高等数学上学期期末考试试卷及答案

北京林业大学2012--2013学年第一学期考试试卷答案课程名称：高等数学（A）课程所在学院：理学院一、填空题（每空2分，共20分）设f(x1)x21，则f(x)=f(x)x22．x x2 lim1sinx0．xx 1已知函数f(x)(1x)x,x0在x0处连续，则a1/e． a, x0当x0时，2x3x2与x是同阶（填同阶或等价）无穷小.函数f(x)xex的带皮亚诺余项的n阶麦克劳林公式为 2x3x4 xn n. xx (x) 2!3! (n1)!d1e2xCe2xdx.2曲线yax4x2拐点的横坐标为x1，则常数a1．65x3cosxdx0. 5x43x22 若f(x)dxx2e2xC，则f(x)2e2x(x2x).方程dy2xy的通解是yCex2. dx 二、解答题（每题5分，共60分） sinxcosx1 sinxcosx1 cosxsinx1.求极限lim解：原式limlim2x01x1x012xx012x12已知limxxx211(axb)0，求常数a,b．解:x21(axb)(1a)x2(ab)x1bx1 x1由limxxx211(axb)0可得1a0,ab0,故a1,b1设yln1x2arctanx，求dy及d2y. 1x dx dx2解：dy[ln(1x)ln(1x)2arctanx]1124dx 1x1x1x21x4d2y=44(4x3)16x3 dx21x4 1x42 1x42设x3y3sin3x6y0，求dy.dxx0解：把方程两边分别对x求导，得3x23y2dy3cos3x6dy0,（*） dx dx故dycos3xx2.dxy22 由原方程可得，x0时，y0，将x0,y0代入上式，即得dy 1. dx 2x0求极限lim(cotx)ln1xx01(csc2x)limcotx解lim(cotx)ln1xlimeln(cotx)ln1xexlim0ln1xln(cotx)ex0 1x e1． x0 x0设F(x)xtf(x2t2)dt，其中f(x)在x0的某邻域内可导，且0f(0)0,f(0)1，求limF(x).x0x4 xtf(x2t2)dt22 10f(u)du 1(f(x2)2x)解：原式lim0 uxtlim2x2 lim2 x0 x4 x0 x4 x0 4x31limf(x2)1f(0)1 4x0x2 4 4求不定积分(3xx)dx解：原式=x3211dx2=x321x2C 2 1x2 21x2求不定积分13dxxxx解：原式=13dxdxx=6t6t5363t52dt6dt6ln(t1)C6ln(6x1)C xxx t(tt) t1求定积分1xarctanxdx01xarctanxdx1arctanxdx2x2arctanx11x2darctanx解： 0 0 2 200211x21dx1(xarctanx)11 24021x2 82042求反常积分dx解：dxdx11dx0x23x20x23x20(x1)(x2)0x1x2 x1 ln(x1)ln(x2)lnln20x20求曲线yf(x)，使其切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标.解：切线方程为Yyf(x)(Xx)；当X0，Yxf(x)f(x)由题意可得：xxf(x)f(x)；即y1y1x 通解是yx(lnxC)or yx(lnxC).求初值问题fexf(x) .f(0)1,f(0)1解：由题意，特征方程为r210，特征根为ri,ri， 1 2故对应齐次方程通解为yCcosxCsinx；21不是特征方程的根，故可设原方程有特解fxAex，解得fx1ex，故原方程的通解为fxCcosxCsinx1ex；1 2 2由f(0)1,f(0)1得本题解为fx1cosx1sinx1ex. 2 2 2三、设f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)0，F(x)xf(t)dtxdt,x[a,b]. a bf(t)证明：（1）F(x)2;（2）方程F(x)0在区间(a,b)内有且仅有一个根.（5分）.证明：（1）F(x)f(x)12；f(x)（2）F(a)af(t)dtadtbdt；F(b)bf(t)dtbdtbf(t)dt a bf(t) af(t) a bf(t)a又f(x)0，所以F(a)F(b)0，从而方程F(x)0在区间(a,b)内有一个根.又F(x)20，是单调递增的，从而方程F(x)0在区间(a,b)内仅有一个根.四、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)0，证明在(0,1)内存在一点，使f()f()．（5分）证明：令F(x)xf(x)，则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且因f(1)0，则F(0)0F(1)即F(x)在[0,1]上满足罗尔定理的条件，则至少存在(0,1)使F()0又F(x)f(x)xf(x)，即f()f()0，即f()f()．五、设抛物线yax2bxc通过点(0,0)，且当x[0,1]时，y0.试确定a,b,c的值，使得该抛物线与直线x1,y0所围图形的面积为4/9，且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小.(10分)解：由于设抛物线yax2bxc通过点(0,0)，故c0.且1ax2bxdx4;V1