初中数学 教学设计1：解直角三角形

解直角三角形教学目标：理解锐角三角函数的定义，掌握特殊锐角的三角函数值，并会进行计算；掌握直角三角形边角之间的关系，会解直角三角形；利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题。重点与难点：教学重点：掌握特殊锐角的三角函数值，并会进行计算；掌握直角三角形边角之间的关系，会解直角三角形；利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题。教学难点：

利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题，是中考必考内容。教学过程：一、知识梳理：1、直角三角形的边角关系（如图）

（1）边的关系（勾股定理）：a2+b2=c2；

（2）角的关系：∠A+∠B=∠C=900；

（3）边角关系：①：②：锐角三角函数：∠A的正弦=；∠A的余弦=,∠A的正切=注：三角函数值是一个比值．

2、特殊角的三角函数值:

3、三角函数的关系：

(1)互为余角的三角函数关系．

sin（90○－A）=cosA，cos（90○－A）=sinA

(2)同角的三角函数关系．

①平方关系：sin2A+cos2A=l

②商数关系：;4、三角函数的大小比较：(1)同名三角函数的大小比较：①正弦、正切是增函数．三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小．②余弦是减函数．三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。(2)异名三角函数的大小比较：①tanA＞SinA，由定义，知tanA=，sinA=；因为b＜c，所以tanA＞sinA②若0○＜A＜45○，则cosA＞sinA；若45○＜A＜90○，则cosA＜sinA，

5、解直角三角形解法分类：（1）已知斜边和一个锐角解直角三角形；（2）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；（3）已知两边解直角三角形．6、解直角三角形的应用：（1）仰角、俯角：测量时，在视线与水平线所成的角中，规定：视线在水平线上方的叫做仰角．视线在水平线下方的叫做俯角．（2）坡度（坡比）、坡角：在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）。记作i，即i=。坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有i＝=tana，显然，坡角a越大，坡度就越大，坡面就越陡.（3）有以下三个步骤：①审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知．②将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形．③根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间关系解有关的直角三角形．二、经典考题剖析：例1.填空：（1）2sin60°－cos30°·tan45°的结果为。（2）化简：；（3）已知：cos2α+sin242°=1，则锐角α=______.（4）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8．则sin∠ABD的值是（）方法总结：求锐角三角函数时，必须牢记锐角三角函数的定义，解题的关键是：（1）确定所求的角所在的直角三角形；（2）准确掌握三角函数的公式，解题的前提是在直角三角形中，如果题目中无直角时，必须向办法构造一个直角三角形。例2、如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出塔顶的仰角为30º，从C点向塔底B走100m到达D点，测出塔顶的仰角为45º，则塔AB的高为【】A．mB．mC．mD．m【分析】根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，由BC=AB和BC=AB+100求解即可求出答案：在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB。在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，∴BC=AB。∵CD=100，∴BC=AB+100。∴AB+100=AB，解得AB=。例3、小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时刻，一根长为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为【】A.（6+米米C.（4+米D．10米【分析】延长AC交BF延长线于E点，则∠CFE=30°。作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，∴CE=2，EF=4cos30°=，在Rt△CED中，CE=2，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴DE=4。∴BD=BF+EF+ED=12+。∵△DCE∽△DAB，且CE：DE=1：2，∴在Rt△ABD中，AB=BD=（12+=6+。故选A。例4、如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE=45°，坝高BE=20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F=30°，求AF的长度．（结果精确到1米，参考数据：）【分析】在Rt△ABE中，根据坡面AB的长以及坡角的度数，求得铅直高度BE和水平宽AE的值，从而可在Rt△BFE中，根据BE的长及坡角的度数，通过解直角三角形求出EF的长；根据AF=EF－AE，即可得出AF的长度。解：∵Rt△ABE中，∠BAE=45°，坝高BE=20米，∴AE=BE=20米。在Rt△BEF中，BE=20，∠F=30°，∴EF=BE÷tan30°=20。∴AF=EF－AE=20－20≈15。∴AF的长约为15米。例5、某市正在进行商业街改造，商业街起点在古民居P的南偏西60°方向上的A处，现已改造至古民居P南偏西30°方向上的B处，A与B相距150m，且B在A的正东方向．为不破坏古民居的风貌，按照有关规定，在古民居周围100m以内不得修建现代化商业街．若工程队继续向正东方向修建200m商业街到C处，则对于从B到C的商业街改造是否违反有关规定？【分析】首先过点P作PD⊥BC，垂足为D，然后分别在Rt△APD与Rt△BPD，求得AD与PD，BD与PD的关系，又由AB=150，即可求得BD，PD的长，从而求得答案。解：过点P作PD⊥BC，垂足为D。在Rt△APD中，∠APD=60°，∴tan60°=。∴AD=PD。在Rt△BPD中，∠BPD=30°∴tan30°=。∴3BD=PD。∴AD=3BD。∴AB=2BD。∴2BD=150m。∴BD=75m。∴PD=75m。∵75＞100，∴不违反有关规定。例6、如图，王强同学在甲楼楼顶A处测得对面乙楼楼顶D处的仰角为30°，在甲楼楼底B处测得乙楼楼顶D处的仰角为45°，已知甲楼高26米，求乙楼的高度．（≈）【分析】作AE⊥DC于点E，可得四边形ABCE是矩形，得到AE=BC，AB=EC。设DC=x，在Rt△AED中，利用tan30°=