建筑大学线性代数作业的答案

...wd......wd......wd...行列式1.利用对角线法那么计算以下三阶行列式：〔1〕〔2〕2.按自然数从小到大为标准次序，求以下各排列的逆序数：〔1〕2413；〔2〕13…24…；〔3〕13……2.解〔1〕逆序数为3.〔2〕逆序数为.〔3〕逆序数为.3.写出四阶行列式中含有因子的项.解由定义知，四阶行列式的一般项为，其中为的逆序数．由于已固定，只能形如□□，即1324或1342.对应的分别为或和为所求.4.计算以下各行列式：解(1)=0(2)===(3)===5、证明：(1)(2)(3)=====(4)用数学归纳法证明假设对于阶行列式命题成立，即所以，对于阶行列式命题成立.6、计算以下各行列式〔为阶行列式〕：(1),其中对角线上元素都是a未写出的元素都是0解anan2an2(a21)(2);解将第一行乘(1)分别加到其余各行得再将各列都加到第一列上得[x(n1)a](xa)n1(3)(4)由此得递推公式：即而得(5)=7.用克莱姆法那么解以下方程组：解9.有非零解解，齐次线性方程组有非零解，那么即,得不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解.第二章矩阵及其运算1﹑两个线性变换求从变量到变量的线性变换。解由所以有2﹑设求及.解.3﹑计算；⑴解：.⑵解：。4．设,求.解;利用数学归纳法证明:当时,显然成立,假设时成立,那么时由数学归纳法原理知:.5﹑设求.解首先观察,由此推测(***)用数学归纳法证明:当时,显然成立.假设时成立，那么时，由数学归纳法原理知:(***)成立.6﹑设都是阶对称阵,证明是对称阵的充要条件是.证明：由：充分性：即是对称矩阵.必要性：.7．设,，问：(1)吗?(2)吗?(3)吗?解(1),.那么(2)但故(3)而故8．举反例说明以下命题是错误的:〔１〕假设,那么;〔２〕假设,那么或;〔３〕假设,且,那么.解(1)取,,但(2)取,,但且(3)取,,.且但.9﹑线性变换求从变量到变量的线性变换。解：所以即.10﹑求以下方阵的逆阵：⑴解：,...⑵解：故存在从而.〔3〕解：由对角矩阵的性质知.11﹑解矩阵方程：⑴解：⑵解：.12、利用逆阵解线性方程组：.解：解、(1)方程组可表示为故从而有.13、设〔为正整数〕,证明：.证明：一方面，另一方面，由有故两端同时右乘就有.14、设,,求.解由可得故.15、设,其中,求.解故所以而故.16.设矩阵可逆，证明其伴随阵也可逆，且。证因=，由的可逆性及，可知可逆，且＝；另一方面，由伴随阵的性质，有=.用左乘此式两边得===,比较上面两个式子，即知结论成立。17、设阶方阵的伴随阵为,证明:⑴假设,那么；⑵.证明(1)用反证法证明．假设那么有.由此得.这与矛盾，故当时,有.(2)由于取行列式得到:假设那么假设由(1)知此时命题也成立故有.18.设，，求。解由于所给矩阵方程中含有及其伴随矩阵，因此仍从公式=着手。为此，用左乘所给方程两边，得，又，=2AB-8E=8E=4E.注意到==,是可逆矩阵，且=,于是＝4=.19、设,求及及.解，令,.那么.故....第三章矩阵的初等变换与线性方程组把以下矩阵化为行最简形：解(下一步r23r1r32r1r43r1)~(下一步r2(4)r3(3)r4(5))~(下一步r13r2r3r2r4r2)~2.利用矩阵的初等变换，求以下方阵的逆：⑴解~~~~,故逆矩阵为(2)解~~~~~故逆矩阵为3.设求X使AXB.解因为所以4.求作一个秩是4的方阵，使它的两个行向量.解用向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵此矩阵的秩为4其第2行和第3行是向量5.求以下矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式.⑴解(下一步r1r2)~(下一步r23r1r3r1)~(下一步r3r2)~矩阵的是一个最高阶非零子式⑵解(下一步r1r2r22r1r37r1)~(下一步r33r2)~矩阵的秩是3是一个最高阶非零子式6.解以下齐次线性方程组：⑴解对系数矩阵A进展初等行变换有A~于是故方程组的解为(k1k2为任意常数)⑵解对系数矩阵A进展初等行变换有A~于是故方程组的解为(k1k2为任意常数)7写出一个以为通解的齐次线性方程组解根据可得与此等价地可以写成或或这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组非齐次线性方程组.8解以下非齐次线性方程组：⑴解对增广矩阵B进展初等行变换有B~于是即(k1k2为任意常数)⑵解对增广矩阵B进展初等行变换有B~于是即(k1k2为任意常数)9.当取何值时有解并求出它的解解~要使方程组有解必须(1)(2)0即12当1时~方程组解为或即(k为任意常数)当2时~方程组解为或即(k为任意常数)10设问为何值时此方程组有唯一解、无解或有无穷多解?并在有无穷多解时求解解B~要使方程组有唯一解必须R(A)R(B)3即必须(1)(10)0所以当1且10时方程组有唯一解.要使方程组无解必须R(A)R(B)即必须(1)(10)0且(1)(4)0所以当10时方程组无解.要使方程组有无穷多解必须R(A)R(B)3即必须(1)(10)0且(1)(4)0所以当1时方程组有无穷多解此时，增广矩阵为B~方程组的解为或(k1k2为任意常数)线性代数期中复习答案一、选择题〔1〕设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为矩阵，现有4个命题：=1\*GB3①假设Ax=0的解均是Bx=0的解，那么秩(A)秩(B)；=2\*GB3②假设秩(A)秩(B)，那么Ax=0的解均是Bx=0的解；=3\*GB3③假设Ax=0与Bx=0同解，那么秩(A)=秩(B)；=4\*GB3④假设秩(A)=秩(B)，那么Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的选项是(A)=1\*GB3①=2\*GB3②.(B)=1\*GB3①=3\*GB3③.(C)=2\*GB3②=4\*GB3④.(D)=3\*GB3③=4\*GB3④.[B]【分析】此题也可找反例用排除法进展分析，但=1\*GB3①=2\*GB3②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住=3\*GB3③与=4\*GB3④，迅速排除不正确的选项.【详解】假设Ax=0与Bx=0同解，那么n-秩(A)=n-秩(B),即秩(A)=秩(B)，命题=3\*GB3③成立，可排除(A),(C)；但反过来，假设秩(A)=秩(B)，那么不能推出Ax=0与Bx=0同解，如，，那么秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题=4\*GB3④不成立，排除(D),故正确选项为(B).(2)设阶矩阵的伴随矩阵假设是非齐次线性方程组的互不相等的解，那么对应的齐次线性方程组的根基解系(A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量. [B]【分析】要确定根基解系含向量的个数,实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】因为根基解系含向量的个数=,而且根据条件于是等于或.又有互不相等的解,即解不惟一,故.从而根基解系仅含一个解向量,即选(B).〔3〕设阶矩阵与等价,那么必须当时,.(B)当时,.(C)当时,.(D)当时,.[D]【分析】利用矩阵与等价的充要条件:立即可得.【详解】因为当时,,又与等价,故,即,从而选(D).二、填空题〔1〕设三阶方阵A,B满足，其中E为三阶单位矩阵，假设，那么.【分析】先化简分解出矩阵B，再取行列式即可.【详解】由知，，即，易知矩阵A+E可逆，于是有再两边取行列式，得，因为,所以.〔2〕设矩阵，矩阵B满足，其中为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，那么.【分析】可先用公式进展化简【详解】等式两边同时右乘A，得，而，于是有，即，再两边取行列式，有，而，故所求行列式为设，，其中为三阶可逆矩阵,那么．【分析】将的幂次转化为的幂次,并注意到为对角矩阵即得答案.【详解】因为,.故,.〔4〕矩阵，且的秩，那么_-3___．〔5〕线性方程组有解，那么___-1__．三证明R(A)1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT使AabT证明必要性由R(A)1知A的标准形为即存在可逆矩阵P和Q使或令bT(100)Q1那么a是非零列向量bT是非零行向量且AabT充分性因为a与bT是都是非零向量所以A是非零矩阵从而R(A)1因为1R(A)R(abT)min{R(a)R(bT)}min{11}1所以R(A)1四、设阶矩阵和满足条件：．⑴证明：是可逆矩阵，其中是阶单位．⑵矩阵，求矩阵．解：⑴由等式，得，即因此矩阵可逆，而且．⑵由⑴知，，即五、当、为何值时，线性方程组有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解．解：将方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵：所以，⑴当时，，此时线性方程组有唯一解．⑵当，时，，，此时线性方程组无解．⑶当，时，，此时线性方程组有无穷多组解．此时，原线性方程组化为因此，原线性方程组的通解为或者写为第四章向量组的线性相关性1．设,求及.解2.设其中,,,求.解由整理得3．设,证明向量组线性相关.证明设有使得那么(1)假设线性相关,那么存在不全为零的数,;;;;由不全为零,知不全为零,即线性相关.(2)假设线性无关,那么由知此齐次方程存在非零解.那么线性相关.综合得证.4.设,且向量组线性无关,证明向量组线性无关.证明设那么因向量组线性无关,故因为故方程组只有零解.那么.所以线性无关5.设向量组线性无关，向量可由向量组线性表示，而向量不能由向量组线性表示.证明:个向量必线性无关.证明6.当为何值时，向量组，，线性相关.解由所以当时，，所以.7.CCBC8.(1).线性相关；(2).；(3).线性相关；(4).线性无关。9.求以下向量组的秩，并求一个最大无关组：解线性相关.由秩为2,一组最大线性无关组为.10.利用初等变换求矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.解所以第1、2、3列构成一个最大无关组，。11.向量组，，与向量组，，具有一样的秩，且可由向量组线性表示，求的值.解因为线性无关，而，所以线性相关，且向量组的秩为2，所以向量组的秩也为2.由于可由线性表示，故可由线性表示，即线性相关.于是有，解得，另外，解得.故，.12.DC13.由所生成的向量空间记作，由所生成的向量空间记作，试证:.证明设,任取中一向量,可写成,要证,从而得由得上式中,把看成数,把看成未知数有唯一解同理可证:()故14.验证为的一个基，并把，用这个基表示.解由于即矩阵的秩为3.故线性无关，那么为的一个基.设，那么故设，那么故线性表示为15.求下面齐次线性方程组的根基解系与通解.解(1)所以原方程组等价于取得;取得.因此根基解系为，通解为。16.设，求一个矩阵，使，且.解由于,所以可设.那么由可得,,解此非齐次线性方程组可得唯一解，故所求矩阵．17.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，是它的三个解向量，且，，求该方程组的通解。解由于矩阵的秩为3，，一维．故其对应的齐次线性方程组的根基解系含有一个向量，且由于均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的构造性质得为其根基解系向量，故此方程组的通解：，18．求以下非齐次方程组的通解.解:通解为19.DBCAD第五章相似矩阵及二次型试用施密特法把向量组正交化.解：根据施密特正交化方法:令，,，故正交化后得判断以下矩阵是不是正交阵，并说明理由:(1)(2)解：(1)第一个行向量非单位向量,故不是正交阵．该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵．设为n维列向量,,令,求证:H是对称的正交阵.证明因为HT(E2xxT)TE2(xxT)TE2(xxT)TE2(xT)TxTE2xxT所以H是对称矩阵因为HTHHH(E2xxT)(E2xxT)E2xxT2xxT(2xxT)(2xxT)E4xxT4x(xTx)xTE4xxT4xxTE所以H是正交矩阵设与都是阶正交矩阵,证明：〔1〕也是正交阵；〔2〕也是正交阵.证明〔1〕因为是阶正交阵，故，所以故也是正交阵．正交.正交.〔2〕因为是阶正交阵，故，故也是正交阵．求以下矩阵的特征值和特征向量:(1)(2).并问它们的特征向量是否两两正交?解：(1)①.故的特征值为．②当时,解方程,由,得根基解系所以是对应于的全部特征值向量．当时,解方程,由,得根基解系所以是对应于的全部特征向量．③,故不正交．(2)①.故的特征值为．②当时，解方程，由,得根基解系故是对应于的全部特征值向量.当时,解方程，由,得根基解系故是对应于的全部特征值向量当时，解方程，由,得根基解系故是对应于的全部特征值向量．③，，，所以两两正交．6设为阶矩阵证明与的特征值一样证明:因为|ATE||(AE)T||AE|T|AE|所以AT与A的特征多项式一样从而AT与A的特征值一样7设,证明的特征值只能取1或2.证明:设是A的任意一个特征值x是A的对应于的特征向量那么(A23A2E)x2x3x2x(232)x0因为x0所以2320即是方程2320的根也就是说1或28设是阶矩阵的特征值证明也是阶矩阵的特征值证明:设x是AB的对应于0的特征向量那么有(AB)xx于是B(AB)xB(x)或BA(Bx)(Bx)从而是BA的特征值且Bx是BA的对应于的特征向量93阶矩阵的特征值为123求解:令()3527那么(1)3(2)2(3)3是(A)的特征值故|A35A27A||(A)|(1)(2)(3)323设方阵与相似,求x,y.解方阵与相似，那么与的特征多项式一样，即．11.设A与B都是n阶方阵,且,证明AB与BA相似.证明:那么可逆那么与相似．12.设矩阵可相似对角化求.解由得A的特征值为16231因为A可相似对角化所以对于231齐次线性方程组(AE)x0有两个线性无关的解因此R(AE)1由知当x3时R(AE)1即x3为所求设3阶方阵A的特征值为;对应的特征向量依次为求A.解：因为，又，所以，.14.是矩阵的一个特征向量，试求参数及特征向量所对应的特征值.解：设是特征向量p所对应的特征值那么(AE)p0即解之得1a3b0设3阶实对称阵A的特征值为6,3,3,与特征值6对应的特征向量为，求A.解：设.由，知①3是的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知的秩为1，故利用①可推出秩为1.那么存在实的使得②成立．由①②解得．得．试求一个正交的相似变换矩阵,将以下对称阵化为对角阵:(1);解：故得特征值为．当时，由.解得.单位特征向量可取:当时,由.解得.单位特征向量可取:当时,由.解得．单位特征向量可取:,得正交阵..(2)解：，故得特征值为当时，由.解得此二个向量正交,单位化后,得两个单位正交的特征向量;，单位化得当时,由.解得.单位化得.得正交阵.．17.设求解由得A的特征值为112535对于11解方程(AE)x0得特征向量p1(100)T对于15解方程(A5E)x0得特征向量p2(212)T对于15解方程(A5E)x0得特征向量p3(121)T令P(p1p2p3)那么P1APdiag(155)APP1A100P100P1因为100diag(151005100)所以18.用矩阵记号表示以下二次型:(1);解：．(2).解：．19.求一个正交矩阵化以下二次型成标准形:(1);解：二次型的矩阵为,故的特征值为．当时,解方程，由.得根基解系.取当时，解方程，由，得根基解系.取．当时，解方程，由得根基解系.取，于是正交变换为.且有．(2).解：二次型矩阵为，故的特征值为当时，可得单位特征向量，当时，可得单位特征向量，当时，可得单位特征向量，．于是正交变换为且有．20.证明:二次型在时的最大值为方阵A的最大特征值.证明为实对称矩阵，那么有一正交矩阵，使得成立．其中为的特征值，不妨设最大，为正交矩阵，那么且，故那么．其中当时，即即．故得证．21.用配方法化以下二次形成标准形并写出所用变换的矩阵：(1)；解f(x1x2x3)x122x322x1x32x2x3(x1x3)2x322x2x3(x1x3)2x22(x2x3)2令即二次型化为标准形fy12y22y32所用的变换矩阵为(2).解f(x1x2x3)2x12x224x322x1x22x2x3令即二次型化为标准形fy12y22y32所用的变换矩阵为22.