2021-2022学年山东省德州一中高一（上）期末数学试卷

2021-2022学年山东省德州一中高一（上）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）sin390°=（）A.B.C.D.2.（单选题，5分）函数y=+ln（x-4）的定义域为（）A.（4，7）B.（4，7]C.（-∞，7]D.（4，+∞）3.（单选题，5分）若a=20.2，b=log4（3.2），c=log2（0.5），则（）A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞a＞bD.b＞c＞a4.（单选题，5分）已知函数f（x）=（m2-m-1）是幂函数，且为偶函数，则实数m=（）A.2或-1B.-1C.4D.25.（单选题，5分）已知，且α∈（，π），则的值为（）A.B.C.D.6.（单选题，5分）函数f（x）=的图象大致为（）A.B.C.D.7.（单选题，5分）某科技有限公司为了鼓励员工创新，打破发达国家的芯片垄断，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2018年全年投入的研发资金为200万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增加10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过400万元的年份是（）

（参考数据：1.16=1.77，1.17=1.95，1.18=2.14，1.19=2.36）A.2024年B.2025年C.2026年D.2027年8.（单选题，5分）若函数f（x）图象上不同两点M，N关于原点对称，则称点对[M，N]是函数f（x）的一对“姊妹点对”（点对[M，N]与[N，M]看作同一对“姊妹点对”），已知函数f（x）=，则此函数的“姊妹点对”有（）A.0对B.1对C.2对D.3对9.（多选题，5分）已知θ∈（0，π），sinθ-cosθ=，则下列结论正确的是（）A.θ∈（，π）B.C.D.10.（多选题，5分）下列命题是真命题的有（）A.lg2-lg+3lg5=3B.若函数f（x）为奇函数，则f（0）=0C.已知3a=4b=12，则D.若幂函数f（x）=xa（a∈R）经过点（，2），则a=-311.（多选题，5分）已知函数，且，则（）A.a=1B.f（x）为非奇非偶函数C.函数f（x）的值域为（-1，1）D.不等式f（3x2-1）+f（x-3）＜0的解集为12.（多选题，5分）存在实数a使得函数f（x）=2x+2-x-ma2+a-3有唯一零点，则实数m可以取值为（）A.B.0C.D.13.（填空题，5分）已知扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形的圆心角是___弧度．14.（填空题，5分）已知函数f（x）=ax-3+x（a＞0且a≠1）的图像经过定点A，且点A在角θ的终边上，则=___．15.（填空题，5分）已知实数a＞0，且满足不等式33a+2＞34a+1，则不等式loga（3x+2）＜loga（8-5x）的解集为___．16.（填空题，5分）已知函数f（x）=log2（2x+）+3，当x∈[-2，2]时，则函数f（x）的最大值与最小值之和是___．17.（问答题，10分）计算下列各式的值：

（1）；

（2）lg25+lg4++log23•log34．18.（问答题，12分）已知，求下列各式的值．

（1）sinx-cosx；

（2）3sin2x-2sinxcosx+cos2x．19.（问答题，12分）已知．

（1）若α∈（0，2π），且，求α的值；

（2）若，且，求tanα的值．20.（问答题，12分）已知函数f（x）=（log3x）2-a•log3x2-3，x∈[，9]．

（1）当a=0时，求函数f（x）的值域；

（2）若函数f（x）的最小值为-6，求实数a的值．21.（问答题，12分）某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量y（单位：微克）与时间（单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线，当t∈[0，1.5]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[1.5，6]时，曲线是函数y=loga（t+2.5）+5（a＞0，a≠1）图象的一部分，根据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效．

（1）试求服药后6小时内每毫升血液中含药量y与时间t之间的函数关系式；

（2）问服药多久后开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1）（参考数据）22.（问答题，12分）已知定义域为R的函数是奇函数，且指数函数y=bx的图象过点（2，4）．

（1）求f（x）的表达式；

（2）若方程f（x2+3x）+f（-a+x）=0，x∈（-4，+∞）恰有2个互异的实数根，求实数a的取值集合；

（3）若对任意的t∈[-1，1]，不等式f（t2-2a）+f（at-1）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

2021-2022学年山东省德州一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）sin390°=（）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：由sin390°=sin（360°+30°），利用诱导公式可求得结果．

【解答】：解：sin390°=sin（360°+30°）=sin30°=，

故选：A．

【点评】：本题考查诱导公式的应用，把sin390°化为sin（360°+30°）是解题的关键．2.（单选题，5分）函数y=+ln（x-4）的定义域为（）A.（4，7）B.（4，7]C.（-∞，7]D.（4，+∞）【正确答案】：B【解析】：由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，联立不等式组求解．

【解答】：解：要使原函数有意义，则，解得4＜x≤7．

∴函数y=+ln（x-4）的定义域为（4，7]．

故选：B．

【点评】：本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3.（单选题，5分）若a=20.2，b=log4（3.2），c=log2（0.5），则（）A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞a＞bD.b＞c＞a【正确答案】：A【解析】：利用指数与对数函数的单调性即可得出．

【解答】：解：∵a=20.2＞1＞b=log4（3.2）＞0＞c=log2（0.5），

∴a＞b＞c．

故选：A．

【点评】：本题考查了指数与对数函数的单调性，属于基础题．4.（单选题，5分）已知函数f（x）=（m2-m-1）是幂函数，且为偶函数，则实数m=（）A.2或-1B.-1C.4D.2【正确答案】：D【解析】：由幂函数的定义及奇偶性可解得m的值．

【解答】：解：因为函数f（x）=（m2-m-1）是幂函数，

所以m2-m-1=1，所以m=2或m=-1，

m=2时，f（x）=x-2，是偶函数，

m=-1时，f（x）=x，是奇函数，

又因为函数f（x）为偶函数，所以m=2，

故选：D．

【点评】：本题主要考查幂函数的概念，解析式，奇偶性，属于基础题．5.（单选题，5分）已知，且α∈（，π），则的值为（）A.B.C.D.【正确答案】：C【解析】：根据角α的范围及同角三角函数的基本关系求出cos（+α），再利用诱导公式求解即可．

【解答】：解：因为α∈（，π），所以+α∈（，），

因为，所以cos（+α）=-=-，

所以=cos[π-（+α）]=-cos（+α）=．

故选：C．

【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系及诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．6.（单选题，5分）函数f（x）=的图象大致为（）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：先求出函数的定义域，再判断函数为奇函数，即图象关于原点对称，故可以排除B，根据函数值域，可排除D，根据f（1）的值可排除C．

【解答】：解：∵f（x）=，

∴函数定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），

∵，

∴函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，

故排除B，

∵x→+∞时，f（x）→0，故排除D．

x=1时，f（1）=0，排除C，

故选：A．

【点评】：本题主要考查了绝对值函数以及函数的值域、奇偶性和单调性，属于基础题．7.（单选题，5分）某科技有限公司为了鼓励员工创新，打破发达国家的芯片垄断，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2018年全年投入的研发资金为200万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增加10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过400万元的年份是（）

（参考数据：1.16=1.77，1.17=1.95，1.18=2.14，1.19=2.36）A.2024年B.2025年C.2026年D.2027年【正确答案】：C【解析】：设第n年开始400万元，由题意，列出关于n的不等式，求解即可．

【解答】：解：设第n年开始超过400万元，

则200×（1+10%）n-2018＞400，即1.1n-2018＞2，

因为1.17=1.95，1.18=2.14，

所以当n-2018=8，即n=2026时，该公司全年投入的研发资金开始超过400万元．

故选：C．

【点评】：本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．8.（单选题，5分）若函数f（x）图象上不同两点M，N关于原点对称，则称点对[M，N]是函数f（x）的一对“姊妹点对”（点对[M，N]与[N，M]看作同一对“姊妹点对”），已知函数f（x）=，则此函数的“姊妹点对”有（）A.0对B.1对C.2对D.3对【正确答案】：B【解析】：由题可得f（x）的“姊妹点对数即为y=ex-1（x＜0）与y=-x2-2x（x＜0）的图象的交点个数．

【解答】：根据题意可得f（x）的姊妹点对数即为y=ex-l（x＜0）与y=-[（-x）2-2（-x）]=-x2-2x（x＜0）的图象的交点个

画出两个函数的图象如下：

由图可得两个函数的图象有l个交点，即此函数的“姊妹点对“有1对．

故选：B．

【点评】：本题考查分段函数的性质，考查学生的数形结合能力，属于中档题．9.（多选题，5分）已知θ∈（0，π），sinθ-cosθ=，则下列结论正确的是（）A.θ∈（，π）B.C.D.【正确答案】：AD【解析】：由已知可得sinθ＞0，cosθ＜0，确定θ的范围判断A；求解cosθ与tanθ值判断B与C；把tanθ代入，化简判断D．

【解答】：解：由θ∈（0，π），sinθ-cosθ=＞1，得sinθ＞0，cosθ＜0，则θ∈（，π），故A正确；

由sinθ-cosθ=，两边平方可得，，则2sinθcosθ=-．

∵sinθ-cosθ=，

∵θ∈（，π），∴∈（），

sinθ-cosθ=∈（1，），

则sinθ+cosθ=±=，

当sinθ+cosθ=时，联立，解得sinθ=，cosθ=，

则tanθ=，=；

当sinθ+cosθ=-时，联立，解得sinθ=，cosθ=-，

则tanθ=，．

故BC错误，D正确．

故选：AD．

【点评】：本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查三角函数的化简求值，是中档题．10.（多选题，5分）下列命题是真命题的有（）A.lg2-lg+3lg5=3B.若函数f（x）为奇函数，则f（0）=0C.已知3a=4b=12，则D.若幂函数f（x）=xa（a∈R）经过点（，2），则a=-3【正确答案】：AC【解析】：根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．

【解答】：解：根据题意，依次分析选项：

对于A，lg2-lg+3lg5=lg2+lg4+3lg5=3（lg2+lg5）=3，A正确；

对于B，若f（x）=，是奇函数，当f（0）没有意义，B错误；

对于C，已知3a=4b=12，则a=log312=，b=log412=，则+==1，C正确；

对于D，若幂函数f（x）=xa（a∈R）经过点（，2），即（）a=2，则a=-，D错误；

故选：AC．

【点评】：本题考查命题真假的判断，涉及对数的运算以及函数的奇偶性和幂函数的性质，属于基础题．11.（多选题，5分）已知函数，且，则（）A.a=1B.f（x）为非奇非偶函数C.函数f（x）的值域为（-1，1）D.不等式f（3x2-1）+f（x-3）＜0的解集为【正确答案】：ACD【解析】：根据题意，由函数的解析式依次分析选项，综合可得答案．

【解答】：解：根据题意，依次分析选项：

对于A，函数，且，则有=a-，故a=1，A正确；

对于B，由A的结论，a=1，则f（x）=1-，其定义域为R，有f（-x）=1-=-（1-）=-f（x），则f（x）为奇函数，B错误；

对于C，y=1-，变形可得2x=-1=，则有＞0，解可得-1＜y＜1，即函数的值域为（-1，1），C正确；

对于D，f（x）=1-，易得f（x）在R上为增函数，f（3x2-1）+f（x-3）＜0即f（3x2-1）＜-f（x-3）=f（3-x），则有3x2-1＜3-x，解可得-＜x＜1，即不等式的解集为，D正确；

故选：ACD．

【点评】：本题考查函数与的方程的关系，涉及函数的单调性、奇偶性的性质以及应用，属于中档题．12.（多选题，5分）存在实数a使得函数f（x）=2x+2-x-ma2+a-3有唯一零点，则实数m可以取值为（）A.B.0C.D.【正确答案】：ABC【解析】：依题意，可将问题等价转化为y=2x+2-x与y=ma2-a+3有唯一的交点，利用基本不等式求得y=2x+2-x的最小值，再转化为ma2-a+3=2有根，即可求得实数m的取值范围．

【解答】：解：函数f（x）=2x+2-x-ma2+a-3有唯一零点⇔方程2x+2-x-ma2+a-3=0有唯一根⇔y=2x+2-x与y=ma2-a+3有唯一交点，

∵2x+2-x与≥2=2（当且仅当x=0时取等号），

∴ma2-a+3=2，即方程ma2-a+1=0有实数根，

当m=0时，a=1，

∴当m≠0时，

∴Δ=（-1）2-4m≥0，解得m≤且m≠0，

∴实数m的取值范围是（-∞，]，

故选：ABC．

【点评】：本题考查函数的零点与方程根的关系，考查了转化与化归思想，基本不等式的应用及逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．13.（填空题，5分）已知扇形的弧长为1，面积为2，则该扇形的圆心角是___弧度．【正确答案】：[1]【解析】：设扇形的半径为r，圆心角为α，根据扇形的弧长和扇形公式列方程组求出α的值．

【解答】：解：设扇形的半径为r，圆心角为α，

则扇形的弧长为l=αr=1，...①

扇形的面积为S=αr2=2，...②

解得r=4，α=，

所以扇形的圆心角为．

故答案为：．

【点评】：本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，是基础题．14.（填空题，5分）已知函数f（x）=ax-3+x（a＞0且a≠1）的图像经过定点A，且点A在角θ的终边上，则=___．【正确答案】：[1]【解析】：由题意先求出函数的图像经过定点的坐标，再利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，计算求得要求式子的值．

【解答】：解：对于函数f（x）=ax-3+x（a＞0且a≠1），令x-3=0，求得x=3，且y=4，

可得函数的图像经过定点A（3，4），

∵点A在角θ的终边上，

∴tanθ=，

∴==．

故答案为：．

【点评】：本题主要考查指数函数的图像经过定点问题，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．15.（填空题，5分）已知实数a＞0，且满足不等式33a+2＞34a+1，则不等式loga（3x+2）＜loga（8-5x）的解集为___．【正确答案】：[1]（，）【解析】：由题意，利用对数函数的性质，解不等式，求得x的范围．

【解答】：解：∵实数a＞0，且满足不等式33a+2＞34a+1，

∴3a+2＞4a+1，求得0＜a＜1，

则由不等式loga（3x+2）＜loga（8-5x），可得3x+2＞8-5x＞0，

求得＜x＜，可得不等式的解集为（，），

故答案为：（，）．

【点评】：本题主要考查对数函数的性质，不等式的解法，属于中档题．16.（填空题，5分）已知函数f（x）=log2（2x+）+3，当x∈[-2，2]时，则函数f（x）的最大值与最小值之和是___．【正确答案】：[1]6【解析】：利用奇函数最值之和为定值0即可求解．

【解答】：解：令h（x）=log2（2x+），

由h（-x）=log2（-2x+），

∴h（-x）+h（x）=0，h（x）是奇函数，

而y=2x+，y=log2x在（0，+∞）递增，

故h（x）在（0，+∞）递增，故h（x）在R递增，

则f（x）min=h（x）min+3，

f（x）max=h（x）max+3

∴f（x）min+f（x）max=h（x）min+3+h（x）max+3=6，

故答案为：6．

【点评】：本题考查了奇偶性的应用和对数的计算．属于基础题．17.（问答题，10分）计算下列各式的值：

（1）；

（2）lg25+lg4++log23•log34．【正确答案】：

【解析】：（1）利用分数指数幂的运算性质，即可求解；

（2）利用对数的运算性质，对数恒等式及换底公式，即可求解．

【解答】：解（1）=+4-+1=8；

（2）lg25+lg4++log23•log34．

=lg（25×4）+3+=2+3+log24=5+2=7．

【点评】：本题主要考查了分数指数幂及对数的运算性质，属于基础题．18.（问答题，12分）已知，求下列各式的值．

（1）sinx-cosx；

（2）3sin2x-2sinxcosx+cos2x．【正确答案】：

【解析】：（1）由-π＜x＜0结合条件可知x是第四象限角，从而sinx＜0，cosx＞0，由此可知sinx-cosx＜0．再利用平方关系式求解（sinx-cosx）2=（sinx+cosx）2-4sinxcosx）即可求得答案．

（2）利用条件及（1）的结论得到tanx的表达式，再利用sin2x+cos2x=1，在表达式的分母增加“1”，然后分子、分母同除cos2x，得到tanx的表达式，即可求出结果．

【解答】：解：（1）∵sinx+cosx=，∴x不可能是第三象限角，

∴-＜x＜0，∴sinx＜0，cosx＞0，则sinx-cosx＜0，

又sinx+cosx=，平方后得到1+sin2x=，

∴sin2x=-∴（sinx-cosx）2=1-sin2x=，

又∵sinx-cosx＜0，

∴sinx-cosx=-．

（2）由于及sinx-cosx=-．

得：sinx=-，cosx=．

∴tanx=-，

∴

=．

【点评】：本题利用公式（sinx-cosx）2=（sinx+cosx）2-4sinxcosx．求解时需要开方，一定要注意正负号的取法，注意角x的范围！本题是基础题，考查三角函数的表达式求值的应用，考查计算能力，注意“1”的代换，以及解题的策略．19.（问答题，12分）已知．

（1）若α∈（0，2π），且，求α的值；

（2）若，且，求tanα的值．【正确答案】：

【解析】：（1）利用诱导公式化简函数解析式，结合已知可求，结合范围α∈（0，2π），即可求解α的值；

（2）由（1）知：f（α）=sinα，利用诱导公式化简已知等式可得，利用同角三角函数基本关系式，结合范围，可求，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解tanα的值．

【解答】：解：（1）==．

所以，

因为α∈（0，2π），

则，或．

（2）由（1）知：f（α）=sinα，

所以，

即，

所以，

所以，即（5cosα-4）（10cosα+6）=0，

可得或．

因为，则，

所以=．

所以，

故．

【点评】：本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．20.（问答题，12分）已知函数f（x）=（log3x）2-a•log3x2-3，x∈[，9]．

（1）当a=0时，求函数f（x）的值域；

（2）若函数f（x）的最小值为-6，求实数a的值．【正确答案】：

【解析】：（1）a=0时，根据对数函数的取值范围进行求解即可．

（2）利用换元法，转化为一元二次函数最值问题进行求解即可．

【解答】：解：（1）当a=0时，f（x）=（log3x）2-3，

∵x∈[，9]，∴log3x∈[-1，2]，

则（log3x）2∈[0，4]，即f（x）=（log3x）2-3∈[-3，1]，即f（x）的值域为[-3，1]．

（2）设t=log3x，则∵x∈[，9]，∴log3x∈[-1，2]，即t∈[-1，2]，

则f（x）等价为y=t2-2at-3，对称轴为t=a，

若a≤-1，则函数在[-1，2]上为增函数，则当t=-1时，函数取得最小值-6，即1+2a-3=-6，得2a=-4，得a=-2，

若a≥2，则函数在[-1，2]上为减函数，则当t=2时，函数取得最小值-6，即4-4a-3=-6，得4a=7，得a=，此时a不存在，

若-1＜a＜2，当t=a时，函数取得最小值-6，即a2-2a2-3=-6，即a2=3，得a=或a=-（舍），

综上a=-2或a=．

【点评】：本题主要考查函数最值的应用，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数最值与对称轴之间的关系是解决本题的关键，是中档题．21.（问答题，12分）某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量y（单位：微克）与时间（单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线，当t∈[0，1.5]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[1.5，6]时，曲线是函数y=loga（t+2.5）+5（a＞0，a≠1）图象的一部分，根据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效．

（1）试求服药后6小时内每毫升血液中含药量y与时间t之间的函数关系式；

（2）问服药多久后开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1）（参考数据）【正确答案】：

【解析】：（1）当0≤t＜1.5时，由图象可设y=k（t-4）2+4，将点（0，0）的坐标代入上述方程，解得k=-4，将点（1.5，3）代入y=loga（t+2.5）+5，解得a=，即可求解．

（2）分别令两段函数大于2微克，即可求解．

【解答】：解：（1）当0≤t＜1.5时，由图象可设y=k（t-4）2+4，

将点（0，0）的坐标代入上述方程，解得k=-4，

故y=-4（t-1）2+4，

当1.5≤t≤6时，将点（1.5，3）代入y=loga（t+2.5）+5，解得a=，

故y=．

（2）令-4（t-1）2+4≥2，

解得，即0.3≤t≤1.7，

又∵0≤t＜1.5，

∴0.3≤t＜1.5