2021数学（文）统考版二轮复习学案：板块1 命题区间精讲 精讲6 随机事件的概率、古典概型、几何概型含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2021高考数学（文）统考版二轮复习学案：板块1命题区间精讲精讲6随机事件的概率、古典概型、几何概型含解析随机事件的概率、古典概型、几何概型命题点1随机事件的概率随机事件的概率要抓住3点(1）明确事件间的关系：如事件间是互斥还是对立关系；(2)理解事件的含义:如事件A＋B表示事件A，B至少有一个发生；(3）清楚公式的使用条件：如当A，B互斥时有P（A∪B)＝P(A）＋P(B),当A，B对立时有P（B）＝1－P（A)．［高考题型全通关]1．书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本．设事件M表示“两本都是《红楼梦》”；事件N表示“一本是《西游记》,一本是《水浒传》”；事件P表示“取出的两本中至少有一本《红楼梦》”．下列结论正确的是（)A．M与P是互斥事件B．M与N是互斥事件C．N与P是对立事件D．M，N,P两两互斥B［由于事件M包含于事件P，M与P是既不对立也不互斥事件，M与N是互斥事件，N与P是互斥事件．所以A，C，D三个选项错误．故选B．]2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球，摸出红球的概率是0。38,摸出白球的概率是0.34，那么摸出黑球的概率是（）A．0.42B．0。28C．0.36D．0.62B[由题意，设摸出球为红球、白球、黑球分别为事件A，B，C,且为两两互斥事件，又口袋内只有这三种球，所以P(A)＋P（B)＋P(C）＝1，则P(C）＝1－P(A)－P(B）＝0。28,故选B．］3．（2020·潍坊模拟)近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t生活垃圾．经分拣以后数据统计如下表（单位：t）．根据样本估计本市生活垃圾投放情况，下列说法错误的是()“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060A．厨余垃圾投放正确的概率为eq\f（2,3）B．居民生活垃圾投放错误的概率为eq\f（3，10)C．该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱D．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物"箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000C［对A，厨余垃圾投放正确的概率为eq\f（400，400＋100＋100）＝eq\f(2,3),故A正确；对B，生活垃圾投放错误有200＋60＋40＝300,故生活垃圾投放错误的概率为eq\f(300,1000)＝eq\f(3,10），故B正确;对C，“厨余垃圾”箱投放正确的概率为eq\f（400，400＋30＋20）＝eq\f（8,9），“可回收物”箱投放正确的概率为eq\f（240，100＋240＋20)＝eq\f（2，3)，“其他垃圾”箱投放正确的概率为eq\f（60，100＋30＋60）＝eq\f（6，19)，所以该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“厨余垃圾"箱，故C错误;对D，厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的平均数eq\x\to(x)＝eq\f(400＋100＋100，3）＝200，所以方差s2＝eq\f（［400－2002＋100－2002＋100－2002],3)＝20000,故D正确．故选C．]4．（2020·云师大附中模拟）“ATM”自动取款机设定：一张银行卡一天最多允许有三次输入错误，若第四次再错则自动将卡吞没．李四在“ATM"自动取款机上取款，一时想不起该卡的密码，但可以确定是五个常用密码中的一个，他第一次输入其中的一个密码是错误的，则他在确保不被吞卡的前提下取到款的概率是（)A．eq\f（1，5）B．eq\f（1，4）C．eq\f（1，2)D．eq\f（3,4)C［他只能再试两次，第一次试成功的概率是eq\f（1，4）,第二次试成功的概率是eq\f（3，4）×eq\f(1，3）＝eq\f(1,4)，两次是互斥事件，∴P＝eq\f（1,4）＋eq\f(1,4）＝eq\f（1,2），故选C．］命题点2古典概型求古典概型概率的2个步骤（1)计数:会利用枚举法、列表法等，求样本空间所含的基本事件数n以及事件A所含的基本事件数m。（2）运算：套用古典概型的概率计算公式P(A）＝eq\f（m,n)求事件A发生的概率．[高考题型全通关]1．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为()A．eq\f（1,5)B．eq\f（2,5)C．eq\f（8，25)D．eq\f（9，25）B[从甲、乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为eq\f（4,10)＝eq\f（2，5)。］2．（2020·运城一模）某学校美术室收藏有4幅国画，其中山水画、花鸟画各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为()A．eq\f（5，6）B．eq\f（4,5）C．eq\f(3,4)D．eq\f(2，3)D[设山水画为A1，A2，花鸟画为B1，B2，则共有（A1，A2),(A1，B1),（A1，B2)，(A2，B1）,（A2,B2)，（B1，B2)6种情况,满足条件的有4种，故P＝eq\f（4,6）＝eq\f(2，3)。故选D．]3．(2020·成都一诊)齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,若有优势的马一定获胜,则齐王的马获胜得概率为(）A．eq\f(4,9）B．eq\f(5，9）C．eq\f(2,3)D．eq\f（7,9）C[设齐王上等、中等、下等马分别为A,B,C，田忌上等、中等、下等马分别为a，b,c，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，基本事件有:（A，a)，（A，b）,(A，c)，(B，a),（B,b)，（B，c)，（C,a）,(C，b），（C,c)，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有：(A,a)，(A,b)，（A，c)，(B，b），（B，c），（C，c)，共6种,∴齐王的马获胜的概率为P＝eq\f（6,9）＝eq\f（2,3)，故选C．］4．(2020·海淀模拟）哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如12＝5＋7,在不超过18的素数2,3，5，7,11，13,17中,随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是(）A．eq\f（1，42）B．eq\f（1，21）C．eq\f(2,21)D．eq\f（1，7）C[在不超过18的素数2,3,5,7,11,13，17中随机选取两个不同的数共有21种不同的方法，其和等于18包含的基本事件有：(5,13），(7，11），共2个,∴其和等于18的概率是P＝eq\f（2，21).]5．（2020·哈尔滨三中模拟）为了给国外新冠肺炎疫情严重的地区提供援助,国内某机构计划派出由5人组成的专家小组,其中甲、乙、丙3人通晓英语，丁、戊2人通晓法语，现从中随机选出通晓英语、法语的专家各1名作为领队，则甲和丁至少有1人被选中的概率为________．eq\f（2,3)［从5人中选出通晓英语、法语的专家各1名的可能结果为（甲,丁），(甲，戊)，（乙，丁），（乙,戊)，(丙，丁),（丙，戊)共6种情况．甲和丁至少有1人被选中有(甲,丁），(甲，戊),（乙，丁），(丙，丁），共4种情况，甲和丁至少有1人被选中的概率为P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)。][教师备选]1．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（)A．eq\f（2，3）B．eq\f（2，5)C．eq\f（3,5）D．eq\f(9,10)D[记事件A为甲或乙被录用．从五人中录用三人,基本事件有(甲,乙，丙）、（甲，乙，丁)、（甲，乙,戊)、(甲，丙，丁）、(甲，丙，戊)、（甲，丁，戊），（乙,丙，丁)，（乙，丙,戊)，（乙，丁，戊）、(丙，丁,戊）,共10种可能，而A的对立事件eq\x\to（A)仅有(丙，丁，戊)一种可能，∴A的对立事件eq\x\to(A）的概率为P(eq\x\to(A）)＝eq\f(1，10)，∴P(A）＝1－P（eq\x\to（A））＝eq\f(9，10）。故选D．]2．从4名男生和2名女生中任选3人参加某项活动,则所选的3人中女生人数不超过1的概率是（)A．0。8B．0。6C．0。4D．0。2A[设事件Q为“所选3人中女生人数不超过1,”事件M为“所选3人中女生人数为1”,事件N为“所选3人中女生人数为0”，则事件M,N是互斥事件．4名男生分别记为1,2,3,4；2名女生分别记为a，b。从4名男生和2名女生中任选3人有20种不同的结果，分别为｛1，2,3｝，{1，2,4},{1,2，a}，｛1,2，b｝，｛1，3,4}，｛1，3，a｝,{1,3，b｝，｛1，4，a}，{1，4，b}，{1，a，b},｛2，3,4），｛2,3，a}，｛2,3，b｝,{2,4，a},{2，4，b｝，｛2,a，b｝,｛3,4，a}，{3，4，b)，｛3,a，b}，｛4，a,b｝．事件M所含的基本事件分别为｛1，2，a｝，｛1，2，b｝，{1,3,a},｛1，3，b},｛1，4,a},{1，4，b｝，{2,3，a），{2，3,b｝,{2，4,a｝，｛2,4,b｝，{3，4，a｝，{3，4，b｝，共12个，所以P(M）＝eq\f(12，20)＝eq\f（3，5)；事件N所含的基本事件分别为{1,2,3｝,{1,2，4},｛1,3,4｝，｛2，3,4｝，共4个，所以P（N）＝eq\f（4,20)＝eq\f（1，5).所以事件Q的概率为P（Q)＝P(M）＋P（N)＝eq\f（3,5）＋eq\f(1,5）＝0。8,故选A．]3.如图是由1个圆、1个三角形和1个长方形构成的组合体，现用红、蓝2种颜色为其涂色，每个图形只能涂1种颜色，则3个图形颜色不全相同的概率为________．eq\f（3，4）[设事件M为“3个图形颜色不全相同"，则其对立事件eq\x\to(M）为“3个图形颜色全相同"，用红、蓝2种颜色为3个图形涂色，每个图形有2种选择，共有8种情况．其中颜色全部相同的有2种,即全部用红色或蓝色，所以P(eq\x\to(M））＝eq\f（2,8)＝eq\f(1，4)，所以P(M)＝1－P(eq\x\to(M)）＝1－eq\f（1,4)＝eq\f（3，4)。]命题点3几何概型解决几何概型问题应注意的2点（1)明确几何概型的适用条件：基本事件发生的等可能性和基本事件的无限性．（2）分清几何概型中的“测度":注意区别长度与角度、面积、体积等度量方式．[高考题型全通关]1．在区间(1,3）内，任取1个数x，则满足log2（2x－1）＞1的概率为（)A．eq\f(1,4)B．eq\f（1,2)C．eq\f（2，3)D．eq\f（3，4)D［由题意，满足log2(2x－1）＞1，则2x－1＞2，解得x＞eq\f(3，2)，所以在区间（1，3）内，任取1个数x时，x＞eq\f（3,2)的概率为P＝eq\f(3－\f（3,2）,3－1）＝eq\f(3,4)，故选D．]2．(2020·咸阳二模)“纹样"是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹"是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，已知恰有80个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（)A．eq\f(16,5)B．eq\f（32,5)C．10D．eq\f（18，5)D［由题意可得eq\f（S阴影,S正方形）＝eq\f(80，200），∴S阴影＝eq\f(2，5)×32＝eq\f（18,5).故选D．]3．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广"，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位．现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田．若在邪田内随机种植一株茶树，则该株茶树恰好种在圭田内的概率为（）A．eq\f(2，15)B．eq\f（2，5）C．eq\f(4，15）D．eq\f（1,5）A[由题意可知，邪田的广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步,正从为五步的圭田．在邪田内随机种植一株茶树，∴该株茶树恰好种在圭田内的概率为P＝eq\f（\f（1，2）×8×5，\f(1,2）10＋20×10)＝eq\f(2,15）。故选A．]4．正六面体有6个面，8个顶点；正八面体有8个面，6个顶点．我们称它们互相对偶．如图，连接正六面体各面的中心，就会得到对偶的正八面体，在正六面体内随机取一点,则此点取自正八面体内的概率是(）A．eq\f(1,6）B．eq\f（1,5)C．eq\f(1，4)D．eq\f（1,3)A[设正方体的棱长为2，则正方体的体积为8.正八面体是由两个全等的正四棱锥组成,且棱长为eq\r(2)，故其底面积为2，高为1，体积为eq\f（1，3）×1×2＝eq\f（2，3）;∴正八面体的体积为2×eq\f（2,3)＝eq\f(4,3).∴所求概率为P＝eq\f(\f（4,3），8）＝eq\f(1,6),故选A．]5．若命题p：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为eq\f(1，3)；命题q：在边长为4的正方形ABCD内任取一点M，则∠AMB＞90°的概率为eq\f（π，8)，则下列命题是真命题的是(）A．p∧q B．（p）∧qC．p∧（q） D．qB［因为从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为P1＝eq\