式时,通常用观察法.我们有时未必能观察出它的通项公式,这时不妨尝试观察它们任意相邻两项间的相依关系,如对于数列1,3,7,13,21,31,…，若不能直接发现a=n(n-1)+1,则通过观察出递推关系na-a=2(n-1)再用迭加或迭代法便可求出通项公式, .总之,观察是一切能力的基础,n n1在数列学习中显得尤其珍贵.已知数列{a}的前n项和S,求a,用公式法,即ass(n2).具体解题时需n n n n n n1看清问题的本质并注意分类讨论.已知递推公式求通项公式,常考虑用转化法.一个数列可以不是等差或等比数列,但通过代数变行或变换,其倒数、平方产生的相应数列却可能是等差数列，其相应项加1后产生的数列可能恰好是等比数列…….通过学习积累对递推公式转换的经验,乃至发现较一般的解题模型显得尤为重要.在此,作为线性递推公式:apaq(p0,q0,p1),便是我们学习与积累的基点. n1 n由aap(aa)知{a-a}是等比数列,从而可用迭加法求通项公式；n2n1n1nn+1n由apaqp(paq)qp2apqqn n1 n2 n2p2(paq)pqqp3ap2qpqq=…n3 n3 q(1pn1)pn1apn2qpn1qLqpn1a，通过有限次迭代便产生一 1 1 1p个对于所有正整数都成立的无穷的结论；将apaq用待定系数法变形为n1 n q q qap(a)，则{a}是公比为p的等比数列，问题也可迎刃而解.n1p1 np1 np1总之,线性递推既给我们微观上提供了转换的三种基本方法,又为我们宏观上把握一类问题提供了一般规律.例1由原点i向曲线y=f(x)=x3-3ax2+bx(a是正常数)引切线,切于不同于点i的点P(x,y),再由P引此曲线的切线,切于不同于P的点P(x,y),如此继续下 1 1 1 1 1 2 2 2去……，得到点列{P(x,y)}.(1)求x与x的关系；(2)求证：当n为正偶数时， n n n n n+1x〈a；当n为正奇数时，x〉a.n n解:(1)设过P的切线与曲线y=f（x）相切于（x，y），则切线方程为 n 0 0yyyf(x)(xx)，因点P上此切线上，故yyf(x)(xx)，0 0 0 n n 0 0 n 0又yx33ax2bx,yx33ax2bx， 0 0 0 0 n n n n所以(x33ax2bx)(x33ax2bx)(3x26axb)(xx), n n n 0 0 0 0 0 n 0 1 3整理得：(xx)2(2xx3a)0，解得，xx或xxa.n 0 n 0 n 0 2n23故由题设知,xxa. n1 2n2 1 1(2)题(1)中的递推公式可变形成xa(xa),可见{x-a}是公比为的 n1 2n n 2 1 1等比数列,由题意可令x=0,则x-a=(-a)()n,即x=[1-()n]a.从而,当n为正n 2 n 21偶数时，∵()n>0,∴x〈a；当n为正奇数时，∵()n<0,∴x〉a.n 2 n说明:本例关键在于寻找相邻两次离散现象间的相依关系.如果你不能像本例那样直接求出递推公式，那么不妨尝试由x去推x，x去推x…，进而发现一般方法与 1 2 2 3结论.3.3难点——和项与通项间的递推关系涉及和项与通项间的递推关系问题，常成为学生学习的疑点或盲点.一方面,他们未能牢固掌握解决此类问题的一般的思维方式:即首先利用公式bss(n2) n n n1从递推式f(bn,sn)0中消去bn或sn使递推式得以简化，再思考能否从简化的递推式中发现与b或sn相关的特殊数列,甚至是走“实验—观察—归纳—猜想—证明”的n探索之路；另一方面,在应用公式bss(n2)对递推式f(b,s)0进行变换 n n n1 n n的过程中，常忽视n取值范围（函数观点下的定义域）的变化，而使求解与论证失去严谨性.2n1例2已知数列{b}的前n项和为s，且s1b(nN).(1)设x=（2n+1） n n n 2 n ns，求证：数列{x}为等差数列；(2)当n2时，求证：n n1 1 1 1 5 L .x2x2x2 x232n n1 n2 2n2n1证明：（1）因bSS，故由条件知：s1(ss)(n1)，整理 n n n1 n 2 n n1得(2n1)s(2n1)s2，即x=x+2，故数列{x}是公差为2的等差数列. n n1 n+1 n n2n1(2)在s1b(nN)中令n=1，得s=2/3,再据（1）知，x=3s+2（n-1） n 2 n 1 n 1=2n，故当n2时， 1 1 1 1 11 1 1 1 L [ L ]x2x2x2 x24n2(n1)2(n2)2 (2n)2n n1 n2 2n 11 1 1 1 [ L ]= 4n21(n1)21(n2)21 (2n)21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [( )( )( )L()( )]8n1n1 nn2 n1n3 2n22n 2n12n111 11 1 11 1 1 11 1 =( )=( )()8n1n2n2n18n12n2n18n12n11 1 5 ( ).8212232说明：对第(2)小题，可证原不等式左边是关于n的递减函数，从而求出n=2时左边的最大值，并证明此值小于5/32.4数列问题中的数学思想方法数学思想方法是数学知识的精髓,是知识转化为能力桥梁.能否有意识地正确运用数学思想方法解答数学问题，是衡量数学素质和数学能力的重要标志．数列中蕴涵了许多重要的数学思想，在数列教学中注重数学思想方法的挖掘与渗透具有十分重要的意义．4.1函数思想函数思想是用联系和变化的观点考察数学对象.数列是一类特殊的函数,以函数的观点认识理解数列，是解a决数列问题的有效方法.n例3等差数列a的前n项和为s.已知a=25，s=s问数列的多少项和最大?n n 1 9 17分析:易知所给数列a不是常数列,等差数列的前n项和s是n的二次函数，且常n n数项为零,所以可利用函数思想研究s的最值.n解:由a=25，s=s得 1 9 1798 17161 2 1 2n(n1)9a d17ad,d2.从而s25n(2)(n13)2169;n 2故前13项的和最大,其最大值为169.小结：利用二次函数的性质解决等差数列的前n项和的最值问题，避免了复杂的运算过程.4.2方程思想方程思想就是通过设元建立方程,研究方程解决问题的方法.在解数列问题时,利用等差、等比数列的通项公式、求和公式及性质构造方程（组），是解数列问题基本方法.例4等差数列a的前n项和为s，若s84,s460，求s. n n 12 20 28分析:解此题的关键是求出数列的通项公式,可利用已知条件列出关于a和d的方1程组求出基本量a和d,也可用待定系数法确定s. 1 n解法1:设等差数列a的首项为a,公差为d,根据已知条件和等差数列的前n项和n 1公式得 1211 s1212a12d84, a15 解得 s2020a120219d460, d4n(n1)s15n42n217n. n 2从而s228217281092.28解法2:易知所给等差数列不是常数列,所以它的前n项和s可设为san2bn,由n n已知条件得122a12b84, a2 解得1 20220b460, b17∴s2n217n,s228217281092.n 28小结：方程思想是数学解题中常用的基本思想方法之一，注意到方程思想在数列间题中的应用.常可以简洁处理一些其他思想方法难以解决的数列问题4.3分类讨论思想复杂问题无法一次性解决,常需分类研究,化整为零,各个击破.数列中蕴含着丰富的分类讨论的问题.分类讨论是一种逻辑方法,同时又是一种重要的解题策略,在数学解题中有广泛的应用.所谓分类讨论,是在讨论对象明确的条件下,按照同一的分类标准,不重复、不遗漏、不越级的原则下进行的.它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.例5已知数列b的前n项和sn218n，试求数列b的前n项和T的表达式. n nn n分析:解题的关键是求出数列b的通项公式,并弄清数列b中各项的符号以便化 n n去b的绝对值.故需分类探讨．n解:当n=1时,bs1218117; 1 1当n≥2时,bssn218nn1218n192n.n n n1∴当1≤n≤9时,b0,当n≥10时,b0.从而 n n当1≤n≤9时,T=bbb n 1 2n=bbbsn218n;1 2 n n当n≥10时,T=bbb n 1 2n=bbbbbs2s1 2 9 10 n n 9n218n2(92189)n218n162.n218n,(1n9)∴T= nn218n162,(n10)小结：数列中的分类讨论多涉及对公差d、公比q、项数n的讨论,特别是对项数n的讨论成为近几年高考的热点.4.4等价转化思想等价转化就是将研究对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象,使之成为大家熟悉的或容易解决的问题.这是解决数列问题重要方法.例6等差数列b的前n项和为s,b6.若中,s最大,数列b4的前多少项n n 1 8 n和最大?分析:求s的最大值有多种转化方法.本题可将s满足的要求转化为公差d满足的n n要求；再将k所满足的条件转化为它的几何意义，借助图示直接写出结果.解:设数列b的公差为d,则s最大b80,67d0,6d3. n 8 b90;68d0. 7 4设b4的前k项和最大,则有2(k1)d0,且2kd0,故有2k12.（*）n dd6 37 287 43 d32 2所以：d,.如图，数轴的两个阴影区间中，左边是的取值范围，右边是1的取值范围，（*）d d的成立等价于k取两个区间之间的自然数，所以k=3，即b4的前3项和最大.n小结：本题借助图形来解决数列问题，也显示出了等价转换思想在解决数列问题方面的重要作用.4.5整体思想整体思想就是从整体着眼,通过问题的整体形式、整体结构或其它整体处理后，达到简捷地解题的目的.例7已知数列b为等差数列，前12项和为354，前12项中奇数项和与偶数项和n之比为27:32,求公差d.分析:此题常规思路是利用求和公式列方程组求解，计算量较大,注意考虑用整体思想去解决,解法十分简捷.解:由题意令奇数项和为27x,偶数项和为32x.因为：s27x32x59x354,所以：x6.12而32x27x5x306d,d5.小结：解决此题如果不把它与整体思想联系起来，那么直接解决要走很多弯路也不容易直接求出它的准确答案，因此此题应用了整体思想来解决了数列问题是非常重要的.4.6递推思想递推思想就是通过探求、构造和运用所给问题中的递推关系解决问题的思想方法.数列问题，从某种意义上讲是递推关系的表现形式.利用递推思想解决某些数列问题可体现递推思想解决问题的优越性.例8设数列b的前n项和为s,若对于所有的自然数n,都有sn(b1bn),证明n n n 2数列b是等差数列.n分析:证明等差数列一般考虑用等差数列的定义.这里可利用递推关系,将s转换得nb,然后再对b,b的递推关系继续探求.n n n1 n(bb) n(bb) (n1)(bb)解:由s1 ns1 n得s 1 n1,n 2 n 2 n1 2∴当n≥2时,n(bb)(n1)(bb)bss1 n 1 n1,n n n1 2 2即b(n2)b(n1)b0.1 n n1同理b(n1)bnb0. 1 n1 n两式相减得(n1)b2(n1)b(n1)b0,n1 n n1即b2bb0, n1 n n1从而有bbbb(n2). n1 n n n1由此可知数列b是等差数列.n小结：应用递推思想来解决此数列问题显得非常简单，如果选用其他方法显得比较繁琐，解决起来不是很容易，所以选择正确的思想方法递推思想来解决这个问题，也非常简单，避免了很多运算.4.7归纳、猜想与证明思想通过对个别、特殊情况的分析、观察，发现规律,归纳出一般的结论或性质，再寻求证明方法.这是我们由已知探索未知的重要途径.例9已知数列b满足条件:b6,(n1)b(n1)(b1),试求数列b的通项n 2 n1 n n公式.分析:此题求解思路不清晰，从特例入手，观察、猜想结论,再加以证明不失为一种好办法.解:由已知条件,分别取n=1,2,3,…，得b111,b623,b1535,b2847,…1 2 3 4通过观察、归纳、可得出猜想:bn(2n1)2n2n.n用数学归纳法容易证明这一结论是正确的.小结：在解决此题过程中我们首先对该题的题目与题型进行观察与分析然后再从特例下手，这样解决起来就比较简单快捷.数列的工具性决定了应用的广泛性,注重构建数列模型解实际问题,有利于培养学生用数学的意识和数学能力的提高.还有一些重要的思想方法，如数形结合、分析与综合、联想与类比，构造模型等思想方法,然而在解决数列问题中如果我们不注重以上举出的思想方法可能会导致在解题中出现以下几种常见错误：（一）忽视了等差、等比数列的定义的条件而导致的错误在等差（比）数列的定义中，都是“从第二项起，每一项与前一项的差（比）为同一常数”，而在解题的过程中，往往只想验证aad(或anq)，而不管n的值为n n1 an1多少，即不管数列是不是从第二项起就具有这一性质，就盲目使用等差、等比数列公式求出通项公式或进行求和，从而导致错误结果.（二）应用S与b关系时，盲目套用公式aSS而出现错误 n n n n n1在S与a关系中，当n2时，公式aSS成立；当n1时，aS，即S与 n n n n n1 1 1 nS(n1)a关系公式a1 是分步条件公式.因此，求a要分两步：先求n1的结n nSS(n2) nn n1果，当n2时使用aSS，最后验证是否可以合并，而在解题过程中，往往只想 n n n1到aSS，而忽略了aSS成立的条件n2. n n n1 n n n1（三）忽视了等比数列中对公比q1情形的讨论二出现错误na(n1)在等比数列运用公式S(1qn)(n2)求Sn时分两步：即当n1时Snna1， n 11q a(1qn) a(1qn)当n2时使用S1 ，而在解题过程中，往往只想到S1 ，而忽略了n 1q n 1qa(1qn)S1 成立的条件n2.n 1q例10若等比数列a的首项为a，公比为q，求数列aa的前n项和. n n错解S(aa)(aa)L(aa)’ n 1 2 n(aaLa)(aaLa) 1 2 na(1qn) na 1qa(1qn)错误剖析此题忽视了q1时的情况，因为当n1时，S没有意义.所以n 1q等比数列a求和时必须注意：（1）当条件中注明q1（或q1没有意义）时，可直接na(1qn)使用公式S；（2）当q1有意义时，应分成两种情况：当q1时，Sna；n 1q n 1a(1qn)当q1时，S1. n 1q数列的学习与应用中，不仅需要对公式的记忆方法，更需要严密准确地理解掌握定义，掌握公式和变量关系间成立的条件，做题过程中，稍不注意，就可能产生各种不同的错误.这就要求我们，在课堂教学的过程中，不能只关注做题量的多少，还应该通过典型问题的练习，帮助学生加强理解、对比和总结，使学生能举一反三.结论主要发现数学思想方法在数列解题中的应用很广泛，特别是在一些复杂的数列问题中尤为显著，其思想方法主要包括函数思想；方程思想；分类讨论思想；等价转换思想；整体思想；递推思想；归纳，猜想与证明思想；建模与解模思想等.在高考数学中常常利用数学思想方法进行求解数列问题十分广泛．启示数列问题应用数学思想方法来解决非常重要，具体应用在数学解题中灵活多变，如果我们掌握了数学思想方法解题的一些常用技巧，在解决数列的时候认真分析，巧妙地