数学建模-建筑变形问题

-.z.第十一届"创新杯〞大学生数学建模竞赛编号专用页论文编号(竞赛组织者编写)：题号：C题—建筑物的变形问题**：**：：学院：土木与交通学院专业：土木工程：建筑物的变形问题摘要论文编号：本文针对建筑体变形问题，将数据模型化，采用替代法，用控制点代表建筑整体，用控制点的中心代表整体建筑的中心。通过对控制点及中心点的量化研究，分析整个建筑的各种变形情况。 对于问题1，给出确定此类建筑物各层中心位置的通用方法，并对题中的建筑物算出其各层中心的具体坐标。我们采用CAD制图软件，先确定出建筑的大体形状，建立建筑物的模型，再对各层的变形进展分析，然后确定中心点应满足的条件，最后用数据求解。 对于问题2,分析该建筑物倾斜、弯曲、扭曲等变形情况，并对其变形趋势进展研究。我们在问题1的根底上，将建筑的变形模型化，分为随各层中心点的平动及绕中心点的定轴转动。其中，平动表现为倾斜，而绕中心的转动又分为绕中心轴的转动和绕平面上过中心点的轴的转动。前者表现为扭曲，后者表现为弯曲。通过的数据对模型进展定量计算，推测其未来的变形趋势。在分析现有数据时，我们对明显错误的数据进展了舍弃，对建筑物的突然出现的大变形进展了合理假设。 在对以上两问题研究时，我们建立模型后，仅用E*cel就完成了数据的分析和对变形的预测，并未动用其它数学软件。关键词：〔3-5个〕 替代平动定轴转动绕轴转动倾斜扭转弯曲第十一届_2021_"创新杯〞数学建模竞赛建筑物的变形问题2021年5月20日-.z.1目录问题的重述………2问题的分析………2模型假设…………2建模过程…………21)、问题一………2 1、建立模型………………2 2、模型求解………………32)、问题二……………………6〔1〕倾斜………6 1、定义符号说明…………6 2、建立模型………………6 3、模型求解………………10〔2〕弯曲………11 1、定义符号说明…………11 2、建立模型………………11 3、模型求解………………12〔3〕扭曲………12 1、定义符号说明…………12 2、建立模型………………12 3、模型求解………………12变形趋势…………13建模的优缺点……………………13参考文献…………13问题的重述高层建筑物长期承受各种荷载，会发生下沉、倾斜、弯曲、扭曲等各种变形。为了解其变形情况，人们会对其进展屡次观测。现有4次观测数据，要求根据现有的数据，给出此类建筑各层中心的计算方法，并用此方法计算出各层的中心坐标。然后分析其倾斜、弯曲、扭曲等变形情况，并对其变形趋势进展研究。问题的分析由题意可知，此题的目的是建立一个较好的数学模型，用以研究建筑物的各种变形情况。对于问题一，首先，由数据着手，建立对建筑整体的模型，然后分析中心点的性质，比方每一层都随中心点平动、绕中心点转动。以此为约束条件，建立函数模型，最后带入数据，求出各中心点的坐标。对于问题二，我们用各层中心点连线的变形反映建筑的整体变形情况。对于倾斜问题，我们以一层的中心点为相对点，用E*cel表格统计出各层中心点偏离一层中心点的水平距离。然后将水平距离和高度拟合成曲线，此曲线是倾斜与弯曲的叠加。对第一层的点出求斜率，再化为角度值，即为建筑的倾斜程度。将曲线减去倾斜直线，即可得到弯曲模型。结合这四次的数据，可预测未来的变形趋势。对于扭转问题，我们用同一层上所有点绕中心点的转角的均值表示，点在只随中心点平动而不转动的情况下的坐标可以求出，然后用三角函数求出各个转角。由此三个数据，可对未来扭转情况进展预测。模型假设假设建筑的变形只由倾斜、弯曲和扭曲变形造成，不考虑其他变形。假设除明显有误的数据外，其它数据都是准确的。假设测量点的选取是固定的，没有变化。假设各层测量的点是关于本层中心点对称的。建模过程问题一建立模型根据数据，用CAD软件画出此建筑各个点的等轴测图，并连线。图〔1〕：建筑物的空间形态由模型可以看出，此建筑为塔类建筑，各层的平面均具有对称性。在制图期间，我们发现：表格给出数据中，第13层的第5点在记录时有明显的错误。故将其列为错误数据，在所有的步骤中，不予使用。同时，在用到对称性的地方，对与其对称的13层1点的数据也不予使用。模型求解塔类建筑具有特殊性，其中心点的求法应该很简洁。当塔体发生倾斜、弯曲和扭转时，中心点因倾斜和弯曲而发生空间上的移动，扭转时各点绕中心点转动，中心点不动。而本层上的各个点在倾斜时随中心点平动，弯曲时绕过中心点的轴转动，扭转时绕中心点转动。可以发现，由于各点是关于中心点对称的，这些变形发生后，中心点仍然在各点的中间。由于对称，各点必在以中心点为圆心的圆上，故可取各点坐标平均值为中心点坐标。计算公式为：， 〔1〕， 〔2〕， 〔3〕其中，分别表示中心点的坐标值，分别表示第i点的坐标值。n为有效点个数。各层中心点坐标计算如下：表〔1〕：1998年各层中心点坐标1998年各层中心点坐标层数*〔m〕y(m)z(m)1265.8116208.89232.51612265.8605208.85498.60233265.9084208.818314.58084265.9464208.789019.33615265.9873208.757624.44266266.0285208.726729.40867266.0626208.712233.37068266.0960208.698237.23609266.1294208.684041.090410266.1606208.671544.739311266.2030208.636549.435012266.2451208.601454.133113266.3009208.570058.6619顶266.3300525208.476937561.185575表〔2〕：2003年各层中心点坐标2003年各层中心点坐标层数*(m)z(m)z(m)1265.8118208.89212.51132265.8613208.85408.59613265.9098208.816814.57584265.9483208.787019.33265265.9898208.755124.43766266.0315208.723729.40257266.0660208.708833.36558266.0997208.694437.22999266.1336208.679541.083110266.1652208.666944.734411266.2081208.631449.428912266.2504208.596054.128113266.3064208.564558.6568顶266.3363715208.470618561.181725表〔3〕：2021年各层中心点坐标2021年各层中心点坐标层数*(m)y(m)z(m)1265.8669208.88432.49102265.9000208.85578.58993265.9321208.828214.55554265.9581208.805719.32675265.9857208.782124.43036266.0630208.735429.38217266.0915208.716033.35718266.1371208.686937.22399266.1826208.657541.078110266.2319208.610444.727211266.2701208.575649.425912266.3080208.541354.119713266.3540208.498858.6469顶表〔4〕：2021年各层中心点坐标2021年各层中心点坐标层数*(m)y(m)z(m)1265.8670208.88422.48962265.9001208.85548.56963265.9324208.828514.54964265.9584208.805319.30725265.9863208.781624.42436266.0636208.734829.37507266.0922208.715333.34878266.1379208.686137.22039266.1835208.656741.054510266.2329208.609444.708511266.2711208.574649.417412266.3092208.540154.102313266.3552208.497658.6417顶自2021年往后，顶层只有一个观测点。推测应该是2021年地震影响，其余三点被破坏。问题二〔1〕倾斜定义符号说明：第i层中心点与第一层中心点的*，y坐标差；：第i层中心点与第一层中心点的水平距离：在图中拟合函数里用*代替:第i层中心点距第一层中心点的高度；在图中拟合函数里用y表示。：建筑物的倾斜角建立模型将各层中点与第一层的中点相比拟，以中心点到第一层中心点的水平距离为横轴，以中心点相对于第一层中心点的高度为纵轴，用E*cel软件画出散点图并拟合为曲线。,,,， 〔4〕表〔5〕：1998及2003年各层l与dz的值1998年2003年层数ldzLdz1000020.0037908170.0615696140.0038949240.06240932330.0148575190.1218914220.0152747290.12359097440.028831970.1697997930.02966411100490082420.2213780520.05040.22458688860.0744539590.2728625280.0766225360.27680775970.0954319230.3089205780.0982149030.31339257180.1185447080.3443032210.1219704720.34924271290.1443709310.3799617490.1487356750.385662645100.1705613340.4129907180.1755772240.41901936110.2186483630.4675985060.2250303320.474373621120.2724952840.5220218080.2800594470.529206431130.3432880260.5859078650.3519301090.593236976顶0.4413278720.6643251250.4527975980.672902369表〔6〕：2021及2021年各层l与dz的值2021年2021年层数ldzLdz1000020.0019160470.0437726690.0019273980.04390214430.0074015980.0860325430.0073835320.08592748340.0144944210.1203927760.0145878980.12078037150.0245686010.1567437430.02476270100606113730.2461937710.0609805280.24694235770.0788071180.2807260550.0792825240.28157152580.1120066660.334673970.1126089230.33557253190.1511416510.3887694060.1519344240.389787666100.2082896080.4563875630.2093959820.457598058110.257847990.5077873470.2591034990.509022101120.3123270780.5588623070.3139749650.56033469130.3858717840.6211857890.3878085420.622742757顶用E*cel画出散点图，并拟合为多项式曲线：图〔2〕：1998年中心点的拟合函数图〔3〕：2003年中心点的拟合函数图〔4〕：2021年中心点的拟合函数图〔5〕：2021年中心点的拟合函数此拟合函数即代表建筑物的变形函数。模型求解对各个拟合函数求导，在处的倒数即为斜率k〔5〕此即为建筑的倾斜角。表〔7〕：倾斜角值表1998200320212021105.9104.6149.6149.6由表可知，1998到2003年倾斜度在极缓慢的增加，但经过2021年地震以后，建筑自身重新平衡，2021年到2021年倾斜情况不变。故预测，今后假设不遇见地震等特殊灾害，倾斜度将保持在不变。弯曲定义符号说明：:建筑物的变形函数，即中心点的拟合函数。：倾斜函数：弯曲函数建立模型将建筑的变形函数减去其倾斜的函数，即为建筑的弯曲函数。建筑的变形函数已经求出，倾斜函数即为， 〔6〕故有其弯曲函数的表达式：=-， 〔7〕做出表现弯曲的散点图图〔6〕：1998年建筑弯曲情况图〔7〕2003年建筑弯曲情况：图〔8〕：2021年建筑弯曲情况图〔9〕：2021年建筑弯曲情况模型求解分析图表可知，建筑的底层几乎不弯曲，顶层弯曲较大。在未来的几年内，顶层会继续发生微微弯曲。 〔3