江苏省阜宁高级中学大丰高级中学栟茶高级中学2022届上学期高三第二次调研联考数学试卷

2022届高三第一学期第二次阶段考试数学必做部分试卷（满分160分，考试时间120分钟）1．已知，为虚数单位，且，则▲.2．在平面直角坐标系中，直线和直线平行的充要条件是▲.3．用一组样本数据8，，10，11，9来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体标准差▲.4．阅读下列程序:ReadS1ForIfrom1to5step2SS+IEndforPrintSEnd输出的结果是▲．5．函数y=的单调递增区间是▲.6．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则的概率为▲.7．设函数，集合，则▲.8．以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为▲.9．圆柱形容器的内壁底半径是cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了cm，则这个铁球的表面积为▲.10．设x、y均为正实数，且，以点为圆心,为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为▲.11．已知等比数列的公比，前3项和．函数在处取得最大值，且最大值为，则函数的解析式为▲.12．如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，若，，，且与的夹角为60°，则＝▲.13．如图，所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，…，则第10行第4个数（从左往右数）为▲..14．若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的值域恰为，则称函数是上的正函数，区间叫做等域区间．如果函数是上的正函数，则实数的取值范围▲.二、解答题：（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.）15．（本小题满分14分）设的内角所对的边分别为.已知，，.（Ⅰ）求的周长；（Ⅱ）求的值.16．（本小题满分14分）1．（本题满分14分）如图，矩形中，，，为上的点，且，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积．AABCDEFG17．（本小题满分15分）如图所示，一科学考察船从港口出发，沿北偏东角的射线方向航行，而在离港口（为正常数）海里的北偏东角的A处有一个供给科考船物资的小岛，其中，．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口正东m（）海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科考船，该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB围成的三角形OBC的面积最小时，这种补给最适宜．Z东北ABCOZ东北ABCO⑵应征调m为何值处的船只，补给最适宜．18．（本小题满分15分）设等差数列的前项和为且．（1）求数列的通项公式及前项和公式；（2）设数列的通项公式为（t为正整数），问:是否存在正整数t，使得成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.19．(本小题满分16分)（本题文科学生做，理科学生不做）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，直线与线段、分别交于点、.(Ⅰ)当时，求以为焦点，且过中点的椭圆的标准方程；(Ⅱ)过点作直线∥交于点，记的外接圆为圆.求证:圆心在定直线上；第19题PAR第19题PAROF1QxyF2（本题理科学生做，文科学生不做）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(1,2)，且经过点P(1，eq\f(3,2))。(1)求椭圆C的方程；(2)设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M。问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点?(3)设圆M与y轴交于D、E两点，求点D、E距离的最大值。20．(本小题满分16分)已知函数.（Ⅰ）当时，求证：函数在上单调递增；（Ⅱ）若函数有三个零点，求的值；（Ⅲ）若存在，使得，试求的取值范围.2022届高三第一学期第二次阶段考试数学理科加试部分试卷（满分40分，考试时间30分钟）（第21—A题）21．【选做题】本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中两题（第21—A题）A．选修4—1：几何证明选讲自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小．B．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵对应的变换将点变换成点，求实数的值C．选修4—4：坐标系与参数方程椭圆中心在原点，焦点在轴上。离心率为，点是椭圆上的一个动点，若的最大值为，求椭圆的标准方程．D．选修4—5：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．[必做题]第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.22．（本小题满分10分）已知，（其中）⑴求及；⑵试比较与的大小，并说明理由．23．（本小题满分10分）某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望高三第一学期第二次阶段考试数学试卷评分标准数学=1\*ROMANI（满分160分，考试时间120分钟）1．已知，为虚数单位，且，则▲.42．在平面直角坐标系中，直线和直线平行的充要条件是▲.3．用一组样本数据8，，10，11，9来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体标准差▲.4．阅读下列程序:ReadS1ForIfrom1to5step2SS+IEndforPrintSEnd输出的结果是▲．105．函数y=的单调递增区间是▲.（写成也对）6．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则的概率为▲.7．设函数，集合，则▲.8．以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为▲.99．圆柱形容器的内壁底半径是cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了cm，则这个铁球的表面积为▲..10．设x、y均为正实数，且，以点为圆心,为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为▲11．已知等比数列的公比，前3项和．函数在处取得最大值，且最大值为，则函数的解析式为▲.。12．如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，若，，，且与的夹角为60°，则＝－9。13．如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端 的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，…，则第10行第4个数（从左往右数）为▲..14．若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的值域恰为，则称函数是上的正函数，区间叫做等域区间．如果函数是上的正函数，则实数的取值范围▲.．二、解答题：（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.）15．（本小题满分14分）设的内角所对的边分别为.已知，，.（Ⅰ）求的周长；（Ⅱ）求的值.【解】：（Ⅰ）∵∴∴的周长为.（Ⅱ）∵，∴，∴∵，∴,故为锐角，∴∴.16．（本小题满分14分）1．（本题满分14分）如图，矩形中，，，为上的点，且，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积．AABCDEFG【解】：（Ⅰ）证明：平面，．∴平面，ABCDEFG则．又平面，则．∴平面．ABCDEFG（Ⅱ）证明：依题意可知：是中点．平面，则，而．∴是中点．在中，，∴平面．（Ⅲ）解法一：平面，∴，而平面．∴平面，∴平面．是中点，∴是中点．∴且．平面，∴．∴中，．∴．∴．解法二：．17．（本小题满分15分）如图所示，一科学考察船从港口出发，沿北偏东角的射线方向航行，而在离港口（为正常数）海里的北偏东角的A处有一个供给科考船物资的小岛，其中，．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口正东m（）海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科考船，该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB围成的三角形OBC的面积最小时，这种补给最适宜．Z东北ABCOZ东北ABCO⑵应征调m为何值处的船只，补给最适宜．【解】⑴以O为原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则直线OZ方程为．…………2分设点，则，，即，又，所以直线AB的方程为．上面的方程与联立得点………5分…………8分⑵……………12分当且仅当时，即时取等号，………14分答：S关于m的函数关系式⑵应征调为何值处的船只，补给最适宜．…………15分18．（本小题满分15分）设等差数列的前项和为且．（1）求数列的通项公式及前项和公式；（2）设数列的通项公式为，问:是否存在正整数t，使得成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.【解】（1）设等差数列的公差为d.由已知得……2分即解得……4分.故.………8分（2）由（1）知.要使成等差数列，必须，即，……8分.整理得，……………11分因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当时，；当时，；当时，.故存在正整数t，使得成等差数列.…15分19．(本小题满分16分)（本题文科学生做，理科学生不做）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，直线与线段、分别交于点、.(Ⅰ)当时，求以为焦点，且过中点的椭圆的标准方程；(Ⅱ)过点作直线∥交于点，记的外接圆为圆.求证:圆心在定直线上；第18题PAR第18题PAROF1QxyF2【解】:(Ⅰ)设椭圆的方程为,当时,PQ的中点为(0,3),所以b=3……………3分而,所以，故椭圆的标准方程为…5分(Ⅱ)①解法一:易得直线,所以可得,再由∥,得……………8分则线段的中垂线方程为,线段的中垂线方程为,由,解得的外接圆的圆心坐标为………10分经验证,该圆心在定直线上……………11分解法二:易得直线,所以可得,再由∥,得………8分设的外接圆的方程为,则,解得…10分所以圆心坐标为,经验证,该圆心在定直线上…11分②由①可得圆C的方程为………13分该方程可整理为,则由,解得或,所以圆恒过异于点的一个定点,该点坐标为………………16分（本题理科学生做，文科学生不做）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(1,2)，且经过点P(1，eq\f(3,2))。(1)求椭圆C的方程；(2)设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M。问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点?(3)设圆M与y轴交于D、E两点，求点D、E距离的最大值。【解】：(1)∵椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(1,2)，且经过点P(1，eq\f(3,2))，∴eq\b\lc\{(\a\al(eq\f(eq\r(a2-b2),a)=eq\f(1,2),eq\f(1,a2)+eq\f(9,4b2)=1))，即eq\b\lc\{(\a\al(3a2-4b2=0,eq\f(1,a2)+eq\f(9,4b2)=1))，解得eq\b\lc\{(\a\al(a2=4,b2=3))，∴椭圆C的方程为eq\f(x2,4)+eq\f(y2,3)=1。(2)易求得F(1，0)。设M(x0，y0)，则eq\f(x02,4)+eq\f(y02,3)=1，圆M的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=(1-x0)2+y02，令x=0，化简得y2-2y0y+2x0-1=0，⊿=4y02-4(2x0-1)2＞0……①。将y02=3(1-eq\f(x02,4))代入①，得3x02+8x0-16＜0，解出-4＜x0＜eq\f(4,3)。(3)设D(0，y1)，E(0，y2)，其中y1＜y2。由(2)，得DE=y2-y1=eq\r(4y02-4(2x0-1))=eq\r(-3x02-8x0+16)=eq\r(-3(x0+eq\f(4,3))2+eq\f(64,3))，当x0=-eq\f(4,3)时，DE的最大值为eq\f(8eq\r(3),2)。20．(本小题满分16分)已知函数.（Ⅰ）当时，求证：函数在上单调递增；（Ⅱ）若函数有三个零点，求的值；（Ⅲ）若存在，使得，试求的取值范围.20.解：（Ⅰ）………………3分由于，故当时，，所以，故函数在上单调递增……………5分（Ⅱ）当时，因为，且在R上单调递增，故有唯一解………………7分所以的变化情况如下表所示：x0－0＋递减极小值递增又函数有三个零点，所以方程有三个根，而，所以，解得…11分（Ⅲ）因为存在，使得，所以当时，…………12分由（Ⅱ）知，在上递减，在上递增，所以当时，，而，记，因为（当时取等号），所以在上单调递增，而，所以当时，；当时，，也就是当时，；当时，……14分①当时，由，②当时，由，综上知，所求的取值范围为…………16分数学=2\*ROMANII（附加题）（满分40分，考试时间30分钟）21．【选做题】本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中两题作答，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（第21—A题）A．选修4—1（第21—A题）自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小．【解】因为MA为圆O的切线，所以．又M为PA的中点，所以．因为，所以．……5分于是．在△MCP中，由，得∠MPB=20°．……10分B．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵对应的变换将点变换成点，求实数的值C．选修4—4：坐标系与参数方程椭圆中心在原点，焦点在轴上。离心率为，点是椭圆上的一个动点，若的最大值为，求椭圆的标准方程．21C．解：离心率为，设椭圆标准方程是，它的参数方程为是参数………5分最大值是，依题意，，椭圆的标准方程是………10分D．选修4—5：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．【解】因为正数a，b，c满足a+b+c=1，所以，，…………5分即，当且仅当，即时，原式取最小值1．………10分[必做题]第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.22．（本小