南邮概率论习题册答案

南邮概率论习题册答案第一页，共108页。1第一章概率论的基本概念1.写出下列随机试验的样本空间及各随机事件。(2)将a,b两个球随机地放入甲乙盒子中去，观察甲乙两个盒子中球的个数。A表示“甲盒中至少有一个球”(1)将一颗骰子接连抛掷两次，记录两次出现的点数之和。A表示“点数之和小于6”，B表示事件“两次出现的点数之和为7”。（4）测量一辆汽车通过给定点的速度。A表示“汽车速度在60至80之间”(单位：公里/小时)练习一(3)记录南京市110在一小时内收到的呼叫次数。A表示“南京市110在一小时内收到的呼叫次数在6至10间”。第二页，共108页。2.设A、B、C为三个事件试用A、B、C表示下列事件(2)A，B，C都不发生(1)A与B不发生，而C发生(3)A、B、C

至少有一个发生(4)A、B、C中恰有一个发生(6)

A、B、C中至多有两个发生(5)A、B、C中恰有两个发生(7)

A、B、C中至少有两个发生2第三页，共108页。33.设A、B、C为三个事件,且，求A，B，C都不发生的概率。由知第四页，共108页。4(2)A、B互不相容4.设A、B是两个事件且，试在三种情况下求(3)A、B有包含关系第五页，共108页。55.设A、B、C是三个事件求，。第六页，共108页。6解：以A表示事件“指定的3本书放在一起”练习二1.把10本不同的书任意放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率。10本书任意放置的情况共有3个作整体放置的情况共3本书的排列共有第七页，共108页。6以A表示事件“指定的3本书放在一起”以事件A表示“指定的3本书放在一起”把事件“指定的3本书放在一起”表示为A把“指定的3本书放在一起”表示为事件A第八页，共108页。72.在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录企纪念章的号码。(1)求最小号码为5的概率解：以A表示事件“最小号码为5”(2)求最大号码为5的概率解：以B表示事件“最大号码为5”第九页，共108页。83.某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些发给顾客。问一个订货白漆10桶，黑漆3桶，红漆2桶的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？解：以A表示事件“白漆10桶，黑漆3桶，红漆2桶”第十页，共108页。94.已知在10只晶体管中有2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。(1)两只都是正品解：以A表示事件“两只都是正品”(4)第二次取出的是次品解：以C表示事件“一只是正品，一只是次品”(2)两只都是次品(3)一只是正品，一只是次品；解：以B表示事件“两只都是次品”解：以D表示事件“第二次取出的是次品”第十一页，共108页。10解：以A表示事件“该方程有重根”。5.考虑一元二次方程，其中B,C分别是将一枚骰子接连抛掷两次先后出现的点数，求该方程有重根的概率。样本空间S中共有36个元素满足判别式的样本点只有(2,1)和(4,4)第十二页，共108页。11练习三1.(1)已知求。解：(2)已知求。解：第十三页，共108页。122.假设患肺结核的人通过透视胸部能被确诊的概率为0.95，而未患肺结核的人通过透视胸部被误诊为病人的概率为0.002。根据以往资料表明，某单位职工患肺结核的概率为0.001。现在该单位有一个职工经过透视被诊断为患肺结核，求这个人确实患肺结核的概率。解：以A表示事件“确实患肺结核”，以B表示事件“通过透视被确诊”。第十四页，共108页。133.已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，则(1)此人是色盲患者的概率解：以A表示事件“色盲患者”，以B表示事件“所取为男子”。(2)若此人恰好是色盲患者，问此人是女性的概率是多少？解：第十五页，共108页。144.有两箱同类的零件，第一箱装50只，其中10只一等品，第二箱装30只，其中18只一等品，今从两箱中任选一箱，然后从该箱中任取零件两次，每次取一只，作不放回抽样求(1)第一次取到的零件是一等品的概率(2)在第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的零件也是一等品的概率。解：以表示事件“第i次从零件中取到一等品”以表示事件“取到第i箱”第十六页，共108页。15解：5.设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况有三种：损坏2%，(这一事件记为)，损坏10%(事件)，损坏90%（事件）。且知现在从已被运输的物品中随机地取3件，发现这3件都是好的(这一事件记为B)。试求条件概率（这里设物品数量很多，取出一件后不影响后一件是否为好品的概率。）第十七页，共108页。16练习四1.口袋里装有a+b枚硬币，其中b枚硬币是废品(两面都是国徽)。从口袋中随机地取出1枚硬币，并把它独立地抛掷n次，结果发现向上的一面全是国徽，试求这枚硬币是废品的概率。解：以A表示事件“n次出现都是国徽”，B表示事件“取到废品”第十八页，共108页。17证明：2.设且。证明A与B相互独立。第十九页，共108页。183.设某工厂生产的每台仪器以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需要进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定位不合格品不能出厂。现在该厂生产了n(n≥2)台仪器，求所有仪器都能出厂的概率。解：以Ai表示事件“第i件仪器能出厂”，以B表示事件“第i件仪器需要进一步调试”，以C表示事件：“所有仪器都能出厂”第二十页，共108页。184.设有4个独立工作的元件1,2,3,4，它们的可靠性均为p。将它们按下图的方式连接，求这个系统的可靠性。解：以A表示事件“系统的可靠性”第二十一页，共108页。1第二章随机变量及其分布1.一个袋内装有6个红球和4个白球，从中任取3个，设X为取到的红球的个数，求X的分布律。解：X的可能取值为：练习一XP第二十二页，共108页。22.进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p（0<p<1），失败的概率为q=1-p。(1)将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律。解：X的可能取值为：(2)将试验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律。解：Y的可能取值为：第二十三页，共108页。6解：以X表示同一时刻使用的供水设备的台数。3.一大楼装有5个同类型的共水设备。调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻(1)恰有2个设备被使用的概率是多少？(2)至多有3个设备被使用的概率是多少?(3)至少有1个设备被使用的概率是多少？第二十四页，共108页。7求(1)每小时恰有5次呼叫的概率；解：以X表示每小时内的呼叫次数(2)一小时内呼叫不超过5次的概率4.设南京市110每小时接到的呼叫次数服从参数的泊松分布。第二十五页，共108页。8解：5.从学校乘汽车到火车站需要通过三个均设有信号灯的路口，每个信号灯之间是相互独立的，且红绿两种信号显示的时间分别为，以X表示汽车首次停车时已通过的路口个数，求X的分布律及分布函数。XP第二十六页，共108页。6练习二1.设随机变量X的分布函数为求随机变量X的概率分布律。解：X的取值为：XP第二十七页，共108页。7(1)求概率2.设连续型随机变量X的分布函数为(2)求概率(3)求概率(4)求随机变量X的概率密度其它第二十八页，共108页。83.向某一目标发射炮弹，设弹着点到目标的距离(单位：米)X的概率密度为如果弹着点到目标的距离小于50米时，即可以摧毁目标。现在向这一目标连发两枚炮弹，求目标被摧毁的概率。解：以Y表示炮弹摧毁目标的次数。那么第二十九页，共108页。94.设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布，现在对X进行独立观测，试求至少有一次观测值大于3的概率。解：以Y表示观测值大于3的次数，X的概率密度函数为其它第三十页，共108页。95.设某类日光灯管的使用寿命X服从参数的指数分布(单位：小时)(1)任取一根灯管，求能正常使用3000小时以上的概率其它解：X的概率密度函数和分布函数分别为其它(2)有一根这种灯管，已经正常使用了1000小时，求还能使用2000小时以上的概率。第三十一页，共108页。17练习三1.设随机变量，则(1)求(2)确定c使得显然，c=3(3)设d满足，问d至多为多少？第三十二页，共108页。17试求:(1)该电子元件损坏的概率2.在电源电压低于200伏、正常电压200~240伏和高于240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.01和0.1。假设电源电压服从正态分布N(220,252)(2)该电子元件损坏时，电源电压在正常电压200~240伏的概率解：以A表示事件“电子元件损坏”，Bi(i=1,2,3)分别表示电压低于200伏，200~240和高于240伏三种情况。第三十三页，共108页。17解：设X表示学生成绩。X~N(72,2)。3.假设考生的数学成绩服从正态分布，已知平均成绩为72分，96分以上的考生占考生总数的2.3%，试求考生的数学成绩在60分至84分之间的概率。已知第三十四页，共108页。174.设随机变量X的概率分布律为XP求随机变量Y=X2的概率分布律。X第三十五页，共108页。175.设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求随机变量Y=eX的概率密度。其它其他解：X的概率密度函数为第三十六页，共108页。176.设随机变量X~N(0,1)，求随机变量Y=|X|的概率密度。解：显然左右关于y求导：已知第三十七页，共108页。17解：7.设随机变量的概率密度为求随即变量Y=X2的概率密度。其它第三十八页，共108页。1第三章多维随机变量及其分布1.设某口袋装有2只黑球，2只白球和3只蓝球。在该口袋中任取2只球。记X为取到黑球的只数，Y为取到白球的只数。(1).求随机变量(X,Y)的概率分布律(2).求随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布律XPYP(3).求概率P{X+Y≥2}第三十九页，共108页。22.设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度解：已知(1)求常数a(2)求概率P{X>2Y}其它解：第四十页，共108页。63.设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度其它其它求随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度其它其它其它第四十一页，共108页。7(1)确定常数c解：4.设二维随机变量(X,Y)的概率密度(2)求随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度 其它其它其它第四十二页，共108页。6练习二1.设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为且随机变量X与Y相互独立，求p与q的值。第四十三页，共108页。82.设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为(2)判断随机变量X和Y是否相互独立。其它解：其它(1)求随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度其它显然不独立第四十四页，共108页。83.设随机变量Y服从参数为1的指数分布，令(1)求二维随机变量(X1,X2)的联合概率分布律(2)判断随机变量X1与X2是否相互独立显然，不独立。第四十五页，共108页。94.设X和Y是相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，Y服从参数的指数分布。(1)求随机变量X和Y的联合概率密度f(x,y);其它其它由独立：其它(2)设含有a的二次方程试求a有实根的概率。第四十六页，共108页。17练习三1.设X和Y是相互独立的随机变量，且X和Y的概率密度分别为求随机变量Z=X+Y的概率密度。其它其它解：其它其它第四十七页，共108页。172.设X和Y是相互独立的随机变量，且都在(0,1)上服从均匀分布，求随机变量Z=X+Y的概率密度。其它其它解：X和Y的概率密度函数分别为其它其它第四十八页，共108页。33.设是相互独立的随机变量，证明：显然，所以第四十九页，共108页。174.设X和Y是两个相互独立的随机变量，它们都服从正态分布，试验证随机变量的概率密度为其它我们称Z服从参数为的瑞利分布证明：由X和Y独立令其它第五十页，共108页。175.设随机变量(X,Y)

的概率密度为其它(1)求随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度其它其它(2)判断随机变量X和Y是否相互独立？显然，独立。第五十一页，共108页。17(3)求随机变量U=max{X,Y}的分布函数。第五十二页，共108页。1第四章随机变量的数字特征1.设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间X(以分计)是一个随机变量其概率密度为其它试求随机变量X的数学期望E(X)。解：第五十三页，共108页。2解：2.设随机变量X的分布律为试求XP3.设随机变量X的概率密度为(1)求随机变量X的数学期望(2)求随机变量Y＝2X的数学期望(3)求随机变量Z＝e－5X的数学期望第五十四页，共108页。34.设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为其它试求解：第五十五页，共108页。4解：5.设随机变量X1，X2的概率密度分别为(1)求(2)又设X1，X2相互独立，求解：第五十六页，共108页。5练习二1.设某台设备由三个元件所组成，在设备运转中各个元件需要调整的概率分布为0.1,0.2,0.3。假设各个元件是否需要调整是相互独立，以X表示同时需要调整的元件数，试求X的数学期望和方差。解：以Xi表示第i个元件的调整情况，i=1,2,3第i个元件需要调整第i个元件不需要调整第五十七页，共108页。62.设乒乓球队A与B比赛，如果有一个队胜3场，则比赛结束。已知A队在比赛中获胜的概率为0.5，试求比赛场数X的数学期望。解：随机变量X的可能取值为3,4,5。第五十八页，共108页。7(1)写出随机变量(X,Y)的概率密度函数。3.设二维连续型随机变量(X,Y)在区域内服从均匀分布。其它解：积分区域的面积为1(2)求随机变量Z＝2X＋Y的数学期望及方差。第五十九页，共108页。8解：4.设随机变量X的概率密度为，对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于的次数，求随机变量的数学期望。其它第六十页，共108页。9(1)求随机变量Z=2X+Y的分布；令5.设随机变量X,Y相互独立，解：(2)求概率(3)求概率令第六十一页，共108页。10练习三1.设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为：试证明：X和Y是不相关的，但X与Y不是相互独立的。故X,Y不相关，而且不独立。第六十二页，共108页。112.设二维连续型随机变量(X,Y)在区域内服从均匀分布，计算。其它解：(X,Y)的概率密度函数为第六十三页，共108页。12解：3.设随机变量(X,Y)的协方差矩阵为，求与的相关系数。第六十四页，共108页。134.设连续型随即变量X的概率密度为(1)问X与|X|是否相关？为什么？解：显然不相关。(2)问X与|X|是否独立？为什么？不独立第六十五页，共108页。145.已知，试求(1)协方差(3)互协方差(2)相关系数第六十六页，共108页。1第五章大数定理与中心极限定理1.设，则由契比雪夫不等式有解：2.设相互独立且均服从参数的泊松分布，试证明：当n趋向于无穷大时，依概率收敛于12。由辛钦大数定律第六十七页，共108页。2证明：当n充分大时，近似服从正态分布，并指出其分布参数。解：3.设相互独立且同分布，已知第六十八页，共108页。34.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少。解：设随机变量木柱长度不小于3m木柱长度小于3mX服从(0-1)分布且令第六十九页，共108页。4解：设X表示随机变量，则舍入误差X~U(-0.5,0.5)5.计算器在进行加法时，将每个加数取最靠近它的数据。设所有的舍入误差是独立的。且在(-0.5,0.5)上服从均匀分布。(1)若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少解：设最多可以有n个数相加使得误差总和绝对值小于10(2)最多可以有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.9？解之得：第七十页，共108页。1第六章样本及抽样分布解：1.自总体X抽得一个容量为5的样本为8,2,5,3,7，求样本均值和样本方差及经验分布函数。练习一第七十一页，共108页。2解：2.在总体中随机地取一容量为100的样本，问样本均值与总体均值差的绝对值小于3的概率是多少？第七十二页，共108页。3(1)求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。3.在总体X~N(12,4)中随机地抽一容量为5的样本解：令(2)求概率解：(3)求概率解：令第七十三页，共108页。12.设是取自具有分布的总体的样本，与分别为样本均值与样本方差求解：设总体为X第七十四页，共108页。1解：1.设是取自正态总体的简单随机样本，求概率。练习二解：设总体为X2.设是取自参数为的泊松总体的一个简单随机样本，与分别为样本均值与样本方差求第七十五页，共108页。13.(1)设是来自正态总体X~N(0,2)的一个简单随机样本，试给出常数c使得服从分布，并指出它的自由度。解：c=1/4，自由度为2。

解：自由度为3。(2设是来自正态总体X~N(0,1)的一个简单随机样本，试给出常数d使得服从t分布，并指出它的自由度。第七十六页，共108页。1(1)求，其中为样本方差。(2)求解：由解：4.设在总体中抽取一容量为16的样本，这里均为未知。第七十七页，共108页。011.随机地取8只活塞环，测得它们的直径为(以mm计)试求总体均值及方差的矩估计值，并求样本方差。解：

第七章参数估计练习一第七十八页，共108页。022.设总体X的密度函数为(1)矩估计量且是来自总体X的一个简单随机样本，为相应的样本值，求参数的矩估计量和最大似然估计量。(其中c已知且)解:解之得：将代入第七十九页，共108页。03(2)最大似然估计量解:最大似然函数为：求对数求导数解之得，最大似然估计值为最大似然估计量为第八十页，共108页。043.已知总体X的分布律为解之得：将代入得矩估计量p为未知参数。且是来自总体X的一个简单随机样本，为相应的样本值，求参数p的矩估计量和最大似然估计量。(1)矩估计量解:第八十一页，共108页。05求导数求对数最大似然函数最大似然估计量为(2)最大似然估计量解:最大似然估计值为第八十二页，共108页。064.设总体X具有分布律(1)矩估计值解之得:其中为未知参数，已知取得了样本值故矩估计值为试求参数的矩估计值和最大似然估计值。即矩估计量又矩估计值第八十三页，共108页。07(1)最大似然估计值最大似然函数为最大似然估计值为第八十四页，共108页。085.设某种电子器件的寿命(以小时计)T服从双参数的指数分布，其概率密度为(1)求c与的最大似然估计最大似然函数为其中，为未知参数，自一批这种器件中随机地取n件进行寿命试验，设它们的失效时间依次为求对数第八十五页，共108页。09求导数由最大似然原则知最大似然估计值为最大似然估计量为第八十六页，共108页。10(2)求c与的矩估计解之得将代入即第八十七页，共108页。111.验证第六章第二节中定理四中的统计量解：是两总体公共方差的无偏估计量(称为的合并估计)。是两总体公共方差的无偏估计量。练习二第八十八页，共108页。12是的无偏估计量。解：2.设总体X的数学期望为是来自总体X的简单随机样本。是任意常数，验证无偏估计量得证。第八十九页，共108页。13解之得解：3.设是来自总体X的简单随机样本，且设，试确定常数c，使是的无偏估计量。是样本均值和样本方差。第九十页，共108页。14(1)指出中哪几个是的无偏估计量。4.设是来自均值为的指数分布总体X的简单随机样本。其中为未知参数。设有估计量第九十一页，共108页。15(2)在上述的无偏估计量中指出哪一个更有效。4.设是来自均值为的指数分布总体X的简单随机样本。其中为未知参数。设有估计量显然，则更有效。第九十二页，共108页。17是来自总体X的简单随机样本。5.设总体X的密度函数为(1)求参数的最大似然估计。最大似然函数为设是来自总体X的简单随机样本值。最大似然估计值为最大似然估计量为第九十三页，共108页。17(2)问最大似然估计量是否是无偏的。最大似然估计量为最大似然估计量是无偏的。(3)问最大似然估计量是否是的相合的估计量。由辛钦大数定律知是相合的。第九十四页，共108页。011.设某种清漆的9个样品，其干燥时间(以小时计)为设干燥时间总体服从正态分布。(1)若已知(小时)。练习三求的置信水平为0.95的置信区间。求的置信水平为0.95的单侧置信上限。置信区间为这里这里单侧置信上限为第九十五页，共108页。021.设某种清漆的9个样品，其干燥时间(以小时计)为设干燥时间总体服从正态分布。(2)若未知。求的置信水平为0.95的置信区间。求的置信水平为0.95的单侧置信上限。置信区间为这里这里单侧置信上限为第九十六页，共108页。02置信区间为这里2.使用金球测定引力常数(单位：)的观察值为设测定值总体为均为未知。求的置信水平为0.90的置信区间。第九十七页，共108页。02置信区间为解：这里3.研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差为，取样本容量为。得燃烧率的样本均值分别为和，设两样本独立，求两燃烧率总体均值差的置信水平为0.99的置信区间。第九十八页，共108页。02单侧置信上限为置信区间为4.设两位化验员A,B独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各作10次测定，其测定值的样本方差依次为。设分别为A,B所测定的测定值总体的方差。设总体均为正态分布，且两样本独立。(1)求方差比的置信水平为0.95的置信区间。(2)求方差比的置信水平为0.95的单侧置信上限。第九十九页，共108页。02单侧置信下限为5.随机地从A批导线中抽取4根，又从B批导线中抽取5根，测得电阻(欧)为这里A批导线：B批导线：设测定数据分别来自分布，且两样本相互独立。又均为未知，试求均值差的置信水平为0.95的单侧置信下限。第一百页，共108页。1统计量1.某批