2021高三数学（理）一轮复习专练66大题专练（六）概率与统计、分布列的综合运用含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2021高三数学（理）人教版一轮复习专练66高考大题专练（六）概率与统计、分布列的综合运用含解析专练66高考大题专练(六)概率与统计、分布列的综合运用1．[2019·天津卷］设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为eq\f（2，3）.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．2．[2020·全国卷Ⅰ］甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签,甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为eq\f(1,2)。（1)求甲连胜四场的概率;（2)求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率．3．[2019·全国卷Ⅲ]为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图:记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5"，根据直方图得到P(C）的估计值为0。70.（1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）4.[2020·山东烟台一中月考]某科技公司新研制生产一种特殊疫苗,为确保疫苗质量,定期进行质量检验．某次检验中,从产品中随机抽取100件作为样本，测量产品质量体系中某项指标值,根据测量结果得到频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a的值；（2)技术分析人员认为，本次测量的产品的质量指标值X服从正态分布N(μ，12.22)，若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，计算μ，并计算测量数据落在（187.8，212。2）内的概率；（3）设生产成本为y元,质量指标值为x，生产成本与质量指标值之间满足函数关系y＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（0.4x，x≤205，,0.8x－100，x>205.))假设同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，试计算生产该疫苗的平均成本．参考数据：X～N(μ,σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ）≈0.6827,P（μ－2σ〈X<μ＋2σ)≈0.9545.5．[2020·全国卷Ⅲ]某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）:锻炼人次空气质量等级[0，200](200,400］(400,600]1(优）216252(良）510123（轻度污染)6784(中度污染)720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1,2，3，4的概率;(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95％的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次〉400空气质量好空气质量不好附:K2＝eq\f（nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d），P(K2≥k）0.0500.0100。001k3.8416。63510.828专练66高考大题专练（六)概率与统计、分布列的综合运用1。解析:本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．(1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为eq\f(2，3),故X～Beq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)）)，从而P(X＝k)＝Ceq\o\al（k，3)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(2,3)）)keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，3）））3－k，k＝0，1,2，3。所以，随机变量X的分布列为X0123Peq\f（1,27）eq\f（2，9)eq\f(4,9）eq\f（8,27)随机变量X的数学期望E(X）＝3×eq\f（2,3）＝2。（2）设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y，则Y～Beq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(3,\f（2，3）)），且M＝｛X＝3，Y＝1}∪｛X＝2，Y＝0｝．由题意知事件｛X＝3,Y＝1}与｛X＝2,Y＝0｝互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2｝与{Y＝0｝均相互独立，从而由（1）知P（M)＝P(｛X＝3,Y＝1｝∪{X＝2，Y＝0})＝P({X＝3，Y＝1｝）＋P（{X＝2，Y＝0})＝P({X＝3})P（｛Y＝1｝）＋P({X＝2}）P({Y＝0｝）＝eq\f(8，27）×eq\f(2，9）＋eq\f（4，9）×eq\f(1,27）＝eq\f(20,243).2．解析：（1）甲连胜四场的概率为eq\f(1，16）。(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．比赛四场结束,共有三种情况：甲连胜四场的概率为eq\f(1，16)；乙连胜四场的概率为eq\f(1,16)；丙上场后连胜三场的概率为eq\f(1，8）。所以需要进行第五场比赛的概率为1－eq\f(1，16）－eq\f(1，16)－eq\f（1,8)＝eq\f(3,4）.(3）丙最终获胜,有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为eq\f（1，8）；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为eq\f（1,16)，eq\f（1，8），eq\f(1，8）.因此丙最终获胜的概率为eq\f(1,8)＋eq\f（1,16）＋eq\f（1，8)＋eq\f(1，8)＝eq\f（7，16).3．解析：本题主要考查频率分布直方图，考查考生的识图能力、阅读理解能力，考查的核心素养是数据分析、数学运算．(1）由已知得0.70＝a＋0。20＋0。15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0。70＝0.10。（2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0。15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05。乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0。05＋4×0.10＋5×0。15＋6×0.35＋7×0。20＋8×0。15＝6.00.4．解析：（1)由10×（a＋0。009＋0.022＋0。033＋0。024＋0。008＋a）＝1，解得a＝0。002.（2）依题意，μ＝170×0.02＋180×0。09＋190×0.22＋200×0。33＋210×0.24＋220×0。08＋230×0.02＝200，故X～N(200，12.22），所以P(187.8〈X<212。2)＝P（200－12。2<X〈200＋12。2）≈0.6827,故测量数据落在（187。8，212。2）内的概率约为0。6827.（3）根据题意得平均成本为0。4×170×0。02＋0。4×180×0.09＋0。4×190×0.22＋0.4×200×0。33＋（0。8×210－100)×0。24＋（0.8×220－100)×0。08＋（0.8×230－100)×0。02＝75.04，故生产该疫苗的平均成本为75。04元．5．解析:（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2,3，4的概率的估计值如下表.空气质量等级1234概率的估计值0.430。270.210.09(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为eq\f(1,100)×（100×20＋300×35＋500×45）＝350。（3）根据所给数据，可得2×2列联表：人次≤400人次>400空气质量好3337空气质量不好