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第3章力矩和平面力偶系[内容提要]本章主要介绍了力对点之矩的概念、平面力偶的概念;讲述了力系对点之矩的计算、力系对点之矩的平衡条件及其应用;讲述了平面力偶系的合成、平面力偶系平衡条件及其应用。3.1力对点的矩力对点的矩是很早以前人们在使用杠杆、滑车、绞盘等机械搬运或提升重物时所形成的一个概念。现以扳手拧螺母为例来说明。如图3-1所示,在扳手的A点施加一力F,将使扳手和螺母一起绕螺钉中心转动,这就是说,力有使物体(扳手)产生转动的效应。实践经验表明,扳手的转动效果不仅与力F的大小有关,而且还与点到力作用线的垂直距离d有关。当d保持不变时,力F越大,转动越快。当力F不变时,d值越大,转动也越快。若改变力的作用方向,则扳手的转动方向就会发生改变,因此,我们用F与d的乘积再冠以适当的正负号来表示力F使物体绕点转动的效应,并称为力F对点之矩,简称力矩,以符号表示,即:(3-1)点称为转动中心,简称矩心。矩心到力作用线的垂直距离d称为力臂。
图3-1图3-2式中的正负号表示力矩的转向。通常规定:力使物体绕矩心作逆时针方向转动时,力矩为正,反之为负。在平面力系中,力矩或为正值,或为负值,因此,力矩可视为代数量。由图3-2可以看出,力对点之矩还可以用以矩心为顶点,以力矢量为底边所构成的三角形的面积的二倍来表示。即:面积(3-2)
显然,力矩在下列两种情况下等于零:①力等于零;②力臂等于零,就是力的作用线通过矩心。力矩的单位是牛顿·米(N·m)或千牛顿·米(kN·m)。【例3-1】分别计算图3-3所示的F1、F2对点的力矩。
图3-3解:由式(3-1),有:3.2合力矩定理我们知道平面汇交力系对物体的作用效应可以用它的合力R来代替。这里的作用效应包括物体绕某点转动的效应,而力使物体绕某点的转动效应由力对该点之矩来度量,因此,平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于该力系的各分力对该点之矩的代数和,这就是合力矩定理。合力矩定理是力学中应用十分广泛的一个重要定理,现用两个汇交力系的情形给以证明。3.2合力矩定理证明:如图3-4所示,设在物体上的A点作用有两个汇交的力F1和F2,该力系的合力为R。在力系的作用面内任选一点为矩心,过点并垂直于A作为y轴。从各力矢的末端向y轴作垂线,令FY1、FY2和RY分别表示力F1、F2和R和在y轴上的投影。图3-4由图3-4可见:FY1=O1b,FY2=Ob2,RY=Ob各力对O点之矩分别为:
根据合力投影定理有:上式两边同乘以OA得:将(a)式代入得:以上证明可以推广到多个汇交力的情况。用式子可表示为:(3-3)虽然这个定理是从平面汇交力系推证出来的,但可以证明这个定理同样适用于有合力的其他平面力系。(a)【例3-2】图3-5所示每1m长的挡土墙所受土压力的合力为R,它的大小R=200kN,求土压力R使墙倾覆时的力矩。解:土压力R可使挡土墙绕A点倾覆,求R使墙倾覆的力矩,就是求它对A点的力矩。由于R的力臂求解较麻烦,但如果将R分解为两个分力F1和F2,而两分力的力臂是已知的。因此,根据合力矩定理,合力R对A点之矩等于F1、F2对A点之矩的代数和。则:图3-5
3.3力偶的概念及力偶的基本性质3.3.1力偶和力偶矩在生产实践和日常生活中,经常遇到大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力所组成的力系。这种力系只能使物体产生转动效应而不能使物体产生移动效应。例如,司机操纵方向盘(图3-6a),木工钻孔(图3-6b)以及开关自来水龙头或拧钢笔套等。这种大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力称为力偶,用符号(,)表示。力偶的两个力作用线间的垂直距离d称为力偶臂,力偶的两个力所构成的平面称为力偶作用面。图3-6实践表明,当力偶的力F越大,或力偶臂越大,则力偶使物体的转动效应就越强;反之就越弱。因此,与力矩类似,我们用F与d的乘积来度量力偶对物体的转动效应,并把这一乘积冠以适当的正负号称为力偶矩,用m表示,即:(3-4)式中正负号表示力偶矩的转向。通常规定:若力偶使物体作逆时针方向转动时,力偶矩为正,反之为负。在平面力系中,力偶矩是代数量。力偶矩的单位与力矩相同。3.3.2力偶偶的基本性质力偶不同于力,,它具有一些特特殊的性质,现现分述如下:1.力偶没有合合力,不能用一一个力来代替由于力偶中的两两个力大小相等等、方向相反、、作用线平行,,如果求它们在在任一轴x上的的投影,如图3-7所示。设设力与轴x的夹夹角为,由图可可得:这说明,力偶在在任一轴上的投投影等于零。既然力偶在轴上上的投影为零,,所以力偶对物物体只能产生转转动效应,而一一个力在一般情情况下,对物体体可产生移动和和转动两种效应应。力偶和力对物体体的作用效应不不同,说明力偶偶不能用一个力力来代替,即力力偶不能简化为为—个力,因而而力偶也不能和和一个力平衡,,力偶只能与力力偶平衡。图3-7图图3-82.力偶对其作作用面内任一点点之矩都等于力力偶矩,与矩心心位置无关力偶的作用是使使物体产生转动动效应,所以力力偶对物体的转转动效应可以用用力偶的两个力力对其作用面某某一点的力矩的的代数和来度量量。图3-8所所示力偶(,),力偶臂为d,逆时针转向向,其力偶矩为为m=Fd,在在该力偶作用面面内任选一点为为矩心,设矩心心与的垂直距离离为x。显然力偶对O点的力矩为::此值就等于力偶偶矩。这说明力力偶对其作用面面内任一点的矩矩恒等于力偶矩矩,而与矩心的的位置无关。3.同一平面内内的两个力偶,,如果它们的力力偶矩大小相等等、转向相同,,则这两个力偶偶等效,称为力力偶的等效性(其证明从略)从以上性质还可可得出两个推论论:(1)力偶可在在其作用面内任任意移转,而不不会改变它对物物体的转动效应应。例如图3-9(a)作用用在方向盘上的的两个力偶(P1,P1′)与(P2,P2′)只要它们的力力偶矩大小相等等,转向相同,,作用位置虽不不同,但转动效效应是相同的。。在保持力偶矩大大小和转向不变变的条件下,可可以任意改变力力偶的力的大小小和力偶臂的长长短,而不改变变它对物体的转转动效应。例如如图3-9(b)所示,在攻攻螺纹时,作用用在纹杆上的(F1,F1′)或(F2,F2′)虽然d1和d2不相等,但只要要调整力的大小小,使力偶矩,,则两力偶的作作用效果是相同同的。由以上分析可知知,力偶对于物物体的转动效应应完全取决于力力偶矩的大小、、力偶的转向及及力偶作用面,,即力偶的三要要素。因此,在在力学计算中,,有时也用一带带箭头的弧线表表示力偶,如图图3-10所示示,其中箭头表表示力偶的转向向,m表示力偶偶矩的大小。图3-9图3-103.4平面力力偶系的合成和和平衡条件3.4.1平面面力偶系的合成成作用在同一平面面内的一群力偶偶称为平面力偶偶系。平面力偶偶系合成可以根根据力偶等效性性来进行。合成成的结果是:平平面力偶系可以以合成为一个合合力偶,其力偶偶矩等于各分力力偶矩的代数和和。即:(3-5)3.4.2平平面力偶系的的平衡条件平面力偶系可以以合成为一个合合力偶,当合力力偶矩等于零时时,则力偶系中中的各力偶对物物体的转动效应应相互抵消,物物体处于平衡状状态。因此,平平面力偶系平衡衡的必要和充分分条件是:力偶偶系中所有各力力偶矩的代数相相等于零。用式式子表示为:(3-6)上式称为平面力力偶系的平衡方方程。3.5平面面力偶系平衡衡方程的应用用【例3-3】】在梁AB的的两端各作用用一力偶,其其力偶矩的大大小分别为=120kN·m,=360kN··m,转向如如图3-11(a)所示示。梁长=6m,重量不不计。求A、、B处的支座座反力。解:取梁AB为为研究对象,,作用在梁上上的力有:两两个已知力偶偶、和支座A、B的反力力RA、RB。如图3-11(b)所所示,B处为为可动铰支座座,其反力RB的方位铅垂,,指向假定向向上。A处为为固定铰支座座,其反力RA的方向本来未未能确定的,,但因梁上只只受力偶作用用,故RA必须与RB组成一个力偶偶才能与梁上上的力偶平衡衡,所以RA的方向亦为铅铅垂。指向假假定向下,由由式(3-6)得:图3-11故求得的结果为为正值,说明明原假设RA和RB的指指向就是力的的实际指向。。小结结本章讨论了力力矩和力偶的的基本理论。。1、力矩及其其计算1)力矩的的概念力力矩是力使物物体绕矩心转转动效应的度度量。它等于于力的大小与与力臂的乘积积,在平面问问题中它是代代数量,规定定力使物体绕绕矩心逆时针针方向转动为为正,反之为为负。即可见力矩的大大小和转向与与矩心的位置置有关。2)合力矩定定理平面面汇交力系的的合力对平面面内任一点的的力矩,等于于力系中各分分力对同一点点的力矩的代代数和。即应用合力矩定定理常常可以以简化力矩的的计算。2.力偶的基基本理论1)力偶由等值、反向向、作用线平平行而不重合合的两个力组组成的力系,,称为力偶。。2)力偶的性性质力偶个能简化化为一个力,,也不能和——个力平衡,,力偶只能与与力偶平衡。。力偶对物体的的转动效应取取决于力偶的的作用面、力力偶矩的大小小和力偶的转转向。在同一平面内内的两个力偶偶,如果它们们力偶矩的代代数值相等,,则这两个力力偶是等效的的。或者只要要保持力偶矩矩的代数值不不变,力偶可可在其作用面面内任意移转转,也可以改改变组成力偶偶的力的大小小和力偶臂的的长短。3)力偶的基基本运算力偶在任一轴轴上的投影等等于零。力偶偶中的两个力力对其作用面面内任一点的的矩都等于力力偶矩,而与与矩心的位置置无关。4)力偶的合合成与平衡平面力偶系可可合成为一个个合力偶,合合力偶矩等于于各分力偶矩矩的代数和。。即平面力偶系的的平衡条件是是各力偶矩的的代数和等于于零。即思考题1.试比较较力矩和力偶偶矩的异同点点。2.组成力力偶的两个力力在任一轴上上的投影之和和为什么必等等于零?3.怎样的的力偶才是等等效力偶?等等效力偶是否否两个力偶的的力和力臂都都应该分别相相等?习题3-1试计计算下列各图图中P力对O点的矩矩。题3-1图3-2如如题3-2图图,已知挡土土墙重W1=75kN,,铅垂土压力力W2=120kN,水平土压
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