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文档简介
高考数学总32三角恒等变
1,tan
sin sin(2k)sin(kZ:cos(2k)cos(kZ)tan(2k)tan(kZ)sin()sin:cos()costan()tansin()sin:cos()costan()tansin() )
cos()2sin()coscos()sin2 sinsincoscossincoscoscos∓sinsintantantan 1∓tantansin22sincoscos2cos2sin212sin22cos21tan2 21tan2诸多三角都涉及到三角函数式的次数转化问题,即一次、二次、零次之间的转化,如cos2cos2sin212sin22cos21θ,α-β看作φ,从而把α,β的三角函θ,φ的三角函数式;又如把sinα,或sinαcosβ看xy,从而把包含sinα,或sinαcosβ的三角函数式变换成代数式;…。所 的最基本原则。如cos212sin2这是正用,起降倍升次的作用,而2sin21cos2xy①“1”代换法:如1sin2cos2,那12sinxcosxsin2xcos2x2sinxcosxsinxcosx2(sincos)21cos22cos21,cos212sin2,cos2cos2sin21cos2sin2,1cos
cos2 ⑤弦切转化法:利用同角三角函数的商数关系tan
sincos 2
4 ,3sincos2sin, 6sin
3cos2
3 实施辅助角的变换,转化为Asinx⑦换元法:把sincostan或其他的三角函数式设为新元,促进三角函数问题的简化或转化的 sin2cos21消去三角函数式,或设计某些三角函数式的方程组达到 4 案例1:(1)已知cos6sin5,则sin(α 6)的值是 (A)-25
(B)25
5
5(2)函数f(x)sin2x sinxcosx在区间
,
42
33 4 4 把已知的三角方程cos sin
6 7
6
答案:(1)C;(2)C。4 4解;(1)∵cos sin 6 3423 cos1sinsin3423 452 cos3sin452 sin
6
43∴sin
7
6
6
3 1cos23
3(2)∵f(x)sinx3
sinxcosx sin2xsin2x 且
,5
6 42 6fx fsin13。故选C
3
5案例2:(1)若cosa2sina ,则tana 512
(C)1
(D)(2)函数y2cos2xsin2x的最小值 分析:(1)等式两边平方,同除以cos2,弦转化为切求值;(2)将函yfx“降次升倍”, 5解:(1)把cosa2sina 的两边平方,得sin24sincos4cos20,两边同除以cos2得tan24tan40,5即tan220tan2Bx2y5另解:令xcos,ysin,则 xx2y2x得5y
20,∴y
ytan y 2(2)∵yf(x)2cos2xsin2xcos2xsin2x1 sin(2x24∴当sin(2x )1时,函数的最小值为 4(1)2sin130∘sin100∘1 3tan370∘(2)sin10∘sin50∘sin70∘
)1分析:(1)先用诱导把任意角的三角函数化为锐角三角函数,然后切化弦,统一于正余弦,进而用1答案:(1)22sin85;(2)。8解:(1)2sin130∘sin100∘1 3tan370∘2sin50∘cos10∘132sin50∘cos10∘3
sin10∘2sin50∘2cos10∘60∘2sin50∘2cos22sin50∘45∘22sin95∘22sin(2)sin10∘sin50∘sincos80∘cos40∘coscos80∘cos40∘cos20∘8sin8sincos80∘cos40∘4sin8sincos80∘2sin8sinsin160∘8sin
sin20∘8sin
184:已知都是锐角求证: 12tan2
;
cos当tan取最大值时,求tan角的三角函数,用两角和与差的正余弦展开,弦化切即可;(2)要求tan的最大值,先建立tan关于tan的函数,通过求函数最值解决。
,tan2
tan 4证明:∵都是锐角,
cossincossin,即sincossin∴sincoscossincossinsincos2cossin,即tan2tantantan1tantan
2tan12tan2tan 12tan2∴12tan2 tan,当且仅当12tan2,即tan 于是tan
12tan2
222tan 221当且仅当tan 时,tan的最大值为 211 1∴这时,tantantan 2 11tantan 11222211t 1g(x)cosxf(sinx)sinxf(cosx),x(,17(Ⅰ)g(xAsinxBA0,0,0,2分析:(Ⅰ)利用三角恒等变换将函数g(x)化简成所需要的形式,注意角x的范围对正余弦函数g(xAsinxxAsinx答案:(Ⅰ)gx
sinx2.(Ⅱ) 2,32 4 2 1sin1sin1cos1cos解:1sin1sin1cos1cos(1sinxcos(1sinxcos2(1cosxsin2cosx1sinxsinx1cos|cosx |sinxx,17,cosxcos sinxsin 12 g(x)cosx1sinxsinx1coscossinxcosx
2 2 sinx 4(Ⅱ)由<x17,5<x
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