2019-2020学年北师大版数学必修四教师用书第2章22.1向量的加法

§2从位移的合成到向量的加法2.1向量的加法学习目标核心素养1.掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量．(重点)2．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算．(难点)1.通过学习向量加法的定义及三角形法则与平行四边形法则，体会数学直观素养．2．通过运用交换律、结合律进行向量加法运算、提升数学运算素养.向量求和法则及运算律类别图示几何意义向量求和的法则三角形法则已知向量a，b，在平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up9(→))＝a，eq\o(BC,\s\up9(→))＝b，再作向量eq\o(AC,\s\up9(→))，则向量eq\o(AC,\s\up9(→))叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))向量求和的法则平行四边形法则已知向量a，b，作eq\o(AB,\s\up9(→))＝a，eq\o(AD,\s\up9(→))＝b，再作平行eq\o(AD,\s\up9(→))的eq\o(BC,\s\up9(→))＝b，连接DC，则四边形ABCD为平行四边形，向量eq\o(AC,\s\up9(→))叫作向量a与b的和，表示为eq\o(AC,\s\up9(→))＝a＋b向量加法的运算律交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)思考：根据图中的四边形ABCD，验证向量加法是否满足结合律．(注：eq\o(AB,\s\up9(→))＝a，eq\o(BC,\s\up9(→))＝b，eq\o(CD,\s\up9(→))＝c)[提示]∵eq\o(AD,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＝(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→)))＋eq\o(CD,\s\up9(→))，∴eq\o(AD,\s\up9(→))＝(a＋b)＋c，又∵eq\o(AD,\s\up9(→))＝eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BD,\s\up9(→))＝eq\o(AB,\s\up9(→))＋(eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→)))，∴eq\o(AD,\s\up9(→))＝a＋(b＋c)，∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．1．作用在同一物体上的两个力F1＝60N，F2＝60N，当它们的夹角为120°时，这两个力的合力大小为()A．30N B．60NC．90N D．120N[答案]B2．在△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(CA,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))等于()A．0 B．0C．任一向量 D．与三角形形状有关[答案]B3．化简下列各向量：(1)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝________.(2)eq\o(PQ,\s\up9(→))＋eq\o(OM,\s\up9(→))＋eq\o(QO,\s\up9(→))＝________.(1)eq\o(AC,\s\up9(→))(2)eq\o(PM,\s\up9(→))[根据向量加法的三角形法则及运算律得：(1)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→)).(2)eq\o(PQ,\s\up9(→))＋eq\o(OM,\s\up9(→))＋eq\o(QO,\s\up9(→))＝eq\o(PQ,\s\up9(→))＋eq\o(QO,\s\up9(→))＋eq\o(OM,\s\up9(→))＝eq\o(PO,\s\up9(→))＋eq\o(OM,\s\up9(→))＝eq\o(PM,\s\up9(→)).]4．在正方形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up9(→))|＝1，则|eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))|＝________.[答案]eq\r(2)向量加法法则的应用【例1】(1)如图①，用向量加法的三角形法则作出a＋b；(2)如图②，用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.[解](1)在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up9(→))＝a，eq\o(AB,\s\up9(→))＝b，再作向量eq\o(OB,\s\up9(→))，则eq\o(OB,\s\up9(→))＝a＋b.(2)在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up9(→))＝a，eq\o(OB,\s\up9(→))＝b，再作平行eq\o(OB,\s\up9(→))的eq\o(AC,\s\up9(→))＝b，连接BC，则四边形OACB为平行四边形，eq\o(OC,\s\up9(→))＝a＋b.用三角形法则求向量和，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”.且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置.两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用.1．已知向量a，b，c，如图，求作a＋b＋c.[解]在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up9(→))＝a，eq\o(AB,\s\up9(→))＝b，eq\o(BC,\s\up9(→))＝c，如图，则由向量加法的三角形法则，得eq\o(OB,\s\up9(→))＝a＋b，eq\o(OC,\s\up9(→))＝a＋b＋c.向量加法及其运算律【例2】化简下列各式：(1)eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(AB,\s\up9(→))；(2)eq\o(DB,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))；(3)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(DF,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(FA,\s\up9(→)).[思路探究]所给各式均为向量和的形式，因此可利用三角形法则和向量加法的运算律求解．[解](1)eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→)).(2)eq\o(DB,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝(eq\o(DB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→)))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＝eq\o(DC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＝0或eq\o(DB,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝(eq\o(DB,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→)))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝(eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(DB,\s\up9(→)))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝eq\o(CB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝0.(3)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(DF,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(FA,\s\up9(→))＝eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(DF,\s\up9(→))＋eq\o(FA,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(DF,\s\up9(→))＋eq\o(FA,\s\up9(→))＝eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(DF,\s\up9(→))＋eq\o(FA,\s\up9(→))＝eq\o(AF,\s\up9(→))＋eq\o(FA,\s\up9(→))＝0.向量加法运算律的应用原则及注意点1应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.2注意点：①三角形法则强调“首尾相接”，平行四边形法则强调“起点相同”；②向量的和仍是向量；③利用相等向量转化，达到“首尾相连”的目的.2.如图：在平行四边形ABCD中．(1)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＝________；(2)eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(DO,\s\up9(→))＝________；(3)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＝________；(4)eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(BA,\s\up9(→))＋eq\o(DA,\s\up9(→))＝________.(1)eq\o(AC,\s\up9(→))(2)eq\o(AO,\s\up9(→))(3)eq\o(AD,\s\up9(→))(4)0[(1)由平行四边形法则知eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→)).(2)eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(DO,\s\up9(→))＝eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(DO,\s\up9(→))＝eq\o(AO,\s\up9(→)).(3)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＝eq\o(AD,\s\up9(→)).(4)∵eq\o(BA,\s\up9(→))＝eq\o(CD,\s\up9(→))，∴eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(BA,\s\up9(→))＋eq\o(DA,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(DA,\s\up9(→))＝eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(DA,\s\up9(→))＝0.]向量加法的实际应用[探究问题]1．如何计算两个向量的和？[提示]两个向量相加，其和仍是一个向量．计算两个向量的和需利用三角形法则或平行四边形法则，在使用三角形法则时，应注意“首尾相连”；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．2．共线的两向量相加，其结果怎样？[提示](1)向量a与b同向(如图①所示)，即向量a＋b与a(或b)方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.①②(2)向量a与b反向(如图②所示)，且|a|<|b|时，a＋b与b方向相同(与a方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|.【例3】在静水中船的速度为20m/min，水流的速度为10m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．[思路探究]速度是向量，因此需要作出船的速度与水流速度的示意图，把实际问题转化为三角形中求角度问题．[解]作出图形，如图．船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，在Rt△ACD中，|eq\o(CD,\s\up9(→))|＝|eq\o(AB,\s\up9(→))|＝v水＝10m/min，|eq\o(AD,\s\up9(→))|＝|v船|＝20m/min，∴cosα＝eq\f(|\o(CD,\s\up9(→))|,|\o(AD,\s\up9(→))|)＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2)，∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向．1．(变结论)若例3条件不变，则经过3小时，该船的实际航程是多少？[解]由题意可知|eq\o(AC,\s\up9(→))|＝eq\f(\r(3),2)|eq\o(AD,\s\up9(→))|＝eq\f(\r(3),2)×20＝10eq\r(3)(m/min)＝eq\f(3\r(3),5)(km/h)，则经过3小时，该船的实际航程是3×eq\f(3\r(3),5)＝eq\f(9\r(3),5)(km)．2.(变结论)若例3的条件不变，改为若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于河岸的夹角)．[解]如图所示，|eq\o(AD,\s\up9(→))|＝|eq\o(BC,\s\up9(→))|＝|v船|＝20m/min，|eq\o(AB,\s\up9(→))|＝|v水|＝10m/min，则tan∠BAC＝2，即为所求．应用向量解决平面几何问题的基本步骤1表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.2运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题.3还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．3．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两向量的和，可能是一个数量．()(2)两向量相加，就是两向量的模相加．()(3)eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(DE,\s\up9(→))＝eq\o(CE,\s\up9(→)).()(4)矩形ABCD中，eq\o(BA,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝eq\o(BD,\s\up9(→)).()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．已知四边形ABCD是菱形，则下列等式中成立的是()A.eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＝eq\o(CA,\s\up9(→)) B.eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AC,\s\up9(→))＝eq\o(BC,\s\up9(→))C.eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(BA,\s\up9(→))＝eq\o(AD,\s\up9(→)) D.eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＝eq\o(DC,\s\up9(→))C[由加法的平行四边形法则可知eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))，即(－eq\o(B