北师大版2022高考总复习数学理考点演练垂直关系的判定和性质

第五节垂直关系的判定和性质1.(2022·山东)在空间，下列命题正确的是()A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行2.(2022·福建宁化模拟)已知直线l和两个不同的平面α、β，则下列命题正确的是()A.若l⊥α，l⊥β，则α∥βB.若l∥α，l∥β，则α∥βC.若l⊥α，α⊥β，则l∥βD.若l∥α，α⊥β，则l⊥β3.(2022·江南十校联考)在下列关于直线l，m与平面α，β的命题中，为真命题的是()A.若l⊂β，α⊥β，则l⊥αB.若l⊥β且α∥β，则l⊥αC.若l⊥β且α⊥β，则l∥αD.若α∩β＝m且l∥m，则l∥α4.(2022·青岛质检)如图所示，b、c在平面α内，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，E在线段AB上(C，D，E均异于A，B)，则△CDE是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形5.(2022·全国Ⅰ)正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1A.eq\f(\r(6),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(\r(2),3)6.设α、β表示平面，a、b表示直线，且a与b均不在平面α或β内，并有：①a∥β，②a⊥α，③α⊥β.以其中任意两个为条件，另一个为结论，可以构成三个命题，其中正确命题的个数是()A.1B.2C.37.设x，y，z是空间不同的直线或平面，对于下列四种情形，使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是________(只填序号)．①x，y，z均为直线；②x，y是直线，z是平面；③z是直线，x，y是平面；④x，y，z均为平面．8.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，那么以P、A、B、C、D五个点中的三点为顶点的直角三角形的个数是________．9.P为△ABC所在平面外一点，AC＝eq\r(2)a，连接PA、PB、PC，得△PAB和△PBC都是边长为a的等边三角形，则平面ABC和平面PAC的位置关系为________．10.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)11.ABCA′B′C′是正三棱柱，底面边长为a，D、E分别为BB′、CC′上的点，BD＝eq\f(1,2)a，EC＝a.(1)求证：平面ADE⊥平面ACC′A′；(2)求△ADE的面积．12.(2022·重庆)如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝eq\r(2)，点E是棱PB的中点．(1)证明：AE⊥平面PBC；(2)若AD＝1，求二面角B­EC­D的平面角的余弦值．

直线、平面垂直的判定及其性质1.解析：由于两条平行直线的平行投影可以平行也可以重合，因此A错；平行于同一直线的两个平面可以平行也可以相交，故B错；垂直于同一平面的两个平面可以相交也可以平行，故C错；易知垂直于同一平面的两条直线平行，故D正确．答案：D2.解析：B中可能有α、β相交；C中可能有l⊂β；D中可能有l∥β或l⊂β.答案：A3.解析：A显然不对，C、D中的直线l有可能在平面α内．答案：B4.答案：C5.解析：∵BB1∥DD1，所以BB1与平面ACD1所成角和DD1与平面ACD1所成角相等，设正方体的棱长为1且DD1与平面ACD1所成角为α，作DO⊥平面ACD1，由等积法得VD－ACD1＝VD1－ACD，即eq\f(1,3)S△ACD1·DO＝eq\f(1,3)S△ACD·DD1，则S△ACD1＝eq\f(1,2)·AC·AD1·sin60°＝eq\f(1,2)×(eq\r(2))2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)，S△ACD＝eq\f(1,2)AD·CD＝eq\f(1,2).所以DO＝eq\f(S△ACD×DD1,S△ACD1)＝eq\f(\r(3),3)，又sinα＝eq\f(DO,DD1)＝eq\f(\r(3),3)，所以cosα＝eq\f(\r(6),3).答案：A6.解析：可构成的三个命题是(1)①②⇒③；(2)①③⇒②；(3)②③⇒①.命题(1)，(3)正确，而命题(2)不正确．在命题(2)中，a可能与α平行，还可能与α相交而不垂直．答案：B7.解析：①中，x与y的位置关系可以为相交、平行或异面，故①为假命题；由线面垂直的性质定理知，②③为真命题；④中，x，y也可相交．答案：②③8.解析：分三类：(1)在底面ABCD中，共有四个直角，因此有四个直角三角形；(2)四个侧面都是直角三角形；(3)过两条侧棱的截面中，△PAC为直角三角形．故共有9个直角三角形．答案：99.解析：如图所示，由题意知PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝a，取AC的中点D，连接PD、BD，则PD⊥AC，BD⊥AC，则∠BDP为二面角P­AC­B的平面角，又∵AC＝eq\r(2)a，∴PD＝BD＝eq\f(\r(2),2)a，在△PBD中，PB2＝BD2＋PD2，∴∠PDB＝90°.答案：垂直10.解析：由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)11.解析：(1)证明：如图，分别取A′C′，AC的中点M、N，连接MN，则MN∥A′A∥B′B，∴B′、M、N、B共面，B′M⊥A′C′.又B′M⊥AA′，∴B′M⊥平面A′ACC′.设MN交AE于P，∵CE＝AC，∴PN＝NA＝eq\f(1,2)a，又BD＝eq\f(1,2)a，∴PN＝BD.∵PN∥BD，∴四边形PNBD是矩形，于是PD∥BN，又BN∥B′M，∴PD∥B′M.∵B′M⊥平面ACC′A′，∴PD⊥平面ACC′A′，∵PD⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACC′A′.(2)∵PD⊥平面ACC′A′，∴PD⊥AE，∵PD＝B′M＝eq\f(\r(3),2)a，AE＝eq\r(2)a，∴S△ADE＝eq\f(1,2)AE·PD＝eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(6),4)a2.12.解析：(1)证明：如图，由PA⊥底面ABCD得PA⊥AB.又PA＝AB，故△PAB为等腰直角三角形．而点E是棱PB的中点，所以AE⊥PB.由题意知BC⊥AB，又AB是PB在平面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC.(2)由(1)知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE.在Rt△PAB中，PA＝AB＝eq\r(2)，AE＝eq\f(1,2)PB＝eq\f(1,2)eq\r(PA2＋AB2)＝1，从而在Rt△DAE中，DE＝eq\r(AE2＋AD2)＝eq\r(2).在Rt△CBE中，CE＝eq\r(BE2＋BC2)＝eq\r(2)，又CD＝eq\r(2)，所以△CED为等边三角形．取CE的中点F，连接DF，则DF⊥CE.因为BE＝BC＝1，且BC⊥BE，所以△EBC为等腰直角三角形．连接BF，则BF⊥CE，所以∠BFD为所求二面角的平面角．连接BD，在△BFD中，DF＝CD·si