多元函数积分学

关于多元函数积分学第一页，共四十一页，编辑于2023年，星期日若有一个柱体，它的底是Oxy平面上的闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线，且母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z=f(x,y)，设f(x,y)≥0为D上的连续函数.我们称这个柱体为曲顶柱体.引例1曲顶柱体的体积.8.1.1二重积分的概念8.1二重积分的概念与性质现在来求这个曲顶柱体的体积.第二页，共四十一页，编辑于2023年，星期日其中既表示第i个小块，也表示第i个小块的面积.(2)近似记为的直径(即表示中任意两点间距离的最大值)，在中任取一点,以为高而底为的平顶柱体体积为解(1)分割用两组曲线把区域D任意分割成n个小块:此为小曲顶柱体体积的近似值Δσi第三页，共四十一页，编辑于2023年，星期日(4)取极限记,若极限存在,则它即为所求曲顶柱体的体积.(3)求和把所有小平顶柱体的体积加起来,得到曲顶柱体体积的近似值为第四页，共四十一页，编辑于2023年，星期日1．二重积分的定义定义

设f(x,y)是定义在闭区域D上的有界函数.把区域D任意分割成n个小区域:其中表示第i个小区域(i=1,2,...,n),也表示其面积.在每个小区域上任取一点,作和若为的直径，记,若极限存在,则称为函数在区域D上的定积分,记即第五页，共四十一页，编辑于2023年，星期日其中f(x,y)称为被积函数,称为被积表达式,称为面积元素,x

和y

称为积分变量,称为积分和.由以上定义知,曲顶柱体的体积

注:(1)和式极限存在是指当所有小区域的最大直径时积分和有惟一确定的极限,极限值与D的分法和的取法无关.区域有关而和积分变量无关.(2)二重积分的值是个常数,其大小仅与被积函数和积分第六页，共四十一页，编辑于2023年，星期日2.二重积分的存在定理若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上必可积.3.二重积分的几何意义：

(1)若在D上f(x,y)≥0，则表示以区域D为底，以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积.(2)若在D上f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方二重积分的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积.(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上为负的，则二重积分表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积).第七页，共四十一页，编辑于2023年，星期日8.1.2二重积分的性质二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函数f(x,y)，g(x,y)在区域D上都是可积的.性质2有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即性质1被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即第八页，共四十一页，编辑于2023年，星期日性质3若D可以分为两个区域D1，D2，则性质5若在积分区域D上有f(x,y)=1，则性质4若在D上处处有f(x,y)≤g(x,y)，则有表示D的面积)第九页，共四十一页，编辑于2023年，星期日性质7(二重积分中值定理)设f(x,y)在有界闭区域D

上连续，则在D上存在点，使性质6(估值定理)若在D上处处有m≤f(x,y)≤M，则表示D的面积)表示D的面积)上式的等号右边的式子称为函数f(x,y)在D上平均值.第十页，共四十一页，编辑于2023年，星期日例1设D是圆域：，证明解在D上，的最小值m=e，最大值M=e4，而D的面积S(D)=4π–π=3π.由估值公式(3)得第十一页，共四十一页，编辑于2023年，星期日8.2.1二重积分在直角坐标系下的计算二重积分的计算主要是化为两次定积分计算，称为二次积分或累次积分.下面从二重积分的几何意义来引出这种计算方法.在直角坐标系中，如果用平行于两个坐标轴的两组直线段，将区域D分割成n个小块从而有即8.2二重积分的计算第十二页，共四十一页，编辑于2023年，星期日

假定函数在有界闭区域D上连续,且在D上,1.当D为矩形区域时,,a,b,c,d

为常数),表示以f(x,y)为顶,区域D为底的曲顶柱体的体积V.任取,用过点x且垂直于x

轴的平面截曲顶柱体,则可得到一曲边梯形,其面积为第十三页，共四十一页，编辑于2023年，星期日

于是由平行截面面积已知的立体体积公式可得:所以同法可得到先对x后对y

的积分方法.这是先对y后对x的累次积分计算二重积分的方法第十四页，共四十一页，编辑于2023年，星期日

例2计算积分，其中D是正方形区域：解第十五页，共四十一页，编辑于2023年，星期日2.当区域D为在区间[a,b]上任取一点x，过该点作垂直于x轴的平面截立体，截得一曲边梯形,其面积为S(x)，则于是所求的体积S(x)第十六页，共四十一页，编辑于2023年，星期日在[c,d]上取定一点y，过该点作垂直于y轴的平面截曲顶柱体，所得截面也为一曲边梯形.若截面面积为S(y)，则

同样，设区域D由和围成,用不等式表示为所给立体体积第十七页，共四十一页，编辑于2023年，星期日因此即二重积分可以化成先对变元x积分，后对变元y积分的二次积分.也可化为先对变量y积分，后对变量x积分的二次积分先对一个变量积分时，另一个变量应视为常量，按定积分的计算方法解之.在上述讨论中，我们假定f(x,y)≥0，但是实际上，上述结论并不受此限制.第十八页，共四十一页，编辑于2023年，星期日先与直线相交的区域D的边界曲线作为积分下限为了便于确定积分区域D的不等式表达式，通常可以采用下述步骤：(1)画出积分区域D的图形.(2)若先对y积分，且平行于y轴的直线与区域D的边界线的交点不多于两点，那么确定关于y积分限的方法是：后与直线相交的区域D的边界曲线作平行于y轴的有向直线与区域D相交作为积分上限.第十九页，共四十一页，编辑于2023年，星期日先与有向直线相交的区域D边界曲线作为积分下限而先对x后对y积分时，其积分区间为区域D在Oy轴上投影区间[c,d]，对积分变量y,c是下限，d是上限后与有向线段相交的区域D的边界曲线作为积分上限.作平行于x轴的有向直线与区域D相交于是第二十页，共四十一页，编辑于2023年，星期日例1用二重积分计算由平面2x+3y+z=6和三个坐标平面所围成的四面体的体积.解所求体积即是以我用分加用两种积分次序求这个积分。也就是计算二重积分z=6–2x–3y为顶，以△ABC围成区域D为底的柱体体积.第二十一页，共四十一页，编辑于2023年，星期日解法1先对y积分.作平行于y轴的直线与区域D相交，得积分下限为y=0，积分上限为.x的变化范围为0到3.第二十二页，共四十一页，编辑于2023年，星期日解法2先对x积分作平行于x轴的有向直线与区域D相交，得积分下限

x=0，积分上限.y的变化范围为0到2.第二十三页，共四十一页，编辑于2023年，星期日例3计算积分，其中D是由y=x，y=0和所围成的三角形区域.解法1先对y积分.作平行于y轴的直线与积分区域D相交，积分下限为y=0，积分上限为y=x，D在x轴上的投影区间为.第二十四页，共四十一页，编辑于2023年，星期日解法2先对x积分.

作平行于x轴的直线与积分区域D相交，沿x轴正向看，得积分下限为x=y，积分上限为

D在y轴上的投影区间为.故第二十五页，共四十一页，编辑于2023年，星期日例4计算积分，其中D由y≥0确定.解法1先对y积分，作平行于y轴的直线与区域D相交，积分下限y=0；积分上限为.D在x方向变化范围-1到1.第二十六页，共四十一页，编辑于2023年，星期日解法2先对x积分.

作平行于x轴的直线与区域D相交，沿着y轴正方向看，积分下限为

，积分上限为，因此第二十七页，共四十一页，编辑于2023年，星期日例6计算，其中D由不等式及所确定.解法1化为先对y积分后对x积分的二次积分.作平行于y轴的直线与区域D相交，积分下限为积分上限为y=x，因此x轴上的积分区间为[1,2].第二十八页，共四十一页，编辑于2023年，星期日解法2化为先对x积分后对y积分的二次积分.作平行于x轴的直线与积分区域D相交，可知积分下限不是同一函数,这需要将积分区域分为两个子区域.在y轴上的积分区间为第二十九页，共四十一页，编辑于2023年，星期日当时，平行于x轴的直线与区域D相交时，沿有向线段的正向，积分下限为，积分上限为x=2.当时，平行于x轴的直线与区域D相交时,沿x轴正方向看，积分下限x=y，积分上限为x=2.y的积分区间被分成和.第三十页，共四十一页，编辑于2023年，星期日显然解法1较简便.因此选择积分次序是将二重积分化为二次积分的重要问题.第三十一页，共四十一页，编辑于2023年，星期日例9交换二次积分的积分次序.解所给积分由两部分组成，设它们的积分区域分别为D1与D2.先依给定的积分限将积分区域用不等式表示为：转换为先对y积分，后对x积分，作平行于y轴的直线与区域D相交，得下限为y=x,上限为y=2–x，因此在D中，第三十二页，共四十一页，编辑于2023年，星期日例计算,其中D为y=x-4和y2=2x

所围成的区域

解先对x积分第三十三页，共四十一页，编辑于2023年，星期日与极角等于和的两条这个小区域近似地看作是边长为和的小矩形，所以它的面积二、二重积分在极坐标下的计算若点M在直角坐标系中坐标为(x,y)，在极坐标系中坐标为，则有如下关系：设是由半径为和的两个圆弧因此，在极坐标系中在极坐标系中，我们用R=常数=常数来分割区域D.射线所围成的小区域.第三十四页，共四十一页，编辑于2023年，星期日于是得到二重积分在极坐标系中的表达式为这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式.也可以写成此式区域D左端的边界的曲线方程应利用直角坐标表示，右端的边界曲线方程应用极坐标表示.第三十五页，共四十一页，编辑于2023年，星期日通常把极坐标系下的二重积分分为以下三种情况:1.若极点在区域D之外,从而有即2.极点位于区域D的边界上即从而有第三十六页，共四十一页，编辑于2023年，星期日3.极点在区域D的内部,则有另外,如图所示情况,即即D:第三十七页，共四十一页，编辑于2023年，星期日对一般的二重积分,如果积分区域D为圆形、半圆形、圆环形、扇形域等，或被积函数中含有