2021高三统考北师大版数学一轮学案：第6章第1讲数列的概念与简单表示法含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2021高三统考北师大版数学一轮学案：第6章第1讲数列的概念与简单表示法含解析第六章数列第1讲数列的概念与简单表示法基础知识整合1．数列的定义按照eq\x(\s\up1(01)）一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的eq\x（\s\up1(02)）项．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数eq\x(\s\up1（03))有限无穷数列项数eq\x（\s\up1(04)）无限按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1eq\x(\s\up1(05））＞an其中n∈N*递减数列an＋1eq\x（\s\up1(06)）＜an常数列an＋1＝an，摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3．数列的表示法数列有三种常见表示法，它们分别是eq\x（\s\up1（07）)列表法、eq\x（\s\up1(08))图象法和eq\x（\s\up1(09）)解析法．4．数列的通项公式如果数列｛an｝的第n项与eq\x（\s\up1(10）)序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．1．在数列｛an}中，若an最大，则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（an≥an－1，,an≥an＋1.）)若an最小，则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（an≤an－1,，an≤an＋1.))2．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列．3．数列通项公式的注意点（1）并不是所有的数列都有通项公式;(2）同一个数列的通项公式在形式上未必唯一;(3)对于一个数列,如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律,是不能确定这个数列的．4．递推公式:如果已知数列{an｝的第1项(或前几项)，且从第二项（或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．5．通项公式和递推公式的异同点不同点相同点通项公式可根据某项的序号n的值,直接代入求出an都可确定一个数列,也都可求出数列的任意一项递推公式可根据第一项(或前几项）的值，通过一次（或多次）赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的an，也可通过变形转化，直接求出an6．数列{an｝的an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an,则an＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（S1,n＝1,,Sn－Sn－1,n≥2。））1．在数列1,1,2,3，5,8,13，x,34，55，…中，x应取()A．19 B．20C．21 D．22答案C解析a1＝1，a2＝1，a3＝2，∴an＋2＝an＋1＋an，∴x＝8＋13＝21，故选C。2．数列0，eq\f(2，3)，eq\f（4,5），eq\f（6，7)，…的一个通项公式为（)A．an＝eq\f（n－1,n＋1) B．an＝eq\f（n－1，2n＋1）C．an＝eq\f(2n－1，2n－1) D．an＝eq\f(2n,2n＋1)答案C解析将0写成eq\f（0,1)，观察数列中每一项的分子、分母可知,分子为偶数列，可表示为2（n－1)，n∈N*;分母为奇数列，可表示为2n－1，n∈N＊，故选C。3．在数列｛an}中,a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则eq\f（a3,a5）的值是（)A。eq\f(15,16) B.eq\f（15,8)C.eq\f（3，4） D.eq\f(3,8）答案C解析由已知得a2＝1＋(－1）2＝2，∴2a3＝2＋（－1）3，a3＝eq\f(1，2），∴eq\f（1,2)a4＝eq\f(1,2）＋(－1）4，a4＝3,∴3a5＝3＋（－1）5,∴a5＝eq\f（2,3），∴eq\f（a3,a5）＝eq\f(1,2)×eq\f（3，2)＝eq\f(3，4)。故选C。4．(2019·济宁模拟)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝eq\f(n,n＋1)，则eq\f(1,a5）等于(）A.eq\f(5,6） B.eq\f（6,5)C.eq\f(1，30) D．30答案D解析∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f（n,n＋1)－eq\f（n－1,n)＝eq\f（1，nn＋1)，∴eq\f(1，a5)＝5×(5＋1)＝30。5．在数列{an｝中,若a1＝2,an＝eq\f（1，1－an－1)（n≥2，n∈N*)，则a8＝()A．－1 B．1C。eq\f(1，2） D．2答案A解析因为a1＝2，an＝eq\f（1,1－an－1）(n≥2,n∈N*），所以a2＝eq\f(1，1－2)＝－1,a3＝eq\f(1,1－－1)＝eq\f（1，2),a4＝eq\f(1，1－\f(1，2))＝2,所以｛an｝是周期数列，周期是3,所以a8＝a2＝－1.6．在数列｛an}中，a1＝2，an＋1＝an＋eq\f(1，nn＋1),则数列an＝________。答案3－eq\f（1,n）解析由题意，得an＋1－an＝eq\f(1，nn＋1）＝eq\f（1,n）－eq\f（1,n＋1）,an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1）＋a1＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,n－1)－\f(1，n）)）＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，n－2)－\f（1,n－1)））＋…＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，2）－\f（1,3））)＋eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)））＋2＝3－eq\f（1，n).核心考向突破考向一利用an与Sn的关系求通项公式例1(1)已知数列｛an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________.答案eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（4，n＝1，,2×3n－1，n≥2）)解析当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝（3n＋1)－(3n－1＋1）＝2×3n－1。当n＝1时，2×31－1＝2≠a1,所以an＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（4,n＝1，,2×3n－1，n≥2.))(2）(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an｝的前n项和，若Sn＝2an＋1,则S6＝________。答案－63解析根据Sn＝2an＋1，可得Sn＋1＝2an＋1＋1,两式相减得an＋1＝2an＋1－2an,即an＋1＝2an，当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，所以数列｛an}是以－1为首项，以2为公比的等比数列，所以S6＝eq\f（－1－26，1－2)＝－63.已知Sn求an的一般步骤（1)当n＝1时，由a1＝S1求a1的值；(2)当n≥2时,由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式;(3)检验a1的值是否满足（2）中的表达式，若不满足，则分段表示a1；(4)写出an的完整表达式．[即时训练］1。（2019·宁夏中卫市模拟）设Sn是数列｛an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________。答案－eq\f(1，n）解析∵an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，又由a1＝－1，知Sn≠0，∴eq\f(1,Sn)－eq\f(1，Sn＋1)＝1，∴eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1（\f(1,Sn）)）是等差数列，且公差为－1，而eq\f(1，S1）＝eq\f（1,a1）＝－1，∴eq\f（1，Sn）＝－1＋（n－1)×（－1）＝－n,∴Sn＝－eq\f（1,n).2．设数列{an｝的前n项和为Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N＊,则a1＝________，S5＝________。答案1121解析解法一：由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝4，,a2＝2a1＋1，)）解得a1＝1。由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋eq\f（1,2)＝3eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(Sn＋\f(1,2）)),所以eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1(Sn＋\f（1，2))）是以eq\f(3，2)为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＋eq\f（1，2）＝eq\f（3,2）×3n－1，即Sn＝eq\f(3n－1，2)，所以S5＝121。解法二：由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝4，，a2＝2a1＋1，）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a1＝1，,a2＝3,)）又因为an＋1＝2Sn＋1,an＋2＝2Sn＋1＋1,两式相减，得an＋2－an＋1＝2an＋1，即eq\f（an＋2，an＋1）＝3，又因为eq\f（a2，a1)＝3,所以｛an｝是首项为1，公比为3的等比数列,所以an＋1＝3n,所以Sn＝eq\f（3n－1,2）,所以S5＝121。考向二由递推关系求数列的通项公式例2分别求出满足下列条件的数列的通项公式．(1)a1＝0，an＋1＝an＋（2n－1）（n∈N＊)；(2）a1＝1，an＝eq\f（n，n－1)an－1（n≥2，n∈N＊）;（3）a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N＊)；(4)a1＝－2,an＋1＝3an＋6（n∈N*)．解(1)an＝a1＋（a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋（2n－3）＝(n－1）2,所以数列的通项公式为an＝（n－1)2.(2）当n≥2，n∈N＊时，an＝a1×eq\f(a2,a1)×eq\f(a3，a2)×…×eq\f（an,an－1）＝1×eq\f(2,1)×eq\f(3,2）×…×eq\f（n－2，n－3)×eq\f(n－1,n－2)×eq\f(n，n－1)＝n,当n＝1时，也符合上式，所以该数列的通项公式为an＝n.（3）因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3（an＋1),所以eq\f(an＋1＋1,an＋1）＝3，所以数列｛an＋1｝为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以该数列的通项公式为an＝2·3n－1－1.(4)因为an＋1＝3an＋6，所以an＋1＋3＝3(an＋3），又因为a1＝－2,所以a1＋3＝1，所以{an＋3}是首项为1,公比为3的等比数列，所以an＋3＝3n－1，所以an＝3n－1－3。由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且an－an－1＝f(n),可用“累加法"求an。（2)已知a1且eq\f（an,an－1)＝f（n)，可用“累乘法”求an.(3）已知a1且an＋1＝qan＋b,则an＋1＋k＝q（an＋k)（其中k可由待定系数法确定),可转化为等比数列｛an＋k｝．（4）形如an＋1＝eq\f（Aan，Ban＋C）(A,B，C为常数）的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．［即时训练］3.在数列｛an｝中，a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)(n∈N＊），则eq\f(1,4）是这个数列的()A．第6项 B．第7项C．第8项 D．第9项答案B解析由an＋1＝eq\f（2an，an＋2)可得eq\f（1,an＋1）＝eq\f(1，an)＋eq\f（1，2），即数列eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(\f（1,an)））是以eq\f（1,a1）＝1为首项，eq\f（1，2)为公差的等差数列,故eq\f(1，an)＝1＋(n－1)×eq\f（1,2)＝eq\f(1，2）n＋eq\f(1，2),即an＝eq\f（2，n＋1),由eq\f(2，n＋1)＝eq\f(1,4）,解得n＝7.故选B。4．若数列｛an}满足：a1＝1,an＋1＝an＋2n，则数列an＝________。答案2n－1解析由题意知an＋1－an＝2n，an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝eq\f(1－2n，1－2)＝2n－1.5．在数列{an｝中，a1＝4，nan＋1＝（n＋2）an，则数列an＝________。答案2n(n＋1)(n∈N*）解析由递推关系得eq\f(an＋1，an)＝eq\f（n＋2,n)，又a1＝4,∴an＝eq\f（an,an－1）·eq\f（an－1，an－2)·…·eq\f(a3，a2)·eq\f（a2,a1)·a1＝eq\f(n＋1，n－1）×eq\f（n,n－2）×eq\f（n－1，n－3）×…×eq\f(4，2)×eq\f（3,1）×4＝eq\f（n＋1×n,2×1）×4＝2n(n＋1)(n∈N*)．精准设计考向,多角度探究突破考向三数列的性质角度1数列的单调性例3(2019·永州模拟）已知数列｛an｝中,a1＝a,a2＝2－a，an＋2－an＝2，若数列｛an}单调递增，则实数a的取值范围为________．答案(0,1)解析由an＋2－an＝2可知数列｛an｝的奇数项、偶数项分别递增,若数列｛an}单调递增，则必有a2－a1＝（2－a）－a>0且a2－a1＝（2－a)－a<an＋2－an＝2，可得0<a〈1，故实数a的取值范围为（0,1）．角度2数列的周期性例4数列｛an｝中，a1＝2，a2＝3，an＋1＝an－an－1（n≥2)，那么a2019＝（)A．1 B．－2C．3 D．－3答案A解析因为an＝an－1－an－2(n≥3），所以an＋1＝an－an－1＝(an－1－an－2)－an－1＝－an－2,所以an＋3＝－an，所以an＋6＝－an＋3＝an,所以{an}是以6为周期的周期数列．因为2019＝336×6＋3,所以a2019＝a3＝a2－a1＝3－2＝1。故选A.角度3数列的最值例5(1）若数列｛an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*），则数列{nan}中数值最小的项是（)A．第2项 B．第3项C．第4项 D．第5项答案B解析∵Sn＝n2－10n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11;当n＝1时,a1＝S1＝－9也适合上式．∴an＝2n－11（n∈N＊）．记f(n)＝nan＝n(2n－11）＝2n2－11n，此函数图象的对称轴为直线n＝eq\f(11，4)，但n∈N＊，∴当n＝3时，f（n）取最小值．于是数列{nan}中数值最小的项是第3项．（2）已知数列{an｝的通项公式为an＝(n＋2）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（7,8）))n,则当an取得最大值时，n＝________.答案5或6解析当an取得最大值时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（an≥an－1，，an≥an＋1,))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＋2\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(7，8）)）n≥n＋1\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（7,8)）)n－1，，n＋2\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(7,8))）n≥n＋3\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(7，8））)n＋1，）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（n≤6，，n≥5，))∴当an取得最大值时，n＝5或6.（1）利用递推公式探求数列的周期性的两种思想思想1：根据递推公式，写出数列的前n项直到出现周期情况后,利用an＋T＝an写出周期（n＋T）－n＝T.思想2:利用递推公式“逐级"递推，直到出现an＋T＝an，即得周期T＝(n＋T）－n.(2)判断数列的单调性的两种方法［即时训练]6。已知数列｛an｝满足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an）（n∈N＊)，则a1·a2·a3·…·a2019＝()A．－6 B．6C．－3 D．3答案D解析∵a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an),∴a2＝eq\f(1＋2，1－2）＝－3，a3＝－eq\f（1,2）,a4＝eq\f（1，3），a5＝2，…,∴an＋4＝an，又a1a2a3a4＝1，∴a1·a2·a3·…·a2019＝(a1a2a3a4）504×a1a2a3＝1×2×(－3)×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（1，2）)）＝3.故选D.7．已知数列｛an}满足an＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（1－3a·n＋10a，n≤6，，an－7，n>6)）(n∈N＊),若对任意的n∈N*，均有an>an＋1,则实数a的取值范围是（）A.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，3)，1)） B。eq\b\lc\（\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f(1,3),\f(5,8))）C.eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f(1,3），\f（1，2))) D.eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,3），\f（5,8）)）答案D解析由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3a〈0,,0<a<1，，61－3a＋10a〉a7－7，)）解得eq\f（1,3)<a<eq\f(5，8）。故选D。8．已知数列{an｝中,an＝1＋eq\f（1，a＋2n－1)（n∈N＊，a∈R，且a≠0）．(1）若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N＊，都有an≤a6成立,求a的取值范围．解（1)∵an＝1＋eq\f（1,a＋2n－1）（n∈N＊，a∈R，且a≠0），又a＝－7,∴an＝1＋eq\f（1，2n－9）。结合函数f(x）＝1＋eq\f（1,2x－9)的单调性,可知1>a1>a2>a3〉a4,a5>a6>a7〉…>an〉1（n∈N＊）．∴数列｛an}中的最大项为a5＝2,最小项为a4＝0.（2)an＝1＋eq\f（1,a＋2n－1)＝1＋eq\f(\f（1,2),n－\f(2－a，2））。∵对任意的n∈N＊，都有an≤a6成立，结合函数f(x)＝1＋eq\f(\f（1,2),x－\f（2－a,2）)的单调性，知5〈eq\f(2－a,2)〈6，∴－10<a〈－8.故a的取值范围为(－10，－8）．(2019·济南模拟)已知数列｛an}中，a1＋a2＋…＋an＝2an－1（n∈N*）．（1)求数列{an｝的通项公式；(2）若对任意的n∈N＊，不等式2kan≥2n－9恒成立,求实数k的取值范围．解(1)令n＝1，则a1＝2a1－1，解得a1由a1＋a2＋…＋an＝2an－1（n∈N*)，知a1＋a2＋…＋an－1＝2an－1－1(n≥2）,两式相减得an＝2an－2an－1，化简得an＝2an－1(n≥2)，∴eq\f（an，a1)＝eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2）·…·eq\f（an,an－1）＝2n－1,∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.（2)由2kan≥2n－9，整理得k≥eq\f（2n－9,2n)，令bn＝eq\f（2n－9，2n)，则bn＋1－bn＝eq\f(2n－7,2n＋1)－eq\f(2n－9,2n)＝eq\f（11－2n,2n＋1），当n＝1，2,3，4，5时，bn＋1－bn＝eq\f(11－2n,2n