图形裁剪与几何变换

关于图形裁剪与几何变换第一页，共六十六页，编辑于2023年，星期日2图形裁剪图形输出流水线窗口视图变换几何变换图形变换数学基础坐标系主要内容第二讲图形裁剪与几何变换第二页，共六十六页，编辑于2023年，星期日3为什么要用多种坐标系？坐标系在图形处理的不同阶段定义不同的坐标系，有利于提高图形处理的效率和用户便于理解。第二讲图形裁剪与几何变换造型坐标系用户坐标系观察坐标系规格化的设备坐标系设备坐标系第三页，共六十六页，编辑于2023年，星期日4造型坐标系坐标系xxyyzz右手系形体或图素在造型坐标系中定义局部坐标系便于定义形体和图素第二讲图形裁剪与几何变换第四页，共六十六页，编辑于2023年，星期日5造型坐标系坐标系第二讲图形裁剪与几何变换第五页，共六十六页，编辑于2023年，星期日6用户坐标系坐标系直角坐标系、放射坐标系、圆柱坐标系或球坐标系定义整图或最高层图形结构全局坐标系，子图、图组、图素等在调用后都放在用户坐标系xyz第二讲图形裁剪与几何变换第六页，共六十六页，编辑于2023年，星期日7用户坐标系坐标系第二讲图形裁剪与几何变换第七页，共六十六页，编辑于2023年，星期日8坐标系第二讲图形裁剪与几何变换直角坐标系仿射坐标系第八页，共六十六页，编辑于2023年，星期日9坐标系第二讲图形裁剪与几何变换圆柱坐标系..第九页，共六十六页，编辑于2023年，星期日10坐标系第二讲图形裁剪与几何变换球坐标系..第十页，共六十六页，编辑于2023年，星期日11观察坐标系坐标系vun眼睛n-观察方向vu定义了观察平面左手直角坐标系可以在用户坐标系任意位置、任何方向定义指定裁剪空间定义观察平面，把用户坐标转化为规格化的设备坐标第二讲图形裁剪与几何变换第十一页，共六十六页，编辑于2023年，星期日12设备坐标系坐标系左手直角坐标系用来在图形设备上指定窗口或视图区也用来定义像素和位图规格化设备坐标系左手直角坐标系用来定义视图区提高了应用程序的移植性第二讲图形裁剪与几何变换0,11,10,01,02.6,-3.12.6,2.6-3.1,-3.12.6,-3.1第十二页，共六十六页，编辑于2023年，星期日13图形输出流水线图形输出流水线第二讲图形裁剪与几何变换造型坐标用户坐标造型变换观察坐标观察变换规格化设备坐标规格化变换投影坐标投影变换设备坐标工作站变换第十三页，共六十六页，编辑于2023年，星期日14图形变换数学基础矩阵运算齐次坐标矢量运算主要内容第二讲图形裁剪与几何变换第十四页，共六十六页，编辑于2023年，星期日15图形变换数学基础一、矢量运算矢量和第二讲图形裁剪与几何变换第十五页，共六十六页，编辑于2023年，星期日16图形变换数学基础一、矢量运算（续）矢量的数乘矢量的点积性质第二讲图形裁剪与几何变换第十六页，共六十六页，编辑于2023年，星期日17图形变换数学基础一、矢量运算（续）

矢量的长度

夹角

矢量的叉积

第二讲图形裁剪与几何变换第十七页，共六十六页，编辑于2023年，星期日18图形变换数学基础二、矩阵运算矩阵：由m×n个数按一定位置排列的一个整体，简称m×n矩阵。其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素第二讲图形裁剪与几何变换第十八页，共六十六页，编辑于2023年，星期日19图形变换数学基础二、矩阵运算（续）加法设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵A+B=数乘kA=[k*aij]|i=1...m,j=1,..n第二讲图形裁剪与几何变换第十九页，共六十六页，编辑于2023年，星期日20图形变换数学基础二、矩阵运算（续）乘法设A为3×2矩阵，B为2×3矩阵

C=A·B=C=Cm×p=Am×n·Bn×pcij=∑aik*bkj单位矩阵在一矩阵中，其主对角线各元素aii=1,其余皆为0的矩阵称为单位矩阵。n阶单位矩阵通常记作In。Am×n=Am×n·Ink=1,n第二讲图形裁剪与几何变换第二十页，共六十六页，编辑于2023年，星期日21图形变换数学基础二、矩阵运算（续）逆矩阵若矩阵A存在A·A-1=A-1·A=I，则称A-1为A的逆矩阵矩阵的转置把矩阵A=(aij)m×n的行和列互换而得到的n×m矩阵称为A的转置矩阵,记作AT

。

(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(aA)T=aAT(A·B)T=BT·AT

当A为n阶矩阵，且A=AT，则

A是对称矩阵。第二讲图形裁剪与几何变换第二十一页，共六十六页，编辑于2023年，星期日22图形变换数学基础二、矩阵运算（续）矩阵运算的基本性质交换律与结合律师

A+B=B+A;A+(B+C)=(A+B)+C数乘的分配律及结合律

a(A+B)=aA+aB;a(A·B)=(aA)·B=A·(aB)(a+b)A=aA+bAa(bA)=(ab)A第二十二页，共六十六页，编辑于2023年，星期日23图形变换数学基础二、矩阵运算（续）矩阵乘法的结合律及分配律

A(B·C)=(A·B)C(A+B)·C=A·C+B·CC·(A+B)=C·A+C·B矩阵的乘法不适合交换律第二讲图形裁剪与几何变换第二十三页，共六十六页，编辑于2023年，星期日24图形变换数学基础三、齐次坐标

所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个n维向量。如n维向量(P1,P2,…,Pn)表示为：（hP1,hP2,…,hPn,h）其中，h称为哑坐标。

1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是唯一的。2、普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”由普通坐标h→齐次坐标由齐次坐标÷h→普通坐标

3、当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，因为前n个坐标就是普通坐标系下的n维坐标。第二讲图形裁剪与几何变换第二十四页，共六十六页，编辑于2023年，星期日25图形变换数学基础三、齐次坐标（续）1.将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。2.便于表示无穷远点。例如：（a,b,h)，令h等于03.变换具有统一表示形式的优点便于变换合成便于硬件实现齐次坐标的作用：第二讲图形裁剪与几何变换第二十五页，共六十六页，编辑于2023年，星期日26窗口视图变换一、用户域与窗口区世界（用户）坐标系窗口用户域是用户定义设计对象的连续无限的二维或三维空间。窗口窗口是用户域的一个子域。在用户域中指定的一个区域，用户只能将该区域的图形输出到图形设备上。窗口一般是矩形区域，可用其左下角点和右上角点坐标来表示。通常窗口的边界与坐标轴平行。窗口可以嵌套。第二讲图形裁剪与几何变换第二十六页，共六十六页，编辑于2023年，星期日27窗口视图变换二、屏幕与和视图区屏幕域屏幕域是图形设备上输出图形的最大区域屏幕域是有限的整数域，如分辨率为1024×768的显示器，其屏幕域DC可定义为：

DC∈[0∶1023]×[0∶767]视图区用户在屏幕域内指定的用于显示图形的区域用设备坐标定义，一般定义成矩形，由其左下角点和右上角点坐标来定义一个屏幕可以定义多个视图区，并且视图区可以嵌套第二讲图形裁剪与几何变换第二十七页，共六十六页，编辑于2023年，星期日28窗口视图变换二、屏幕与和视图区（续）

1主菜单区2子菜单区

4提示信息区

3图形显示区图4.2.1视图分区第二讲图形裁剪与几何变换第二十八页，共六十六页，编辑于2023年，星期日29窗口视图变换三、窗口与视区变换窗口（wx,wy）1100视区（vx,vy）第二讲图形裁剪与几何变换第二十九页，共六十六页，编辑于2023年，星期日30窗口视图变换三、窗口与视区变换（续)第二讲图形裁剪与几何变换第三十页，共六十六页，编辑于2023年，星期日31窗口视图变换三、窗口与视区变换（续)矩阵表达式：第二讲图形裁剪与几何变换第三十一页，共六十六页，编辑于2023年，星期日32窗口视图变换三、工作站变换HV0工作站视区设备/图像坐标系工作站变换：将规范化坐标变换为离散设备/图像坐标。它本质上是第二个窗口-视区变换。110工作站窗口规范化设备坐标系屏幕区第二讲图形裁剪与几何变换第三十二页，共六十六页，编辑于2023年，星期日33窗口视图变换第二讲图形裁剪与几何变换二维图形输出流程三维图形输出流程第三十三页，共六十六页，编辑于2023年，星期日34图形裁剪多边形裁剪字符裁剪二维线段裁剪主要内容三维图形裁剪简介裁剪的概念第二讲图形裁剪与几何变换第三十四页，共六十六页，编辑于2023年，星期日35图形裁剪一、裁剪的概念裁剪：利用窗口技术把整体图形分为窗口内部分和窗口外两部分，保留窗口内部分。覆盖：利用窗口技术把整体图形分为窗口内部分和窗口外两部分，保留窗口外部分。第二讲图形裁剪与几何变换第三十五页，共六十六页，编辑于2023年，星期日36图形裁剪一、裁剪的概念（续）裁剪算法：一般地，对于给定的区域，判断图形的哪些部分在该区域内或区域外的过程称为裁剪算法。相应的参考区域称为窗口。裁剪技术的本质问题是对线段或多边形作求交与裁剪，仅保留需要的部分。第二讲图形裁剪与几何变换第三十六页，共六十六页，编辑于2023年，星期日37图形裁剪一、裁剪的概念（续）裁剪算法分类：按照裁剪对象的不同，裁剪算法分为：点裁剪线裁剪（直线段）区域裁剪（多边形）曲线裁剪文本裁剪第二讲图形裁剪与几何变换第三十七页，共六十六页，编辑于2023年，星期日38图形裁剪二、点的裁剪假设裁剪窗口是一个矩形，其边界平行于坐标轴。

点裁剪对于点P(x,y),若下面的不等式成立，则P显示。否则，P被裁剪掉。窗口xy第二讲图形裁剪与几何变换第三十八页，共六十六页，编辑于2023年，星期日39图形裁剪二、二维线段裁剪第二讲图形裁剪与几何变换第三十九页，共六十六页，编辑于2023年，星期日40图形裁剪二、二维线段裁剪（续）1.向量线段不在窗口内第二讲图形裁剪与几何变换第四十页，共六十六页，编辑于2023年，星期日41图形裁剪二、二维线段裁剪（续）2.向量线段起点坐标在窗口内第二讲图形裁剪与几何变换第四十一页，共六十六页，编辑于2023年，星期日42图形裁剪二、二维线段裁剪（续）2.向量线段起点坐标在窗口左边界左边起点新坐标或线段在窗口外第二讲图形裁剪与几何变换第四十二页，共六十六页，编辑于2023年，星期日43图形裁剪二、二维线段裁剪（续）2.向量线段起点坐标在窗口左边界左边起点新坐标

minY≤Y≤maxY求解有效

Y<minY或Y>maxY线段在窗口外第二讲图形裁剪与几何变换第四十三页，共六十六页，编辑于2023年，星期日44图形裁剪二、二维线段裁剪（续）2.向量线段起点坐标在窗口左边界左边起点新坐标

Y>maxY且Ys>maxY

蓝色线段在窗口外绿色线段与上边界相交第二讲图形裁剪与几何变换第四十四页，共六十六页，编辑于2023年，星期日45图形裁剪二、二维线段裁剪（续）2.向量线段起点坐标在窗口左边界左边起点新坐标

Y<minY且Ys<minY

红色线段在窗口外绿色线段与下边界相交第二讲图形裁剪与几何变换第四十五页，共六十六页，编辑于2023年，星期日46图形裁剪二、二维线段裁剪（续）2.向量线段起点坐标在窗口左边界左边！注意

Y<minY且Ys<minY

Y>maxY且Ys>maxY

必须判断下面的条件第二讲图形裁剪与几何变换第四十六页，共六十六页，编辑于2023年，星期日47图形裁剪二、二维线段裁剪（续）2.向量线段起点坐标在窗口左边界右边在1区和2区2.向量线段终点坐标第二讲图形裁剪与几何变换第四十七页，共六十六页，编辑于2023年，星期日48图形裁剪三、多边形裁剪多边形裁剪的概念第二讲图形裁剪与几何变换第四十八页，共六十六页，编辑于2023年，星期日49图形裁剪三、多边形裁剪（续）错觉直线段裁剪的组合？新的问题1）边界不再封闭，需要用窗口边界的恰当部分来封闭它，如何确定其边界？第二讲图形裁剪与几何变换第四十九页，共六十六页，编辑于2023年，星期日50图形裁剪三、多边形裁剪（续）新的问题（续）

2）一个凹多边形可能被裁剪成几个小的多边形，如何确定这些小多边形的边界？第二讲图形裁剪与几何变换第五十页，共六十六页，编辑于2023年，星期日51图形裁剪三、多边形裁剪（续）多边形裁剪的双边裁剪法

第二讲图形裁剪与几何变换第五十一页，共六十六页，编辑于2023年，星期日52图形裁剪三、多边形裁剪（续）第二讲图形裁剪与几何变换用主多边形P(即用户图形)的边裁剪多边形Q(即用户定义的窗口、视图区)，或在某种条件下用Q的边去裁剪P的算法。我们把这种算法简称为双边裁剪法。基本思想是:对于有序排列的封闭多边形，从其任一点出发，按照顶点排列的顺序(如按照顺时针方向排列)，跟踪检测P的每一条边，当P的边和Q的有效边框相交时，将按如下两种情况处理:（1)若P的边是进入Q，则算法继续沿着P的边往下处理，并输出Q内的线段;（2)若P的边是从Q中出来，则算法将从它们的交点(此处我们把这个交点定义为前交点)开始，沿着窗口边框向右检测Q的边，即用Q的有效边框去裁剪P的边(如果P的边是按逆时针方向排列，则应向左检测Q的边)。并在Q的正方向上找到离前交点最近的P和Q的交点后，输出窗口Q的边界线段，再返回到离P的前交点最近的下一个顶点处，继续处理P的边。这个过程一直处理到起点为止。第五十二页，共六十六页，编辑于2023年，星期日53图形裁剪三、多边形裁剪（续）多边形裁剪的双边裁剪法（续）

1131486523491110123窗口7第二讲图形裁剪与几何变换第五十三页，共六十六页，编辑于2023年，星期日54图形裁剪三、多边形裁剪（续）多边形裁剪的双边裁剪法（续）

第二讲图形裁剪与几何变换第五十四页，共六十六页，编辑于2023年，星期日55图形裁剪四、字符裁剪字符串裁剪可按三个精度来进行：

串精度字符精度象素精度

第二讲图形裁剪与几何变换第五十五页，共六十六页，编辑于2023年，星期日56图形裁剪五、三维图形裁剪简介观察体的定义

在照相时，相机的镜头是决定所拍摄场景大小的一个因素。在三维显示中，观察平面上的矩形观察窗口用于实现这个目标。

观察窗口的边与xvyv轴平行。窗口边界的位置是由观察坐标指定的，观察窗口可以放在观察平面上的任何位置。观察平面(xwmax,ywmax)(xwmin,ywmin)投影窗口zvxvyv第二讲图形裁剪与几何变换第五十六页，共六十六页，编辑于2023年，星期日57图形裁剪五、三维图形裁剪简介（续）观察体的定义（续）

给定观察窗口后，我们可以利用窗口的4条边界建立观察体。只有位于观察体中的物体才会在输出设备上显示出来，所有其他部分将被裁剪掉。窗口前裁剪面后裁剪面平行六面体第二讲图形裁剪与几何变换第五十七页，共六十六页，编辑于2023年，星期日58图形裁剪五、三维图形裁剪简介（续）观察体的特点

投影中心后裁剪面前裁剪面zv窗口观察平面、前后裁剪面的相对位置关系依赖于投影的类型。前后裁剪面的作用：(1)裁剪掉不感兴趣的部分；(2)在透视投影中，裁剪掉离观察面很近的大物体，这些物体投影到观察窗口中模糊不清；后平面裁剪掉远离投影中心的物体，这部分物体在输出设备上是很小的点。后平面比前平面离投影中心远，且都在投影中心的同一侧第二讲图形裁剪与几何变换第五十八页，共六十六页，编辑于2023年，星期日59图形裁剪五、三维图形裁剪简介（续）三维裁剪与二维裁剪的不同之处

在二维裁剪中，窗口是与x,y轴平行的，这大大简化了裁剪在二维裁剪中运算。三维裁剪体的裁剪边界是平面，平面的产生与投影的类型、投影的窗口及投影中心的位置有关。在透视投影中，观察体的前后面与观察平面平行，每个面的z坐标均为常数，但其他四个侧面可以具有任意的空间方向，这给求交运算带来了麻烦。第二讲图形裁剪与几何变换第五十九页，共六十六页，编辑于2023年，星期日60图形裁剪五、三维图形裁剪简介（续）三维线段的裁剪

先用规范化变换将原来的观察体变换为所谓的标准规范体。然后，在规范化裁剪体中进行裁剪操作。窗口前裁剪面后裁剪面111前裁减面后裁剪面xyz规范化平行投影空间第二讲图形裁剪与几何变换第六十页，共六十六页，编辑于2023年，星期日61图形裁剪五、三维图形裁剪简介（续）三维线段的裁剪（续）

111前裁减面后裁剪面xyz规范化平行投影空间对于平行投影，其规范化投影空间为正四棱柱，6个裁剪面的方程为：第二讲图形裁剪与几何变换第六十一页，共六