2022-2023学年高二数学上学期期中期末高效复习课3第二章直线和圆的方程新（定义文化）高观点必刷必过题Word版含解析

3第二章直线和圆的方程新（定义，文化）高观点必刷必过题1．（2022·全国·高三专题练习）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（）A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9【答案】D【详解】设，则，依题意，有，且，所以，故，故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】设，因为点，，，所以即，所以，可得圆心，半径，由圆可得圆心，半径，因为在圆上存在点满足，所以圆与圆有公共点，所以，整理可得：，解得：，所以实数的取值范围是，故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习（文））阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆、点和点，M为圆O上的动点，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【详解】设，令，则，由题知圆是关于点A、C的阿波罗尼斯圆，且，设点，则，整理得：，比较两方程可得：，，，即，，点，当点M位于图中的位置时，的值最大，最大为.故选：B.4．（2022·全国·高二课时练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，可得的最小值为（）A．B．C．4D．8【答案】B【详解】表示点到点和的距离之和，如图所示：点是关于轴的对称点，故最小值为此时，取故选：5．（2022·全国·高三专题练习）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为A．B．C．D．【答案】C详解：如图所示可知，所以直线AB，BC，CD的方程分别为：整理为一般式即：分别对应题中的ABD选项.本题选择C选项.6．（2022·江西·贵溪市第一中学高二期末（理））若函数是定义域和值域均为的单调递增函数，我们称曲线为洛伦兹曲线，它在经济学上用来描述一个国家的家庭收入分布情况．如图，设曲线与直线所围成的区域面积为A，曲线与直线，x轴围成的区域面积为B，定义基尼系数，基尼系数可以衡量一个国家家庭收入分布不平均的程度．若某个国家的洛伦兹曲线为，则该国家的基尼系数为（）．A．B．C．D．【答案】D【详解】由，可得（），所以洛伦兹曲线是圆心为，半径为1的圆周，所以，，所以，故选：D7．（2022·河北衡水中学模拟预测）古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家帕普斯（，公元3世纪末）在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：即到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线.今有平面内三条给定的直线，，，且，均与垂直.若动点M到的距离的乘积与到的距离的平方相等，则动点M在直线之间的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【答案】A【详解】因为在平面内三条给定的直线，，，且，均与垂直，所以，平行，又因为动点M到的距离的乘积与到的距离的平方相等，记为，直线为，为，设，且动点M在直线之间，所以M到的距离为，M到的距离为，M到的距离为，所以，若，则；若，则，所以，即，故动点M的轨迹为圆.故选：A.8．（2022·福建·漳州三中高一期中）魏晋时期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，可得到的近似值为（）（取近似值3.14）A．B．C．D．【答案】B【详解】当时,每个等腰三角形的顶角为,则其面积为,又因为等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,所以,故选：B9．（2022·四川省开江中学高三开学考试（理））《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，是一部问题集，全书分为九章，共收有246个问题，每个问题都有问、答、术三部分组成，内容涉及算术、代数、几何等诸多领域，并与实际生活紧密相连，充分体现了中国人的数学观和生活观.书中第九卷勾股部分记录了这么一个问题：问：今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？术曰：半锯道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材径.如图，术曰所给出的求解公式为：，则答曰（）A．二尺六寸B．二尺五寸C．一尺三寸D．一尺二寸【答案】A【详解】由题意可知​，“深一寸”是指为一寸，“锯道长一尺”是指为一尺，一尺为十寸，所以为十寸，故为26（寸），即二尺六寸；故选：A.10．（多选）（2022·海南中学高三阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（）A．C的方程为B．在C上存在点D，使得D到点（1，1）的距离为10C．在C上存在点M，使得D．C上的点到直线的最大距离为9【答案】AD【详解】解：由题意可设点，由，，，得，化简得，即，故A正确；点（1，1）到圆上的点的最大距离，故不存在点D符合题意，故B错误.设，由，得，又，联立方程消去得，解得无解，故C错误；C的圆心（-4，0）到直线的距离为，且曲线C的半径为4，则C上的点到直线的最大距离，故D正确；故选：AD.11．（多选）（2022·全国·高三专题练习）“出租车几何”或“曼哈顿距离”（ManhattanDistance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种被使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系内，对于任意两点、，定义它们之间的“欧几里得距离”，“曼哈顿距离”为，则下列说法正确的是（）A．若点为线段上任意一点，则为定值B．对于平面上任意一点，若，则动点的轨迹长度为C．对于平面上任意三点、、，都有D．若、为椭圆上的两个动点，则最大值为【答案】AC【详解】对于A选项，设点为线段上任意一点，则，A对；对于B选项，设点，则，当，时，则；当，时，则；当，时，则；当，时，则.作出点的轨迹如下图所示：由图可知，点的轨迹是边长为的正方形，故动点的轨迹长度为，B错；对于C选项，设点、、，由绝对值三角不等式可得，同理可得，所以，，即，C对；对于D选项，设点、，不妨设，，则，其中为锐角，且，取，，等号成立，D错.故选：AC.12．（2022·福建福州·高二期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为___________．【答案】##【详解】设点关于直线的对称点，则的中点为，,故解得，由知军营所在区域中心为，要使从点到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离为，“将军饮马”的最短总路程为，故答案为：13．（2022·山东临沂·三模）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，则其欧拉线方程为______．【答案】【详解】设的重心为，垂心为由重心坐标公式得，所以由题，的边上的高线所在直线方程为，直线，，所以的边上的高线所在直线方程为所以所以欧拉线的方程为，即.故答案为：14．（2022·全国·高三专题练习（文））瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，，则欧拉线的方程为______．【答案】【详解】因的顶点，，，则的重心，显然的外心在线段AC中垂线上，设，由得：，解得：，即点，直线，化简整理得：，所以欧拉线的方程为.故答案为：15．（2022·江苏·高二专题练习）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，函数，的值域为______.【答案】【详解】如图所示：设单位圆上的一点为，点，，则表示直线的斜率，因为故当与重合时，的斜率为当与重合时，的斜率最大值为所以的值域为．故答案为：16．（2022·全国·高二课时练习）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点A，B是∠MON的ON边上的两个定点，C是OM边上的一个动点，当C在何处时，∠ACB最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与OM边相切于点C时，∠ACB最大．人们称这一命题为米勒定理，已知点D，E的坐标分别是（0，1），（0，3），F是x轴正半轴上的一动点，当∠DFE最大时，点F的横坐标为______．【答案】【详解】因为点D，E是y轴正半轴上的两个定点，点F是x轴正半轴上的一个动点，根据米勒定理可知，当的外接圆与x轴相切时，∠DFE最大，易知，弦DE的垂直平分线必过的外接圆圆心，所以弦DE中点G的纵坐标，即为外接圆半径的大小，即r＝2．设的外接圆的圆心为（a，2），其中a＞0，则，即，解得，所以△DEF的外接圆的方程为，令y＝0，可得，即点F的横坐标为．故答案为：.17．（2022·全国·高三专题练习）斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋线”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，8，13，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图为该螺旋线在边长为1，1，2，3，5，8的正方形的中的部分，建立平面直角坐标系（规定小方格的边长为1），则接下来的一段圆弧所在圆的方程为______．【答案】【详解】根据题意，接下来的一段圆弧所在圆的半径，其圆心为，（根据题中图象规律发现），则其标准方程为．故答案为：.18．（2022·云南·高三阶段练习）大约在2000多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100多年．已知直角坐标平面内有一点和一动点满足，若过点的直线将动点的轨迹分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率__________．【答案】【详解】依题意可知，动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即.因为，故点在内.当劣弧所对的圆心角最小时，.因为直线的斜率，所以所求直线的斜率.故答案为：.19．（2022·河北廊坊·高三开学考试）“康威圆定理”是英国数学家约翰·威廉引以为豪的研究成果之一，定理的内容如下：如图，的三条边长分别为，，．延长线段至点，使得，延长线段至点，使得，以此类推得到点，，，，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知，，，则由生成的康威圆的半径为______．【答案】【详解】解：因为，，所以康威圆的圆心在的平分线上，同理可知康威圆的圆心在的平分线上，即康威圆的圆心为的内心．因为，，，满足，所以，所以的内切圆的半径，所以，康威圆的半径．故答案为：20．（2022·全国·高二课时练习）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球是指该球的球心点．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，如图，设母球的位置为（0，0），目标球的位置为，要使目标球向处运动，则母球的球心运动的直线方程为______．【答案】【详解】点，所在直线的方程为，如图所示可知，两球碰撞时，球的球心在直线上，且在第一象限，设，两球碰撞时，球的球心坐标为，此时，则，解得，即，B两球碰撞时，球的球心坐标所以母球的球心运动的直线方程为，即．故答案为：21．（2022·湖北·高二期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问