概率统计在实际生活中的应用

概率统计在实际生活中的应用摘要:介绍了概率统计的某些知识在实际问题中的应用，主要围绕数学期望、全概率公式、二项分布、泊松分布、正态分布假设检验、极限定理等有关知识!探讨概率统计知识在实际生活中的广泛应用，进一步揭示概率统计与实际生活的密切联系。关键词:概率；统计；生活；应用我们在日常生活中的好多事情都多多少少牵扯到了统计或者概率计算的问题，例如人口普查，粮食生产状况的研究，交通状况的研究，体育项目成绩的研究；天气预报中的降水概率，买彩票的中奖概率，患有某种遗传病的概率等。生活中的概率问题往往让我们意想不到，学会怎样运用概率，可以让我们简单的解决生活中遇到的一些问题，有时候还可以把它当做一种兴趣来发展，增加生活的乐趣。1概率问题在生活中的应用概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小。比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。1.1风险决策中的应用定理1设YgX是随机变量X的函数g是连续函数(1)当X是离散型随机变量时，如果它的概率分布为PXxp，k1,2,,且k kgxp绝对收敛，则有EYEgXgxp；k k k kk1 K1(2)当X是连续型随机变量时，如果它的概率密度为fx，且gxfxdx绝对收敛，则有EYEgXgxfxdx。例1设国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X吨服从区间2000，4000上的均匀分布.若售出这种商品1吨，可挣得外汇3万元，但如果销售不出而囤积于仓库，则每吨需保管费1万元，问应预备多少吨这种商品，才能使国家的收益最大？解令预备这种商品y吨2000y4000，则收益万元为gX33Xy,yX，XXyy由定理得EgXgxfxdx4000gx 1 dx 2000 400020001y3xyxdx140003ydx 20002000 2000y 1y27000y41061000 当y3500时，上式达到最大值，所以预备3500吨此种商品能使国家的收益最大，最大收益为8250万元。在风险决策中，用了随机事件的概率和数学期望。概率表示随机事件发生的可能性的大小，在决策中还引用了概率统计的原理，利用数学期望的最大值进行决策，比直观的想象更为科学合理。1.2产品次品率问题定理2设B,B,…是一列互不相容的事件，且有UB，PB0,1 2 i ii1i1,2,，则对任一事件A有PAP(B)P(A|B)。i ii1以下为上述公式在检验产品中的应用。例2工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15％，20％，30％和35％，又这四条流水线的不合格率依次为0.05、0.04、0.03及0.02。现在从出厂的产品中任取一件，问恰好抽到不合格的概率为多少？解令任取一件，恰好抽到不合格产品任取一件，恰好抽到第i条流水线的产品i1,2,3,4于是由公式可得PA4P(B)P(A|B) i ii10.150.050.200.040.300.020.03153.15%其中，由题意知P(A|B)分别为0.05,0.04,0.03以及0.02。i1.3在比赛方面的应用定义1如果试验E只有两个可能的结果：A与A,并且PAp01,把E独立地重复进行n次的试验构成了一个试验，这个试验称作n重伯努利试验或伯努利概型。在n重伯努利试验中事件A出现k次的概率为P(Ak)Cnkpk(1p)nkk0,1,2,,n下面我们应用伯努利概型来解决日常生活中遇到的问题。例3某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队进行对抗比赛。校队的实力比系队强，当一个校队运动员与一个系队运动员比赛时，校队运动员获胜的概率为0.6。现在校、系双方商量对抗赛的方式，提了三种方案：（1）双方各出3人，比三局（2）双方各出5人，比五局；（3）双方各出7人，比七局。三种方案均以比赛中得胜人数多的一方为胜。问：对系队来说，哪种方案有利？解设系队得胜人数为，则在上述三种方案中，系队获胜的概率为（1）P23Ck(0.4)k(0.6)3k0.352；（2）P35Ck(0.4)k(0.6)5k0.317；3 5k2 k3（3）P47Ck(0.4)k(0.6)7k0.290。7k4由此可知第一种方案对系队最有利（当然，对校队最为不利）。这在直觉上是容易理解的，因为参加比赛的人数愈少，系队侥幸获胜的可能性也就愈大。很显然，如果双方只出一个人比赛，则系队获胜的概率就是0.4。所以，当两方实力有差距时，所比局数越少，对实力弱的一方就越有利。1.4在销售方面的应用定义2若随机变量X的可能取值为0，1，2，，且X取各可能的值的概率为PXkke，k0,1,2k! 其中为常数且0,则称X服从参数为的泊松分布，记为X~P()。例4某商店由过去的销售记录表明，某种商品每月的销售件数可以用参数5的泊松分布来描述，为了以0.999以上的把握保证不脱销，问该商店在月底至少应该进多少件这种商品（假定上个月无存货）？解设该店每月销售这种商品X件，月底应进货N件，则当XN时，才不会脱销。因为X~P(5)，而PXN1PXN15ke5kN1k!依题意，要求PXN15ke50.999，即k!kN15ke50.001kN1k! 查泊松分布表，得满足上述不等式的最小值N114,故N13因而，这家商店只要在月底进13件这种商品，就可以有99.9%以上的把握，保证这种商品在下个月不会脱销。1.5确定公共汽车门的高度定义3若连续型随机变量X的概率密度为fx21ex2u22x其中,0为常数，则称X服从参数为,的正态分布，记为X~N(,2)。习惯上，称服从正态分布的随机变量为正态变量。例5公共汽车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子身高X单位：cm服从正态分布N170,62,试确定车门的高度。解设车门的高度为hcm。依题意应有PXh1PXh0.01即PXh0.99因为X~N170,62,所以X170~N0,1,从而6PXhPX170h170h1706 66查标准正态分布表，得2.330.99010.99h170 cm，故车门的设计高度至少应为184cm方可保证男子与车所以取2.33，即h1846门碰头的概率在0.01以下。2统计在实际生活中的应用统计是一门与数据打交道的学问，同时也是描述数据特征、探索数据在规律的方法，随着信息时代的到来，统计与实际生活息息相关，在科学研究、生产管理和日常生活中起着越来越重要的作用。工作和生活中到处都有数据，例如一个班级的考试成绩和名次、学校的升学情况和就业情况、工厂生产产品的合格率、人口的出生率和增长情况等，各个部门都离不开统计。统计学产生于应用，在应用过程中发展壮大。随着经济社会的发展、各学科相互融合趋势的发展和计算机技术的迅速发展，统计学的应用领域、统计理论与分析方法也将不断发展，在所有领域——学术研究、实际工作、日常生活中都能展现它的生命力和重要作用。2.1关于男女色盲比例的问题例6从随机抽取的467名男性中发现有8名色盲，而433名女性中发现1人色盲，在0.01水平上能否认为女性色盲的比例比男性低？解设男性色盲的比例为p,女性色盲的比例为p，那么要检验的假设为 1 2H0:p1p2H1:p1p2由备择假设，利用大样本的正态近似得，在α=0.01水平的拒绝域为u2.33由样本得到的结果知：n467,m4338 1 811467 2433 467433 pˆ 0.01713,pˆ 0.00231,pˆ0.1pˆpˆ 则u 1 2 2.232611pˆ1pˆnm未落在拒绝域中，因此在0.01水平上可以认为女性色盲的比例低于男性。2.2我国出生人口性别比出生人口性别比，通常是为了便于观察与比较所定义的每出生百名女婴相对的出生男婴数。20世纪50年代中期，联合国在其出版的《用于总体估计的基本数据质量鉴定方法》（手册Ⅱ）（MethodsofAppraisalofQualityofBasicDataforPopulationEstimate，ManualⅡ）认为：出生性别比偏向于男性。一般来说，每出生100名女婴，其男婴出生数置于102107之间。此分析明确认定了出生性别比的通常值域为102107之间。从此出生性别比值下限不低于102、上限不超过107的值域一直被国际社会公认为通常理论值，其他值域则被视为异常。例7近年来，越来越多的话题围绕着我国的人口性别比例而展开。下图（表1）所示的是我国2005年到2010年的出生人口性别比例的变化情况。2005-2010年中国人口性别比118.58119.25118.58119.25120.22120.56119.45118.06121120119118117116200520062007200820092010由图可以看出，在2005年到2010年之间，我国的人口性别比一直都保持在118到121之间，超出了国际社会公认为通常理论值102-107很多。2.3检验汽车轮胎寿命例8一汽车轮胎制造商声称，他们生产的某一等级的轮胎平均寿命在一定汽车重量和正常行驶条件下大于50000km。现对这一等级的120个轮胎组成的随机样本进行了测试，测得平均每一个轮胎的寿命为51000km，样本标准差是5000km.已知这种轮胎寿命服从正态分布。试根据抽样数据在显著水平0.05下判断该制造商的产品是否与他所说的标准相符合。解设X表示制造商生产的某一等级轮胎的寿命单位：km。由题意知，X~N,，方差2未知。n120,x51000km,s5000km.设统计假设H:50000,H:50000 0 0 1 0设0.05时，tn1t1191.65,临界值 1 0.95cstn150001.65753.1185 n1 120 n拒绝域为 K0x50000c753.1185由于x500001000c，所以拒绝域H,接受H，即认为该制造商的声称可信，其生产 0 1的轮胎平均寿命显著地大于50000km。2.4电影院的座位问题定理3设DX2，则对任意xR,有iXax1eu22duxlimPxnn2Xa0,1.记为~Nn这一结果称为Lindeberg-Levy定理，是这两位学者在20世纪20年代证明的。历史上最早的中心极限定理是1716年建立的DeMoivre-Laplace定理，它是前一个结果的特例，具体为limnPnX1nppxxnp例9设某地扩建电影院，据分析平均每场观众数n1600人，预计扩建后，平均34的观众仍然会去该电影院，在设计座位时，要求座位数尽可能多，但空座达到200或更多的概率不能超过0.1，问应该设多少座位？解把每日看电影的人编号为1,2,,1600，且令1,第i个观众还去电影院X i0,不然 i1,2,,1600则由题意PX134,PX014.又假定各观众去电影院是独立选择，则X,X,ii1 2是独立随机变量，现设座位数为m，则按要求 P