2012年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷新课标理科

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷新课标理科理科数学（全国卷）第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共60分）1，则1.已知复数z的实部为-1，虚部为=（）A.1-iB.1+iC.-iD.i1.【答案】A【解析】因为z=-1+i，则选A.2.双曲线的离心率为2,则它的渐近线方程是（）A.B.C.D.2.【答案】A【解析】∵，∴，所以，渐近线方程为.3.如果对于任意实数1）,a,b(a<b),随机变量X服从正态分布,记为,若X～（0，,则（）A.1/6B.1/3C.1/2D.5/63.【答案】A【解析】根据正态分布函数图像的对称性可知.4.若有意义且，，则=（）A.B.C.D.4.【答案】C【解析】，，，所以.法二：特值验证，A，B选项错误，中，所以1在中，答案为C.【易错提示】注意排列上下标所满足的条件.5.如图所示得程序框图若输入n=5，则输出的n为（）A.-3B.-1C.1D.35.【答案】B【解析】第一次循环之后：n=3；第二次循环之后：n=1；第三次循环之后：n=-1，这时对应函数在上为减函数，输出n=-1.答案为B.【易错提示】具有循环结构的流程图问题，最有效的求解方法之一就是当循环次数比较少时，把每一次循环之后每个变量的取值都一一列出，当循环次数比较多时，利用数列通项把每次循环之后每个变量的取值一一列出，否则容易出现错误.6.已知向量且，则（）A.-10B.10C.D.6.【答案】[要学习网,只做中学生最喜欢址]B【解析】因为，所以.，故，、最实用的学习论坛，地址手机版地7.一组数据3，4，5，s,t的平均数是4，这组数据的中位数是m,则过点P（Q（m,m）的直线与直线y=-x+4的位置关系是（）和A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.重合7.【答案】P（2,2），，所以Q（4,4），过点PQ的直线斜率为【易错警示】没有注意整体求出s+t，一直想单独求出s,t，钻进死胡同.C【解析】由3，4，5，s,t的平均数是4可得1，故直线PQ与直线y=-x+4垂直.8.已知（m,n为正整数），类比以上等式，可推测出则m,n的值，则展开式的常数项是（）A.28B.-28C.56D.-568.【答案】B【解析】归纳可知，故二项式为，所以常数项为.【易错警示】不能很好地运用归纳法从已知的几个等式中归纳出，解题受阻..9.已知，其导函数的图像如图所示，则的解析式为（）A.C.B.D.9.【答案】B【解析】，由图可以知道的周期为，所以知，又因为，所以=4，故，由第一零点法可，所以.【易错警示】误以为所给是函数的图像，造成答非所问.10.如果点P在平面区域内，点Q在曲线上，则的最大值与最小值之差为（）A.7/2B.C.D.10.【答案】C【解析】对应的平面区域如图所示，的最小值为圆心到三条边界线的距离减去圆的半径，到直线2x-y+2=0的距离减去圆的半径为，到直线2y-1=0的距离减去圆的半径为3/2，到直线x+y-2=0的距，所以最小值为3/2；最大值为圆心到B点的距离加上圆的半离减去圆的半径为径，即4+1=5，所以最大值与最小值之差为.【易错警示】简单粗略的习惯性认为到圆上距离最小和最大的点是三角形都是ABC的顶点，认识出现偏差，错误解题.11.已知正项等比数列满足：，且，则的最小值为（）A.2/3B.2C.4D.611.【答案】C【解析】由题意知，化简得，所以q=-1（舍）或q=2，又由已知条件可得，所以，故m+n=6，所以，当且仅当，也就是m=n=3时取“=”.12.抛物线C点，点的面积是（）焦点为F，准线为F的直线与抛物线交于A、B两点，l，经过交准线于A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|=2|BF|，且|AF|=4，则△AKFA.4B.C.D.812.C【解析】如图，引垂足为N，设抛物线的准线与x轴交与M点，由抛物线定义可得|BF|=|NN|，因为|BC|=2|BF|，所以|BC|=2|BN|，故在中，，所以在中，|CF|=2|FM|，同理知|CA|=2|AK|，因为|AK|=|AF|=4，所以|CF|=4，所以P=|FM|=2，|NB|=4/3，故，答案为C.【命题要点】本题以直线和抛物线相交为背景，把解析几何与平面几何结合，考查了抛物线定义，方程、简单几何性质等基本知识，考查了数形结合的数学思想和运算能力，属于难题.第Ⅱ卷一、填空题（每小题5分，共20分）13.2011年8月12日—2011年8月23日第二十六届世界大学生运动会将在我国深圳举行，某一网站调查对比了年龄高于40岁和不高于40岁的人对大运会吉祥物“UU”（如图所示）178人所得数据制成如下联表：的喜爱程度，40岁以上调查的122人与不高于40岁调查的一般很喜爱40岁以上40岁yx35A143B不高于总计若工作人员所从有统计结果中任取一个，取到很喜爱吉祥物“UU”的人的概率为设从所有人中任意抽取一个取到很喜爱吉祥物“UU”的人为事件，所以X=85B=228Y=37A=72，B-A=156.19/25，则B-A=13.【答案】由已知156【解析】A，14.一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图如图，则该圆锥的体积为14.【答案】【解析】该几何体的直观图如图所示，由正视图得，由侧视图得。，由俯视图得OB=1，由勾股定理算得OC=CP=2，∴该圆锥的体积.【易错警示】不能把三视图还原为直观图，有效地从三视图中提取信息是本题的最大难点.15.在正三棱台中，，从9条棱中任取两条棱，则这两条棱所在直线夹角为的概率为.15.【答案】3/4【解析】总试验的结果数为，因为此正三棱台是有正四面体截，故两条棱夹角为来的，所以任取两条棱要么平行、垂直，要么夹角为的结果数为36-3-6=27，所求事件的概率为27/36=3/4.【易错警示】题要力争做到不能把三棱台还原为正四面体来解题，是出错的根源，学习和解答立体几何问“能割善补”.16.函数的图像很想网络流行的“囧”字的内部，我们不妨把它称为囧函数，则以下对于囧函数的叙述正确的是（把所有正确命题的序号都填上）①函数的图像关于y轴对称；②对于内的任意实数m,n（），恒成立；③对于恒成立；④③对于内的任意实数p,q，的导函数有没有零点；其中所有正确结论的序号是．16.【答案】①③【解析】因为函数是偶函数，所以①正确；函数在内不单调，所以象可知，③错误④正②错误；令a=1画出函数图确.【易错警示】没有注意题目所给出的函数图象信息，充分地进行数形结合来解题，而造成隐性浪费时间或解题失误，所以解数学题之前要认真审题.三、解答题（共5小题17.（本小题满分12分）为9头猪中随意抽3头进行检查，发现有一头猪含有“瘦肉精”，则当天的屠宰的所有猪肉都不能通过，今天此屠户屠宰的9头猪中有4头含有“瘦肉精”+选作，12+12+12+12+12+选作10=70分）了对“瘦肉精”猪肉进行检查，质检部门每天要在某屠宰户屠宰的（1）求次屠户今天的猪肉不能通过检查的概率；（2）求质监部门今天所选的3头猪中含有“瘦肉精”的猪数ξ的分布列，并求ξ的期望.17.解：（1）；（4分）0，1，2，3（5分）（2）的可能取值为（8分）012P5/4210/215/14的分布列为：（10分）.（12分）【规律总结】以求期望为最终目标的题型是高考对概率知识以解答题形式考查的热点题型．解答这类问题关键在分析随机变量取每一个值时所对应的随机事件，并求相关概率，再列出随机变量分布列，应用公式求解即可．天18.（本小题满分12分）把正方形D,E,F分别为以边所在直线为轴旋转到正方形，其中的中点.（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求证：平面；（3）求二面角的大小.18.解：（1）设AB的中点为G,连接DG,CG∵D是的中点∴DG∥且∵E是的中点∴∥且，∴CE∥DG且CE=DG∴CEDG是平行四边形，∴∵平面ABC,平面ABC，∴（2）∵为等腰直角三角形，DE∥GCDE∥平面ABC,且F是BC的中点平面∴平（4分）∴面∵平面∴设则，则在中，，∴是直角三角形，∴∵（3）分别以坐标系∴平面（8分）为X,Y,Z轴建立空间直角如图，设，则设∵平面设平面的法向量为，∴面的法向量为，∵,∴,file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-20289.png，∴不妨设，可得，∴∴二面∵二面角是锐角，角的大小（12分）【规律总结】对于空间中点线面的位置关系的判定与证明问题，以及角度的求解问题，一类思维是通过几何法，正确对线线、线面、面面的平行（或垂直）加以相互转化，要证明线面垂直，必须通过线线、线面、面面垂直的转化来达到目的；另一类是通过向量法，利用向量中的相关知识的运算来达到证明与求解的目的19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，椭圆C：(a＞b＞0)，圆O：x2+y2=a2，且过点A（c(a2)，0）所作圆的两条切线互相垂直．（1）求椭圆离心率；（2）若直线y=2与圆交于D、E；与椭圆交于M、N，且DE=2MN，求椭圆的方程；（3）设点T（0，3）在椭圆内部，若椭圆C上的点到点P的最远距离不大于5，求椭圆C的短轴长的取值范围．19.解：（1）由条件：过点A（c(a2)，0）作圆的两切线互∴OA=a，即：c(a2)=a，∴e=（3分）相垂直，（2）∵e=，∴a2=2c2，a2=2b2，∴椭圆C：．得x2=a2－12，∴DE=2,得x2=2b2－24，∴MN==4（2b2－24），,由DE=2MN，得∴2b2－12=4（2b2－24）（6分）解得b2=14，a2=28，∴椭圆方程为：．（8分）（3）∵点PT2=x2+(y－3)2=2b2－2y2+(y－3)2=－(y+3)2+2b2+18，其中，T（0，3）在椭圆内部，∴b＞3，设P（x，y）为椭圆－b＜y＜b，上任一点，则∵b＞3，∴－b＜－3，∴当y=－3时，PT2的最大值2b2+18．依题意：PT≤5∴PT2≤50，∴2b2+18≤50，∴0＜b≤4，又∵b＞3，∴3＜b≤4，即6＜2b≤8，∴椭圆C的短轴长的取值范围6＜b≤8．（12分）【规律总结】直线和圆锥曲线的位置关系，从代数的角度看转化为对一个二元一次方程与一个二元二次方程组成的方程组的研究，对于消元后的一元二次方程必须讨论二次项系数和判别式，如若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便，对于动态问题，注意“动中求基本方法是联方立程组，判断方程组解的组数，对于个数的问题还可借助直线与渐近线斜率的关系来判断，而直线与抛物线的位置关系则可借助直线与抛物线对称轴的位置关系来判定，不可混淆．20.(本小题12分)静”．判定直线与圆锥曲线交点个数的直线与双曲线的交点设m>3，对于有穷数列(n=1,2,…，m),令为…，中的最大值，称数列为的“极值数列”.数列中不相等项的个数称为的“极值个数”.例如数列2,1,3,7,5的创新数列为2,2,3,7,7，极值个数为3.考察自然数1,2,…，m(m>3)的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列.（1）若m=5,写出创新数列为3,4,4,5,5的所有各项都不相等的数列；(2)是否存在数列，使它的极值数列为等差数列？若存在，求出所有的数列，若不存在，请说明理由.20.解：（1）由题意，创新数列为3,4,4,5,5的数列有两个，即：①数列3，4，1，5，2；②数列3，4，2，5，1.（3分）[要学习网,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛，地址手机版地址]（2）设数列的创新数列为，因为为中的最大值.所以.由题意知：，且为中最大值，为中最大值，所以.若为等差数列，设其公差为d，则，且.（6分）当d=0时，为常数列，又，所以数列为，此时数列是首项为m的任意一个符合条件的数列；当d=1时，因为，所以数列为，此时数列是；当时，因为，又，所以，这与矛盾，所以此时不存在，即不存在使得它的创新数列为的等差数列.（11分）综上，当数列为首项为m的任意符合条件的数列或为数列1,2,.....m时，它的极值数列为等差数列.（12分）【规律总结】数列问题一直是高考的重点，今年来新课标高考数列的考查方向有两个：一是和其他知识（函数、不等式、解析几何）交汇，构造复合问题，此类问题只要分清知识点的主次地位，逐步向考查中心靠拢即；可列在实际问题中的应用。二是新课标视数列是一种特殊的函数，并多次考查数21.已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）已知常数最小值时满足，求函数m的值.21.解：（1）由题知函数定义域为X>0，；（1分）当k=0时，当k>0时，令当k<0时，令（2）因为所以函数无单调区间，则，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单，则，所以函数在上单调，所以，由（1）知，（9分）所以则，令得，易判断此点为函数的极小值点，也就是函最小值点，即时，取到最小值.（12分）【规律总结】有关导数的高考题主要考查导数的概念、几何意义、函数的单调性、极值以及应用问题中的最值．查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于以下三个方面1)运用导数的有关知识研究函数极值、最值长考不衰的热点内容．另一方面从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最值问题，再利用函数利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率或切线方程问题也是导数的一个重要应用，并且也是高考考查的重点运用导数的有关知识，研究函数的单调性是一又重点应用，在高考中占有很重要的地位．22.（本小题满分10几何证明选讲如图，已知△ABC中，AB=AC,D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与A、C重合），延长BD至E.（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为，求△ABC外接圆的面积A、B、C、D四点共圆，∴∠.22（1）证明：如图设（2分）F为AD延长线上一点。CDF=∠ABC又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，对顶角∠线平分∠CDE（5分）EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CD(2)解：设O为外接圆圆心，连结AO交BC于H，则AH⊥BC连结OC，由