【课件】立体图形的直观图+课件高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章立体几何初步8.2

立体图形的直观图

能用斜二测画法画出简单空间图形（长方形、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图学习目标：PABA′B′O′O美术与数学,一个属于艺术,一个属于科学,看似毫无关系事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系,在美术中,山川草木，实物、生物栩栩如生，平面画板上的图形画得如此富有立体感,原来遵循的是几何原理将空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使它富有立体感，让我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这样的平面图形就叫做这个空间几何体直观图.直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同.在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形.问题如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？

眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？斜二测画法

(1)正方体的每个面都是正方形，但在直观图中有几个面画成正方形？有几个面画成平行四边形？(2)观察正方体的上底面，想一想应该如何来画水平放置的正方形的直观图？观察正方体的直观图

在初中，我们已经学习过投影.

利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.

水平放置的正方形的直观图1.水平方向线段长度不变;2.竖直方向的线段向右倾斜450，长度减半;3.平行线段仍然平行.变化规则：x'y'O'③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段.ABCDA'B'D'①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.xyO

画直观图时，把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴相交两轴交于点O'，且使∠x'O'y'＝45º(或135º)，它们确定的平面表示水平面.C'用斜二测画法画水平放置平面图形的直观图的步骤：二测：画直观图时，已知图形中

平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，

平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半.简记为：【斜二测画法归纳】横不变,纵折半,平行位置不改变斜：把直角坐标系xOy变为斜坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45º(或135º)例1

用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.(1)建系时要尽量考虑图形的对称性；(2)关键是确定多边形顶点的位置．画法：①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，

对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于点O．

画对应的x′，y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′Oy′=45°.②以O′为中心，在x′上取A′D′=AD，在y轴上取

以点N′为中心，画B′C′∥x′轴，并等于BC，

再以M′为中心，画E′F′∥x′轴，并等于EF.横不变,纵折半,平行位置不改变

③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′

并擦去辅助线x′轴和y′轴，

得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′不变的：平行关系，与x轴平行或重合的线段长度变化的：垂直关系，角的大小，其他线段的长度【总结】斜二测画法中“变”与“不变”③直角梯形的直观图x′y′C′xyA′B′D′ABCD例２．用斜二测法画水平放置的圆的直观图

关于水平放置的圆的直观图非常像椭圆．在实际画水平放置的圆的直观图时，通常使用椭圆模版．

空间几何体的直观图的画法画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变。例2

用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图.D′ABCDA′B′C′则□ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.

画法:

(1)画轴.画x轴、y轴、z轴，三轴交于点O(A)，

使∠xOy=45⁰，∠xOz=90⁰.（2）画底面.在x轴正半轴上取线段AB，使AB=4cm；在y轴正半轴上取线段AD，使AD=1.5cm，过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，D′ABCDA′B′C′(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上

分别截取2cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.思考?画棱柱的直观图大致可分几个步骤进行？画轴→画底面成图→画侧棱→(4)成图.顺次连接A′，B′,C′,D′，整理（去掉辅助线，遮挡的部分改为虚线）

得到长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图.分析：画组合体几何体的直观图，先要分析它的结构特征，知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式，然后再画直观图.例4

某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱,上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合.画出这个组合体的直观图.

本题中没有尺寸要求，画图时只需选择合适的大小，表达出该几何体的结构特征就可以了.解：画法：如图，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图.PABA′B′O′OABA′B′P·

对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，在借助圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线.

画球的直观图，一般需要画出球的轮廓