范德蒙行列式的证明及其应用

范德蒙德行列式的证明及其应用摘要：介绍了n阶范德蒙行列式的定义,用递推法和拉普拉斯定理两种方法证明了范德蒙行列式,辅以实例研究了它在高等代数中的一些应用.向量空间理论用来解决线性问题;在线性变换理论、多项式理论和微积分理论中,主要用它构造线性方程组,进而应用克拉默法则或相关定理判断根的情况;在行列式计算中,主要运用范德蒙行列式的结论简化n阶行列式的计算过程.探究范德蒙行列式的历史及相关应用,为更进一步钻研其相关性质与应用奠定了良好的基础.关键词：范德蒙德行列式;向量空间;线性变换;应用行列式本身有着长远的历史发展过程.它的理论最早可追溯到十七世纪末,在十九世纪末,其理论体系已基本形成.开始使用指标数的系数集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数.他这种解决方程组的思维方式为行列式理论的深入研究工作打下了坚实地基础.1771年,范德蒙创的精神为大家所认可,被公认为行列式的奠基人.他以现在被大家所熟悉的拉格朗日著作中的相关知识为理论基础,进行了反复的钻研,为后来研究群的概念奠定了良好的基的科研态度给出了现代代数书中二阶子式及余子式的定义,经过推理,演绎这一系列严.拉普拉斯在范德蒙著作和自身灵感的启示下,思维方法发生了变化,得出了子类型的概悟数学的魅力.如果我们能够深入探索范德蒙行列式并灵活运用它,未来将更广泛的应用在数学各个领域.1a1：an11a2：an2……．…1ann．称为n阶的范德蒙(Vandermonde)行列式.．由范德蒙行列式的定义,我们可以得出结论:对任意的n(n2)错误!未找到引用源。阶范德蒙行列式等于a,a,…a这n个数的所有可能的差aa(1j<in)错12nij0aa21a(aa)—2212211aa21：an1an2an21aa32a(aa)331：331……………．…1aa：a1aa：an1an2ann1a(aaa(aa)n1nn1：nn1上式=(aa)(aa)…(aa)D2132n1n1仿上做法,有D=(aa)(aa)…(aa)Dn13242n2n21D=(aa)(aa)…(aa)(aa)(aa)…(aa)…(aa)=nn2(a1a)31n13242n2nn1ij1j<incei1 a 11 ： i1中,除第i…．…．…a1j：aij：nj…．…．…aainijLaplaceaA源。的乘ijij积D=aA,在ijij．．．．D=n1a11：11a22：21a33：an13…………1annn中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的aD=n根据上述定理10001aaa(aa)21：1aa31a(aa)331：331倍,得…1…aan1…a(aa)nn1…an2(aa)nn1D=naa21a(aa)221：221aa31a(aa)331：331………aan1a(aa)n：nn1把每列的公因子提出来,得12D=(aa)(aa)…(aa)2n2131n12未找到引用源。1a33……．…1ann错误!未找到引用源。错误!阶行列式,用D表示,则上式中D=(aa)(aa)…(aa)Dn2131n1n1D=(aa)(aa)…(aa)Dn13242n2n2此处D是一个n2阶范德蒙行列式,一直继续下去,得D=(aa)(aa)…(aa)(aa)…(aa)…(aa)n2131n132n2nn1=n(aa)ij1j<inD时,就没有直接的现实意义,但在高等代数这门课程中,n维向量空间却是很常见的.当涉及线性相关问题时,通常我们通过构造同构映射的方法,将其转化为范德蒙行列式的问题,进而利用该行列式是否为零判断线性相关性.D12……m令错误!未找到引用源。nknnknknn且D丰0,所以a,a,…,a线性无关.12nn12n线性变换是代数学中的一个重要概念,它的抽象性使我们在掌握这个概念时比较困难.此时,我们可以应用线性变换的定义及性质,考虑构造新函数,运用方程思想解决此类问题.12niii入iiii(2)(2)〈2012n-12n01nn-1n在多项式理论中,许多题目涉及求根问题.一般情况下,我们可以用综合除法解决这类问题,但是在不知道多项式函数最高次项系数和常数项系数的条件下,我们可根据题意列出线性方程组.通过计算该线性方程组对应的系数矩阵的行列式是否为零判断根的情况,进而得出结论.x11nn证明:取x,x,…,x为f(x)的n+1个不同的根.则有由齐次线性方程组12n+1(c+cx+cx2…+cxn=001n且D=n(x-x)丰0.由于该方程组的等式右端的数均为零,由变形后的ij01nf(x)-f(a)-f(b)-f(a)=1f''(c).这里c=(a,b)x-ab-a21yy2f(y)1aa2f(a)1xx2f(x)1bb2f(b)1201110axb2b2f''(cf''(c)f(a)f(x)f(b)涉及行列式计算问题时,经常运用行列式的性质解决问题,但其复杂多变的形式给行列式的计算增加了难度.对于具体的行列式,我们可以根据它的性质和定义解决.但对解决问题.D=n123n1…122…2n…3nn2…nn解:由观察得到:该行列式中每行元素都分别是同一个数的不同方幂,并且其方幂次1222…2n11222…2n1n1nn2…nn1数的零次幂的形式,则它为n阶范德蒙行列式,故n次序．D．D=n1n：b1：1……．……：1分析:遇到这类问题,我们经常考虑运用行列式的六条性质来解决.为此,我们可以调换该行列式的次序,将它化为标准形式.1bn+1bn1bn1：…………1：n(n+1)=nnk!(3)用拆行(列)计算行列式n阶行列式中的i行(列)由两个互异元素构成,且任意相邻两行(列)都含有共同元素,那么我们可以利用行列式的初等变换原则,通过消去一些分行中某一元素的方法,巧妙运用范德蒙行列式结论.D=1111122221333314444分析:观察此行列式,我们可以看出:该行列式满足拆项行(列)计算行列式的特点,个问题.1a111a22221a33331a4444消去行列式(4)第三行中加号前的元素,得:1a1111a2221a3331a4441a11a311a22a321a33a331a44a34=123=123123a3a3a3123=n(aa)ij1j<i41a44a34行列式的各行(或列)有明显范德蒙行列式定义的特点,但共同元素的方幂并不是按连续的自然数的顺序依次增加,此时我们可以考虑用加边法.abb4cc41abcdxD=abcdxD=a2b2c2d2x25a3b3c3d3x3a4b4c4d4x4-8-D=A+Ax+Ax2+Ax3+Ax445555范德蒙德行列式还可以应用于数学其他科目上.例如:在数学分析中,我们可以用它来构造高阶无穷小量,在线性代数中,我们可以用它来解决向量组线性相关性的证明问题.范德蒙行列式广泛的作用更加激