大学物理课后习题答案北邮第三版下

word文档可自由复制编辑word文档可自由复制编辑word文档可自由复制编辑大学物理习题及解答8-1电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?解:如题8-1图示(1)以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q为负电荷q2 1 qqcos30 4πa2 4π3 0 0(a)2 3 3qq解得 3(2)与三角形边长无关．题8-1图题8-2图8-2两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量．解:如题8-2图示 Tcosmg TsinF1 q2 e4π0(2lsin)2q2lsin4mgtan解得 0 qE8-3根据点电荷场强公式40r2，当被考察的场点距源点电荷很近(r→0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?qEr解: 4π0r20仅对点电荷成立，当r0时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．8-4在真空中有A，B两平行板，相对距离为d，板面积为S，其带电量分别为+q和-q．则 q2 q Ef f4d2 fqES这两板之间有相互作用力，有人说= 0 ,又有人说，因为= , 0，所q2fS f以=0．试问这两种说法对吗?为什么?到底应等于多少?解:题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把qES合场强 0看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个q q q2Efq 2S 2S2S板的电场为0，另一板受它的作用力00，这是两板间相互作用的电场力．8-5一电偶极子的电矩为pql，场点到偶极子中心O点的距离为r,矢量r与l的夹角为,(见题8-5图)，且rl．试证P点的场强E在r方向上的分量Er和垂直于r的分量E分别为pcospsinE2r3E4r3r= 0,= 0证:如题8-5所示，将分解为与r平行的分量psin和垂直于r的分量psin．p ∵rl∴场点P在r方向场强分量pcosEr2πr30垂直于r方向，即方向场强分量psinE04πr30题8-5图题8-6图8-6长l=15.0cm的直导线AB上均匀地分布着线密度=5.0x10-9C·m-1的正电荷．试求： a P点的场强；(2)在导线的垂直平分线上(1)在导线的延长线上与导线B端相距1=5.0cm处 d Q与导线中点相距2=5.0cm处点的场强．解：如题8-6图所示(1)在带电直线上取线元dx，其上电量dq在P点产生场强为1dxdEP4π(ax)2 0 l dxEdE 2 P P4π02l(ax)2 1 1 [] 4πl l0aa 2 2lπ(4a2l2) 0 用l15cm，5.0109Cm1,a12.5cm代入得EP6.74102NC1方向水平向右1dxdEQ4πx2d2(2)同理 0 2方向如题8-6图所示 由于对称性ldEQx0，即EQ只有y分量， 1dx d2dEQy4πx2d2x2d2∵ 0 2 2ldxd2 EdE2 l3 Qy Qy4π2(x2d2)2l 2 2 l2πl24d2 0 2以5.0109Ccm1,l15cm,d25cm代入得EQEQy14.96102NC1，方向沿y轴正向8-7一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为,求环心处O点的场强．dlRd解:如8-7图在圆上取题8-7图dqdlRd，它在O点产生场强大小为RddE4πR2 0 方向沿半径向外dEdEsinsind x 4πR则 0 dEdEcos()cosdy 4πR 0 Esindx 4πR 2πR0积分 0 0Ecosd0y 4πR00 EE x2πR x轴正向．∴ 0，方向沿8-8均匀带电的细线弯成正方形，边长为l，总电量为q．(1)求这正方形轴线上离中心为r处的场强E；(2)证明：在rl处，它相当于点电荷q产生的场强E． q 解:如8-8图示，正方形一条边上电荷4在P点产生物强dEP方向如图，大小为coscos dE 1 24π4π4220lr222lr222lr1∵coscos 2 1 ldE∴42∴424π42222220lrlrlr24π422220lrlr∴ dE dEdEcos P在垂直于平面上的分量 P l rdE题8-8图由于对称性，P点场强沿OP方向，大小为4lrE4dE P l2 l24π(r2)r2 0 4 2q∵ 4lqrE P l2 l24π(r2)r2 0 4 2方向沿OP∴q8-9(1)点电荷位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面q q的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示，在点电荷的电场中取半径为R的圆平面．在Rarctan该平面轴线上的A点处，求：通过圆平面的电通量．( x)qEdS s 解:(1)由高斯定理 0立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通量相等qe6∴各面电通量 0．(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的立方体中心，则q边长2a的正方形上电通量e60q对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则e240，如果它包含q所在顶点则e0．如题8-9(a)如题8-9(a)图所示．题8-9(3)图题8-9(a)图题8-9(b)图题8-9(c)图(3)∵通过半径为R的圆平面的电通量等于通过半径为R2x2的球冠面的电通量，球冠面积*xS2π(R2x2)[1]R2x2 q S q x 0 1∴04π(R2x2)20[ R2x2]*关于球冠面积的计算：见题8-9(c)图S2πrsinrd 0 2πr2sind 0 2πr2(1cos)8-10均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2×105C·m-3求距球心5cm，8cm,12cm各点的场强． q q EdS E4πr2s , 0解:高斯定理 0当r5cm时，q0,E04πr8cm时，qp3(r3r内3)4πr3r2 E3 内 4πr2 3.48104N∴ 0r12cm时,q43π(r外3r内3）4πr3r3 E3外 内4.10104C1，方向沿半径向外． 4πr2 NC1沿半径向外.∴ 0 R RR R 和-,8-11半径为1和2(2＞1)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量试求:(1)r＜R1；(2)R1＜r＜R2；(3)r＞R2处各点的场强．qEdSs 解:高斯定理 0取同轴圆柱形高斯面，侧面积S2πrlEdSE2πrl则S rRq0,E0对(1) 1 RrRql1 2 E2πr∴ 0沿径向向外rRq02 ∴E0题8-12图8-12两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1和2，试求空间各处场强．解:如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1与2，1)nE(212两面间， 0 1)nE( 21 21面外， 0 1 E ()n 21 22面外， 0 n：垂直于两平面由1面指为2面．8-13半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为,若在球内挖去一块半径为r＜R的小球体，如题8-13图所示．试求：两球心O与O点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．解:将此带电体看作带正电的均匀球与带电的均匀小球的组合，见题8-13图(a)．O点产生电场E100，球在4E3πr3OO' 球在O点产生电场204π0d3 r3EOO'∴O点电场030d3 ；4E3d3OO'在O产生电场104π0d3 球在O产生电场E200E∴O点电场030OO'题8-13图(a)题8-13图(b)(3)设空腔任一点P相对O的位矢为r，相对O点位矢为r(如题8-13(b)图)rEPO3则 0，r E PO 30,EEE)OO'd(rr P PO PO3 33∴ 0 0 0∴腔内场强是均匀的．q8-14一电偶极子由=1.0×10-6C的两个异号点电荷组成，两电荷距离d=0.2cm，把这电偶极子放在1.0×105N·C-1的外电场中，求外电场作用于电偶极子上的最大力矩． p E中受力矩解:∵电偶极子在外场MpE M pEqlE∴max 代入数字Mmax1.010621031.01052.0104Nmq q r两点电荷1=1.5×10-8C，2=3.0×10-8C，相距1=42cm，要把它们之间的距离变为r2=25cm，需作多少功?2r2qqdrq1q2(11)ArFdr12解: r1 r24π0r24π0r1r26.55106J外力需作的功AA6.55106J题8-16图如题8-16图所示，在A，B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正试验点电荷q0从O点经过半圆弧移到C点，求移动过程中电场力作的功．解:如题8-16图示 1 qqU0(RR)0O4π 1 q qqUO4π0(3RR)6π0RqqAq(UU)o0 O C 6πR∴ 08-17如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R．试求环中心O点处的场强和电势．解:(1)由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，取dlRd dqRdO点dE如图，由于对称性，O点场强沿y轴负方向则 产生题8-17图RdEdE2cosy4πR2 2 0 0R［sin(2)sin2］4π2πR0(2)AB电荷在O点产生电势，以U0Adx2Rdxln2U 1 4πxR4πx4πB 0 0 0 Uln2同理CD产生24π0 word文档可自由复制编辑word文档可自由复制编辑word文档可自由复制编辑πRU34πR4半圆环产生 0 0 UUUUln2 O 1 2 32π4∴ 0 08-18一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104m·s-1的匀速率作圆周运动．求带电直线m -31 e=1.60×10-19C)上的线电荷密度．(电子质量0=9.1×10kg，电子电量解:设均匀带电直线电荷密度为，在电子轨道处场强E2πr0eFeE e 2πr电子受力大小 0ev2m 2πr r∴ 0 2πmv2 0 12.51013得 e Cm18-19空气可以承受的场强的最大值为E=30kV·cm-1，超过这个数值时空气要发生火花放电．今有一高压平行板电容器，极板间距离为d=0.5cm，求此电容器可承受的最高电压．解:平行板电容器内部近似为均匀电场∴UEd1.5104V 8-20根据场强E与电势U的关系EU，求下列电场的场强：(1)点电荷q的电场；(2)总电量为q，半径为R的均匀带电圆环轴上一点；*(3)偶极子pql的rl处(见题8-20图)．qU4πr解:(1)点电荷 0题8-20图 U q Errr04πr20rr方向单位矢量．∴ 0 0为(2)总电量q，半径为R的均匀带电圆环轴上一点电势qU4πR2x2 0 U qx Eii x 4πR2x23/2∴ 0 pqlrl处的一点电势(3)偶极子 在 q 1 1 qlcos U [ ]4π0(rlcos)(1lcos)4π0r2 2 2 U pcosE r r2πr3∴ 0 1U psin E r4πr308-21证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题8-21图)来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同．证:如题8-21图所示，设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1，2，3，4题8-21图(1)则取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合柱面为高斯面时，有EdS()S0s 2 3 0∴2 3 说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；(2)在A内部任取一点P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即123402222 0 0 0 0 0又∵2 3 ∴1 4说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同．8-22三个平行金属板A，B和C的面积都是200cm2，A和B相距4.0mm，A与C相距2.0mm．B，C都接地，如题8-22图所示．如果使A板带正电3.0×10-7C，略去边缘效应，问B板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A板的电势是多少?解:如题8-22图示，令A板左侧面电荷面密度为1，右侧面电荷面密度为2题8-22图 U U(1)∵AC AB，即EdEd∴AC AC ABAB E d1ACAB2 E d∴2 AB AC qA且1+2S q 2qA,A得23S13S2qSq2107而C 1 3A CqS1107C B 2 UEd1d2.3103(2)A AC AC0 AC V8-23两个半径分别为R1和R2（R1＜R2)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q，试计算：(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；*(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量．解:(1)内球带电q；球壳内表面带电则为q,外表面带电为q，且均匀分布，其电势题8-23图UEdrqdrq R2 R24π0r24π0R(2)外壳接地时，外表面电荷q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为q．所以球壳电势由内球q与内表面q产生： q q U 0 4πR 4πR 02 02 q q(3)设此时内球壳带电量为；则外壳内表面带电量为 ，外壳外表面带电量为qq(电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且 q' q' qq' U 0 A4πR 4πR 4πR 01 02 02 Rq1qR得 2外球壳上电势 q' q' qq'RRq U 1 2 B4πR 4πR 4πR 4πR2 02 02 02 028-24半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为d3R处有q一点电荷+，试求：金属球上的感应电荷的电量． q U0解:如题8-24图所示，设金属球感应电荷为，则球接地时电势O 8-24图由电势叠加原理有： q' q 0U4πR4π3R O 0 0 qq3得 8-25有三个大小相同的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力F为0．试求：(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力；(2)小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2之间的库仑力．q2F04πr2解:由题意知 0(1)小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电qq2,小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电3qq4∴此时小球1与小球2间相互作用力3q2 Fq'q" 8 3F14πr24πr280 0 0 2q(2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均为3.22qqF334F∴小球1、2间的作用力24π0r290*8-26如题8-26图所示，一平行板电容器两极板面积都是S，相距为d，分别维持电势U=U，UB=0不变．现把一块带有电量q的导体薄片平行地放在两极板正中间，片的面积是S，片的厚度略去不计．求导体薄片的电势．解:依次设A,C,B从上到下的6个表面的面电荷密度分别为1，2，3，4,5,6UU 6个方程如图所示．由静电平衡条件，电荷守恒定律及维持AB 可得以下题8-26图 q 1 U12SASC0U0dq 3 4S UqB0 5 6 S d2300 4 5123456q解得1 62S U q0 2 3 d 2S U q0 4 5 d 2S U qE4所以CB间电场20 d20S d1 qd UU E(U ) C CB 222 2S0 U UUU注意：因为C片带电，所以C 2，若C片不带电，显然C 2 R R8-27在半径为1的金属球之外包有一层外半径为2的均匀电介质球壳，介质相对介电常 Q数为r，金属球带电．试求：(1)电介质内、外的场强；(2)电介质层内、外的电势；(3)金属球的电势．DdSq解:利用有介质时的高斯定理S (RrR)(1)介质内1 2场强 Qr Qr D ,E 4πr3 内4πr30r;(rR)介质外 2场强Qr Qr D ,E 4πr3 外4πr30(rR)(2)介质外 2电势EdrQUr 外 4πr0介质内(R1rR2)电势EdrEdr U r 内 r 外 q 11 Q() 4πrR 4πR 0r 2 02 Q 11(r) 4πr R 0r 2(3)金属球的电势R2EdrEdrU R1 内 R2外 R2QdrQdr R4π0rr2 R24π0r2 Q 11 (r) 4πR R 0r 1 28-28如题8-28图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为r的电介质．试求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值． E E解:如题8-28图所示，充满电介质部分场强为2，真空部分场强为1，自由电荷面密度分别为2与1DdSq由 0得DD 1 1，2 2EDE而1 01,2 0r2UE2dD2 D r∴1 1 题8-28图题8-29图8-29两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为R1和R2(R2＞R1)，且l>>R2-R1，两柱面之间充有介电常数的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q和-Q时，求：(1)在半径r处(R1＜r＜R2＝，厚度为dr，长为l的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量；(2)电介质中的总电场能量；(3)圆柱形电容器的电容．解:取半径为r的同轴圆柱面(S)DdS2πrlD则(S) (RrR)qQ当12时，QD∴ 2πrl D2 Q2 w (1)电场能量密度 28π2r2l2dWwdQ22πrdrlQ2dr薄壳中 8π2r2l2 4πrl(2)电介质中总电场能量 Q2drQ2 R WdWR2 ln24π V R rl4πlR 1 1Q2W(3)电容：∵ 2C Q2 2πl C 2W ln(R/R)∴ 2 1*8-30金属球壳A和B的中心相距为r，A和B原来都不带电．现在A的中心放一点电荷q，在B的中心放一点电荷q2，如题8-30图所示．试求：1(1)q1对q2作用的库仑力，q2有无加速度；(2)去掉金属壳B，求q1作用在q2上的库仑力，此时q2有无加速度．q q解:(1)1作用在2的库仑力仍满足库仑定律，即1qq F 124πr2 0 q但2处于金属球壳中心，它受合力为零，没有加速度．1qq F 12(2)去掉金属壳B，q1作用在q2上的库仑力仍是4π0r2，但此时q2受合力不为零，有加速度．题8-30图题8-31图8-31如题8-31图所示，C1=0.25F，C2=0.15F，C3=0.20F．C1上电压为50V．求：UAB．C解:电容1上电量QCU 1 11 C C CCC电容2与3并联23 2 3QQ其上电荷23 1 Q CU 2550U2311 2C C 35∴ 23 23 25 U UU50(1)86 AB 1 2 35 V8-32C1和C2两电容器分别标明“200pF、500V”和“300pF、900V”，把它们串联起来后等值电容是多少?如果两端加上1000V的电压，是否会击穿? C C解:(1)1与2串联后电容 CC 200300C12 120CC 200300 pF 1 2 (2)串联后电压比 U C 32U C 2 UU10001 ，而1 2 ∴U1600V,U2400V C C即电容1电压超过耐压值会击穿，然后2也击穿．8-33将两个电容器C1和C2充电到相等的电压U以后切断电源，再将每一电容器的正极板与另一电容器的负极板相联．试求：(1)每个电容器的最终电荷；(2)电场能量的损失．qq解:如题8-33图所示，设联接后两电容器带电分别为1,2题8-33图qqqqCUCU1 2 10 20 1 2q CU111q2C2U2则U1U2 C(CC) C(CC) 1 1 2U,q2 1 2U qCC 2 CC解得(1)1 1 2 1 2 (2)电场能量损失WWW 0 1 q2 q2(CU2CU2)(12)1 22 2C 2C 1 22CC12U2CC 1 2 R8-34半径为1=2.0cm的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为R2=4.0cm和R3=5.0cm，当内球带电荷Q=3.0×10-8C时，求：(1)整个电场储存的能量；(2)如果将导体壳接地，计算储存的能量；(3)此电容器的电容值． Q Q Q解:如图，内球带电，外球壳内表面带电 ，外表面带电题8-34图 rR RrR(1)在 1和2 3区域E0QrERrR 14πr3在1 2时 0QrErR 24πr3 3时 0RrR∴在1 2区域R21(Q)24πr2drW 1 R1204π0r2 R2Q2drQ2(11)R18π0r28π0R1R2rR在 3区域W1(Q)24πr2drQ21 2 204πr2 8πR R3 0 0 3 Q21 1 1 WWW () 1 28πR R R∴总能量 0 1 2 31.82104JQrE RrR 4πr3W0(2)导体壳接地时，只有1 2时 0,2 Q21 1 WW ()1.01104 18π0R1R2 J(3)电容器电容 2W 1 1C 4π/() Q2 0R R 1 2∴4.491012F习题九9-1在同一磁感应线上，各点B的数值是否都相等?为何不把作用于运动电荷的磁力方向定义为磁感应强度B的方向?解:在同一磁感应线上，各点B的数值一般不相等．因为磁场作用于运动电荷的磁力方向不仅与磁感应强度B的方向有关，而且与电荷速度方向有关，即磁力方向并不是唯一由磁场决定的，所以不把磁力方向定义为B的方向．题9-2图9-2(1)在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是平行直线，磁感应强度B的大小在沿磁感应线和垂直它的方向上是否可能变化(即磁场是否一定是均匀的)?(2)若存在电流，上述结论是否还对?解:(1)不可能变化，即磁场一定是均匀的．如图作闭合回路abcd可证明BB 1 2BdlBdaBbcI0 abcd 12 0∴BB(2)若存在电流，上述结论不对．如无大方向相反，即BB.9-3用安培路?答:不能，因为有限长载流直导线周围磁场虽然有轴对称性，但不是稳恒电流，安培环路定理并不适用．9-4在载流长螺线管的情况下，我们导出其内部BnI，外面B=0，所以在载流螺线管0外面环绕一周(见题9-4图)的环路积分 B·dl=0L外但从安培环路定理来看，环路L中有电流I穿过，环路积分应为 B·dl=IL外 0这是为什么?解:我们导出Bnl,B0有一个假设的前提，即每匝电流均垂直于螺线管轴线．这内 0 外 时图中环路L上就一定没有电流通过，即也是BdlI0，与 L外 0Bdl0dl0是不矛盾的．但这是导线横截面积为零，螺距为零的理想模型．实L外际上以上假设并不真实存在，所以使得穿过L的电流为I，因此实际螺线管若是无限长时， I只是B的轴向分量为零，而垂直于轴的圆周方向分量B0,r为管外一点到螺线管轴外 2r的距离．题9-4图9-5如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，能否肯定这个区域中没有磁场?如果它发生偏转能否肯定那个区域中存在着磁场?解：如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，不能肯定这个区域中没有磁场，也可能存在互相垂直的电场和磁场，电子受的电场力与磁场力抵消所致．如果它发生偏转也不能肯定那个区域存在着磁场，因为仅有电场也可以使电子偏转．9-6已知磁感应强度B2.0Wb·m-2的均匀磁场，方向沿x轴正方向，如题9-6图所示．试求：(1)通过图中abcd面的磁通量；(2)通过图中befc面的磁通量；(3)通过图中aefd面的磁通量．解：如题9-6图所示题9-6图(1)通过abcd面积S的磁通是 1 BS2.04Wb1(2)通过befc面积S的磁通量BS02(3)通过aefd面积S的磁通量3 4BS20.30.5cos4Wb(或曰0.24Wb)3 5题9-7图9-7如题9-7图所示，AB、CD为长直导线，BC为圆心在O点的一段圆弧形导线，其半径为R．若通以电流I，求O点的磁感应强度．解：如题9-7图所示，O点磁场由AB、BC、CD三部分电流产生．其中AB产生B01ICD产生B0，方向垂直向里212R I I3CD段产生B0(sin90sin60)0(1)，方向向里 3 R 2R 242I3∴BBBB0(1)，方向向里．1 2 32R 2 69-8在真空中，有两根互相平行的无限长直导线L和L，相距0.1m，通有方向相反的电流，I=20A,I=10A，如题9-8图所示．A，B两在同一平面内．这两点与导线L2 2的距离均为5.0cm．试求A，B两点处的磁感应强度，以及磁感应强度为零的点的位置． 题9-8图解：如题9-8图所示,B方向垂直纸面向里A I I B 01 021.2104TA2(0.10.05)20.05(2)设B0在L外侧距离L为r处2II则 0 202(r0.1)2r解得r0.1m题9-9图9-9如题9-9图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的A，B两点，并在很远处与电源相连．已知圆环的粗细均匀，求环中心O的磁感应强度．解：如题9-9图所示，圆心O点磁场由直电流A和B及两段圆弧上电流I与I所产生， 1 2但A和B在O点产生的磁场为零。且I电阻R12. I电阻R 2 2 1I产生B方向纸面向外1I(2) B01 ， 1 2R 2I产生B方向纸面向里2IB02 2 2R2 B I(2)∴11 1 B I 2 2有BBB09-10在一半径R=1.0cm的金薄片中，自上而下地有电流I=5.0A通过，电流分布均匀.如题9-10图所示．试求圆柱轴线任一点P处的磁感应强度．题9-10图解：因为金属片无限长，所以圆柱轴线上任一点P的磁感应强度方向都在圆柱截面上，取 I 坐标如题9-10图所示，取宽为dl的一无限长直电流dIdl，在轴上P点产生dB与RR垂直，大小为IRd dB0dI 0R 0Id 2R 2R 22RIcosddBdBcos0 x 22R IsinddBdBcos()0 y 2 22R IcosdI I∴B20[sinsin()]06.37105Tx22R 22R 2 2 2R2IsindB2(0)0y22R2word文档可自由复制编辑word文档可自由复制编辑word文档可自由复制编辑 ∴B6.37105iT9-11氢原子处在基态时，它的电子可看作是在半径a=0.52×10-8cm的轨道上作匀速圆周运动，速率v=2.2×108cm·s-1．求电子在轨道中心所产生的磁感应强度和电子磁矩的值．解：电子在轨道中心产生的磁感应强度eva B0 0 4a3如题9-11图，方向垂直向里，大小为evB013T04a2电子磁矩P在图中也是垂直向里，大小为m e evaPa2 9.21024Am2mT 2题9-11图题9-12图9-12两平行长直导线相距d=40cm，每根导线载有电流I=I=20A，如题9-12图所示．求：(1)两导线所在平面内与该两导线等距的一点A处度；(2)通过图中斜线所示面积的磁通量．(r=r=10cm,l=25cm)．1 3II解：(1)B01024105T方向纸面向外 A d d2()2() 2 2(2)取面元dSldrr1r2[0I11I1]ldr0I1lln30I2lln1I1lln32.2106Wbr 2r2(dr) 2 23 19-13一根很长的铜导线载有电流10A，设电流均匀分布.在导线内部作一平面S，如题9-13图所示．试计算通过S平面的磁通量(沿导线长度方向取长为1m的一段作计算)．铜的磁导率.解路定律求距圆导线轴为r处的磁感应强度BdlI0lIr2B2r0R2Ir∴B02R2题9-13图RIrdr0I106Wb磁通量BdS 0 m ( 2R2 4 s) 09-14设题9-14图中两导线中的电流均为8A，对图示的三条闭合曲线a,b,c，分别写出安培环路定理等式右边电流的代数和．并讨论：(1)在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B的大小是否相等?(2)在闭合曲线c上各点的B是否为零?为什么?解：8a0Bdl8ba0Bdl0(1)在各条闭合曲线上，各点的大小不等． (2)在闭合曲线C上各点B不为零．只是B的环路积分为零而非每点B0．题9-14图题9-15图9-15题9-15图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面，内、外半径分别为a,b，导体内载有沿轴线方向的电流I，且I均匀地分布在管的横截面上．设导体的磁导率，试证明导体内部各点(arb)的磁感应强度的大小由下式给出：0Ir2a2B02(b2a2)r解：取闭合回路l2r(arb)则B2rl I(r2a2) I b2a2I(r2a2)∴B02r(b2a2)9-16一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱(半径为a)和一同轴的导体圆管(内、外半径分别为b,c)构成，如题9-16图所示．使用时，电流I从一导体流去，从另一导体流回．设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求：(1)导体圆柱内(r＜a),(2)两导体之间(a＜r＜b)，（3）导体圆筒内(b＜r＜c)以及(4)电缆外(r＞c)各点处磁感应强度的大小解：0LIr2(1)raB2r0R2IrB02R2(2)arbB2rI0IB02r(3)brcB2rIr2b2I0c2b20I(c2r2) B0 2r(c2b2)(4)rcB2r0B0题9-16图题9-17图9-17在半径为R的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为r的长直圆柱形空腔，两轴间距离为a,且a＞r，横截面如题9-17图所示．现在电流I沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行．求：(1)圆柱轴线上的磁感应强度的大小；(2)空心部分轴线上的磁感应强度的大小．解：空间各点磁场可看作半径为R，电流I均匀分布在横截面上的圆柱导体和半径为r电流I均(1)圆轴线上的O点B的大小：电流I产生的B0，电流I产生的磁场 1 1 2IIr2 B020 2 2a2aR2r2Ir2∴B 0 02a(R2r2)(2)空心部分轴线上O点B的大小：电流I产生的B0， 2 2Ia2 Ia电流I产生的B0 0 1 22aR2r22(R2r2)Ia∴B 0 02(R2r2)题9-18图9-18如题9-18图所示，长直电流I附近有一等腰直角三角形线框，通以电流I，二者 1 2共面．求△ABC的各边所受的磁力．解：FAIdlB AB 2BIIIaFIa01012方向垂直AB向左AB 22d 2dFCIdlB方向垂直AC向下，大小为AC 2AdaIdr0I10I1I2lnda F AC 22r 2 dd同理F方向垂直BC向上，大小BCdaIdl0I1F Bc 22rddr∵dlcos45word文档可自由复制编辑word文档可自由复制编辑word文档可自由复制编辑daIIdr0I1I2lnda∴F021BCdr245cos2题9-19图9-19在磁感应强度为B的均匀磁场中，垂直于磁场方向的平面内有一段载流弯曲导线，电流为I，如题9-19图所示．求其所受的安培力．解：在曲线上取dl则FbIdlBaba ∵dl与B夹角dl，B不变，B是均匀的．2 ∴FbIdlBI(bdl)BIabBab a a方向⊥ab向上，大小FBIabab题9-20图9-20如题9-20图所示，在长直导线AB内通以电流I=20A，在矩形线圈CDEF中通有电流I=10A，AB与线圈共面，且CD，EF都与AB平．已知a=9.0cm,b=20.0cm,d=1.02cm，求：(1)导线AB的磁场对矩形线圈每边所作用的力；(2)矩形线圈所受合力和合力矩．解：(1)F方向垂直CD向左，大小CDIFIb018.0104NCD 22d同理F方向垂直FE向右，大小FEI FIb 018.0105N FE 22(da)F方向垂直CF向上，大小为CFdaIIdr0I1I2lnda9.2105N F 012 CF d 2r 2 dF方向垂直ED向下，大小为EDFF9.2105N EDCF(2)合力FFFFF方向向左，大小为 CD FE CF EDF7.2104N合力矩MPB∵线圈与导共面∴P//B mM0．图9-21边长为l=0.1m的正三角形线圈放在磁感应强度B=1T的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向平行.如题9-21图所示，使线圈通以电流I=10A，求：(1)线圈每边所受的安培力；(2)对OO轴的磁力矩大小；(3)从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功． 解：(1)FIlB0 bcFIlB方向纸面向外，大小为abFIlBsin1200.866N abFIlB方向纸面向里，大小caFIlBsin1200.866Nca(2)PISmMPB沿OO方向，大小为m3l2MISBIB4.33102Nm4(3)磁力功AI() 2 1∵03l2B 1 2 4∴AI3l2B4.33102J349-22一正方形线圈，由细导线做成，边长为a，共有N匝，可以绕通过其相对两边中点的一个竖直轴自由转动．现在线圈中通有电流I，并把线圈放在均匀的水平外磁场B中，线圈对其转轴的转动惯量为J.求线圈绕其平衡位置作微小振动时的振动周期 T.解：设微振动时线圈振动角度为(P,B)，则mMPBsinNIa2Bsinmd2由转动定律JNIa2BsinNIa2Bat2d2NIa2B即 0 dt2 JJBNIa2IBJBNIa2IBNaJT222周期9-23一长直导线通有电流I＝20A，旁边放一导线ab，其中通有电流I=10A，且两者共2面，如题9-23图所示．求导线ab所受作用力对O点的力矩．解：在ab上取dr，它受力dFab向上，大小为IdFIdr012r dF对O点力矩dMrFdM方向垂直纸面向外，大小为IIdMrdF012dr2MbdM0I1I2bdr3.6106Nma 2a题9-23图题9-24图9-24如题9-24图所示，一平面塑料圆盘，半径为R，表面带有面密度为剩余电荷．假定圆盘绕其轴线AA以角速度(rad·s-1)转动，磁场B的方向垂直于转轴AA．试证磁R4B场作用于圆盘的力矩的大小为M．(提示：将圆盘分成许多同心圆环来考虑．)4解：取圆环dS2rdr，它等效电流dqdIdq T 2dSrdr2等效磁矩dPr2dIr3drm受到磁力矩dMdPB，方向纸面向内，大小为mdMdPBr3drBmRr3drR4BMdMB 0 49-25电子在B=70×10-4T的匀强磁场中作圆周运动，圆周半径r=3.0cm．已知B垂直于纸面向外，某时刻电子在A点，速度v向上，如题9-25图．(1)试画出这电子运动的轨道；(2)求这电子速度v的大小；(3)求这电子的动能E．k题9-25图解：(1)轨迹如图v2(2)∵evBmreBr∴v 3.7107ms1m1(3)Emv26.21016JK29-26一电子在B=20×10-4T的磁场中沿半径为R=2.0cm的螺旋线运动，螺距h=5.0cm，如题9-26图．(1)求这电子的速度；(2)磁场B的方向如何?mvcos解:(1)∵ReB2mh vcos题9-26图eB eBR eBh∴v( )2( )27.57106ms1 m 2m(2)磁场B的方向沿螺旋线轴线．或向上或向下，由电子旋转方向确定．9-27在霍耳效应实验中，一宽1.0cm，长4.0cm，厚1.0×10-3cm的导体，沿长度方向载有3.0A的电流，当磁感应强度大小为B=1.5T的磁场垂直地通过该导体时，产生1.0×10-5V的横向电压．试求：(1)载流子的漂移速度；(2)每立方米的载流子数目．解:(1)∵eEevBH E U∴vHHl为导体宽度，l1.0cm B lB U 1.0105∴vH6.7104ms-1lB1021.5(2)∵InevSI∴n evS31.610196.71041021052.81029m39-28两种不同磁性材料做成的小棒，放在磁铁的两个磁极之间，小棒被磁化后在磁极间处于不同的方位，如题9-28图所示．试指出哪一个是由顺磁质材料做成的，哪一个是由抗磁质材料做成的?解:见题9-28图所示.题9-28图题9-29图9-29题9-29图中的三条线表示三种不同磁介质的BH关系曲线，虚线是B=H关系0的曲线，试指出哪一条是表示顺磁质?哪一条是表示抗磁质?哪一条是表示铁磁质?答:曲线Ⅱ是顺磁质，曲线Ⅲ是抗磁质，曲线Ⅰ是铁磁质．9-30螺绕环中心周长L=10cm，环上线圈匝数N=200匝，线圈中通有电流I=100mA．(1)当管内是真空时，求管中心的磁场强度H和磁感应强度B；0(2)若环内充满相对磁导率=4200的磁性物质，则管内的B和H各是多少?*(3)磁性物质中心处由导线传导电流产生的和由磁化电流产生的′各是多少? 0解:(1)HdlIlHLNINIH200Am1LBH2.5104T 0 0(2)H200Am1BHH1.05T ro(3)由传导电流产生的B即(1)中的B2.5104T 0 0∴由磁化电流产生的BBB1.05T9-31螺绕环的导线内通有电流2A，利用冲击电流计测得环内磁感应强度的大小是1.0Wb·m-2．已知环的平均周长是40cm，绕有导线400匝．试计算：(1)磁场强度；(2)磁化强度；*(3)磁化率；*(4)相对磁导率．N解:(1)HnII2104Am1lBMH7.76105Am10Mx38.8m H(4)相对磁导率1x39.89-32一均圆周长L=30cm，截面积为1.0cm2，在环上均匀绕以300匝导线，当绕组内的电流为0.032安培时，环内的磁通量为2.0×10-6Wb．试计算：(1)环内的平均磁通量密度；(2)圆环截面中心处的磁场强度；解:(1)B2102TS(2)HdlNI0NIH032Am1L题9-33图*9-33试证明任何长度的沿轴向磁化的磁棒的中垂面上，侧表面内、外两点1，2的磁场强度H相等(这提供了一种测量磁棒内部磁场强度H的方法)，如题9-33图所示．这两点的磁感应强度相等吗?解:∵磁化棒表面没有传导电流，取矩形回路abcd则HdlHabHcd02l∴HH1这两点的磁感应强度BH,BH 1 1 2 0 2∴BB 1 2习题十一半径r=10cm的圆形回路放在B=0.8T的均匀磁场中．回路平面与B垂直．当回路dr半径以恒定速率=80cm·s-1收缩时，求回路中感应电动势的大小．dt解:回路磁通BSBπr2m感应电动势大小 dd drm(Bπr2)B2πr0.40Vdtdt dt一对互相垂直的相等的半圆形导线构成回路，半径R=5cm，如题10-2图所示．均匀磁场=80×10-3T，的方向与两半圆的公共直径(在Oz轴上)垂直，且与两个半圆构成相等的角当磁场在5ms内均匀降为零时，求回路中的感应电动势的大小及方向．解:取半圆形cba法向为i，题10-2图πR2则 Bcosm1 2同理，半圆形adc法向为j，则πR2Bcosm2 2 ∵B与i夹角和B与j夹角相等，∴45则BπR2cosm d dB mπR2cos 8.89102Vdt dt方向与cbadc相反，即顺时针方向．题10-3图*10-3如题10-3图所示，一根导线弯成抛物线形状y=ax2，放在均匀磁场中．B与xOy平面垂直，细杆CD平行于x轴并以加速度a从抛物线的底部向开口处作平动．求CD距O点为y处时回路中产生的感应电动势．解:计算抛物线与CD组成的面积内的磁通量y 2B32BdS2aB(yx2)dx2y2m 30 d B1dy 2B1∴my2 y2vdtdt∵v22ay1∴ 22ya22yavaByyayB8222121ii题10-4图10-4如题10-4图所示，载有电流I的长直导线附近，放一导体半圆环MeN与长直导线共面，且端点MN的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为b，环心O与导线相距a．设半圆环以速度v平行导线平移．求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN两端的电压UU．解:M作辅助线N MN，则在MeNM回路中，沿v方向运动时d0m∴0MeNM即 MeN MNabvBcosd l0Ivlnab0又∵ MN ab 2ab所以沿NeM方向，MeNIvab大小为0ln 2abM点电势高于N点电势，即IvabUU0lnMN2ab题10-5图10-5如题10-5所示，在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈．两导线中的电dI流方向相反、大小相等，且电流以的变化率增大，求：dt(1)任一时刻线圈内所通过的磁通量；(2)线圈中的感应电动势．解:以向外磁通为正则 I I Ilba daba 0ldrda 0ldr0[lnln ]m 2πr d2πr 2π b db dlda badI 0[lnln ] dt2π d bdt10-6如题10-6图所示，用一根硬导线弯成半径为r的一个半圆．令这半圆形导线在磁场中以频率f绕图中半圆的直径旋转．整个电路的电阻为R．求：感应电流的最大值．题10-6图πr2解:BSBcos(t)m 2 0dBπr2msin(t)idt20∴ Bπr2Bπr22πfπ2r2Bfm 2 2π2r2Bf∴Im R R10-7如题10-7图所示，长直导线通以电流I=5A，在其右方放一长方形线圈，两者共面．线圈长b=0.06m，宽a=0.04m，线圈以速度v=0.03m·s-1垂直于直线平移远离．求：d=0.05m时线圈中感应电动势的大小和方向．题10-7图解:AB、CD运动速度v方向与磁力线平行，不产生感应电动势．DA产生电动势BC产生电动势A(vB)dlvBbvb0I1 D 2d I C(vB)dlvb 0 2 B 2π(ad)∴回路中总感应电动势 Ibv1 1 0 ( )1.6108V 1 2 2πdda 方向沿顺时针．10-8长度为l的金属杆ab以速率v在导电轨道abcd上平行移动．已知导轨处于均匀磁场B 中，B的方向与回路的法线成60°角(如题10-8图所示)，B的大小为B=kt(k为正常)．设t=0时杆位于cd处，求：任一时刻t导线回路中感应电动势的大小和方向．解:BdSBlvtcos60kt2lv11klvt2m 22d∴mklvtdt即沿abcd方向顺时针方向．题10-8图10-9一矩形导线框以恒定的加速度向右穿过一均匀磁场区，B的方向如题10-9图所示．取逆时针方向为电流正方向，画出线框中电流与时间的关系(设导线框刚进入磁场区时t=0)．d解:如图逆时针为矩形导线框正向，则进入时0,0；dt题10-9图(a)题10-9图(b)d在磁场中时0,0；dtd出场时0，0，故It曲线如题10-9图(b)所示.dt题10-10图10-10导线ab长为l，绕过O点的垂直轴以匀角速转动，aO=l磁感应强度B平行于转3轴，如图10-10所示．试求：（1）ab两端的电势差；（2）a,b两端哪一点电势高?解:(1)在Ob上取rrdr一小段 2l 2B则3rBdrl2 Ob 0 9 l 1同理3rBdrBl2 Oa 0 18 12 1∴()Bl2Bl2 ab aO Ob 189 6(2)∵0即UU0 ab a b∴b点电势高．题10-11图10-11如题10-11图所示，长度为2b的金属杆位于两无限长直导线所在平面的正中间，并以速度v平行于两直导线运动．两直导线通以大小相等、方向相反的电流I，两导线相距2a．试求：金属杆两端的电势差及其方向．解：在金属杆上取dr距左边直导线为r，则ab0Iv(11)dr0IvlnabB(vB)dl AB 2r2ar ab A ab∵0∴实际上感应电动势方向从BA，Ivab∴U0lnABab题10-12图10-12磁感应强度为B的均匀磁场充满一半径为R的圆柱形空间，一金属杆放在题10-12图中dB位置，杆长为2R，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外．当＞0时，求：杆两端的感应dt电动势的大小和方向．解：∵ ac ab bc dd 3 3RdB1[R2B]ab dt dt4 4dtddπR2 πR2dB2[ B]ab dt dt12 12dt∴[3R2πR2]dB ac 4 12dtdB∵0dt∴0即从acacdB10-13半径为R的直螺线管中，有＞0的磁场，一任意闭合导线abca，一部分在螺线管dt内绷直成ab弦，a,b两点与螺线管绝缘，如题10-13图所示．设ab=R，试求：闭合导线中的感应电动势．解：如图，闭合导线abca内磁通量 πR2 3R2BSB( )m 6 4πR2 3 dB∴( R2) i 6 4 dtdB∵0dt∴0，即感应电动势沿acba，逆时针方向．i题10-13图题10-14图10-14如题10-14图所示，在垂直于直螺线