《等比数列的前n项和(2)》示范课教案【高中数学苏教版教学设计】

第四章数列《等差数列的前n项和(2)》教学设计教学目标教学目标1.进一步熟练掌握等比数列的前n项和公式；2.经历公式应用的过程，会将实际问题转化为数学问题，建立数列模型；3.通过等比数列前n项和公式的应用，培养学生的数学运算、数学建模等核心素养.教学重难点教学重难点重点：应用等比数列的前n项和公式解决实际问题．难点：将实际问题转化为数学问题，建立数列模型．教学过程教学过程一、新课导入回顾：能否说出我们上节课学习的等比数列的前n项和公式？Sn公式变形：当q≠1时，Sn注意：等比数列的前n项和公式中有五个量：首项a1，公比q，项数n，末项an，前n项和Sn，这五个量可以“问题1：如何选择公式能让运算过程更简便呢？答案：当q≠1时，已知首项a1，公比q，项数n，选择公式S已知首项a1，公比q，末项an，选择公式当q=1时，选择公式=n设计意图：通过回顾等比数列的求和公式并进行两个求和公式的比较，让学生进一步熟悉上节课所学内容，为本节课作准备．二、新知探究问题2：前面我们已经研究了等比数列的哪些问题？类比等差数列的研究思路，想一想接下来我们应该研究等比数列的什么问题呢？答案：探究：去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.追问1：每年生活垃圾的总量之间有什么关系？答案：第一年：20+第二年：201+5%第三年：20(1+5%)……从今年起每年生活垃圾的总量构成以20(1+5%)为首项，1+5%为公比的等比数列.追问2：每年以环保方式处理的垃圾量有什么关系？答案：第一年：6+1.5万吨；第二年：6+1.5+1.5=6+1.5×2万吨；第三年：6+1.5×2+1.5=6+1.5×3万吨；……从今年起每年以环保方式处理的垃圾量构成以6+1.5为首项，1.5为公差的等差数列.追问3：怎样表示每年通过填埋方式处理的垃圾总量？答案：设每年生活垃圾的总量构成的数列为{an}，每年以环保方式处理的垃圾量构成的数列为{b解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{bn}，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn=a1=20×1.05+=(20×1.05)×=420×1.05n当n=5时，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.说一说：试着梳理出上述探究中将实际问题转化为数学模型的过程？答案：方法总结：解数列应用题的一般步骤：(1)明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，或是含有递推关系的数列问题；(2)将实际问题抽象为数学问题，抓住数量关系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达，建立数列模型；(3)明确是求an，还是求S设计意图：通过问题探究让学生了解等比数列的应用，熟悉解数列应用题的一般步骤，培养学生的数学运算、数学建模等核心素养．三、应用举例例1为了恢复生态，某地决定从今年开始逐步将6370万亩耕地退耕还林，计划今年退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积比上一年递增12%，那么经过6年该地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？思考：每年退耕土地面积构成什么数列？答案：第1年退耕土地面积：515万亩；第2年退耕土地面积：515×(1+第3年退耕土地面积：515×1+……构成首项为515，公比为1+12解：根据题意，每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相同，所以从今年起，每年退耕还林的面积（单位：万亩）组成一个等比数列{aa1=515则S6=a答：经过6年该地区退耕还林的面积共约4179万亩.追问：该地区要经过多少年才能基本解决退耕还林问题？答案：Sn由于S8≈6334，S9≈7609，所以例2某人今年初向银行申请贷款20万元，月利率为3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷.如果10年还清，那么每月应还贷多少元？分析：对于分期付款，银行有如下规定：（1）分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；（2）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和.为解决上述问题，我们先考察一般情形.设某商品一次性付款的金额为a元，以分期付款的形式等额地分成n次付清，每期期末所付款是x元，期利率为r，则分期付款方式可表示为：从而有x运用等比数列的求和公式，化简得x这是分期付款的数学模型.解：设每月应还贷x元，共付款12×10=120次，则有x=200000(1+0.003375)120化简得x≈2029.66（元）.答：每月应还贷款2029.66元.设计意图：通过例题，进一步熟悉等比数列的求和公式的应用，掌握利用等比数列的求和公式解决相关实际问题．四、课堂练习1.《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为（）A.96B.126C.192D.2522.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n3.如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将无限趋近于多少？参考答案：1.解：由题意得，该人每天走的路程形成以a1为首项，以1因为该人6天后到达目的地，则有S6=a所以第1天所走路程里数为192.2.解：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn由2n+1−由于26=64则n+1≥7需要的最少天数n等于6.3.解：(1)设正方形ABCD的面积为b1，后继各正方形的面积依次为b2，b3，…，bn，则b1=25设这10个正方形的面积构成数列{bn}，则数列{bn}是以25为首项，12为公比的等比数列.Sn=(2)当n无限增大时，所有这些正方形的面积之和S随着n的无限增大，(12)n将无限趋近于0，所以，所有这些正方形的面积之和将无限趋近于50.五、课堂小结解数列应用题