高中数学平面向量9篇

1/1高中数学平面向量（集锦9篇）

高中数学平面向量第1篇第一教时

教材：

向量

目的：

要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。

过程：

一、开场白：本P93（略）

实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，

问：猫能否追到老鼠？（画图）

结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。

二、提出题：平面向量

1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等

注意：1数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

2从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

2．向量的表示方法：

1几何表示法：点—射线

有向线段——具有一定方向的线段

有向线段的三要素：起点、方向、长度

记作（注意起讫）

2字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字）

P95例用1cm表示5nmail（海里）

3．模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。

记作：模是可以比较大小的

4．两个特殊的向量：

1零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。

注意与0的区别

2单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。

例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？

答：不是。因为零上零下也只是大小之分。

例：与是否同一向量？

答：不是同一向量。

例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？

答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。

三、向量间的关系：

1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作：∥∥

规定：与任一向量平行

2．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

记作：=

规定：=

任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。

3．共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上，

所以平行向量也叫共线向量。

例：（P95）略

变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）

变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）

变式三：与向量共线的向量有哪些？（）

四、小结：

五、作业：

P96练习习题5.1

高中数学平面向量第2篇s|cosθ，

功是一个标量(数量)，而力它等于力F和位移s都是矢量(向量)，功等于力和位移这两个向量的大小与它们夹角余弦的乘积。这给我们一种启示：能否把功W看成是两向量F和s的一种运算的结果呢，为此我们引入平面向量的数量积。

(二)讲授新课

今天我们就来学习：(板书课题)

平面向量的数量积

一、向量数量积的定义

已知两个非零向量与，我们把数量|高中数学平面向量第3篇教材分析：

前面已学习了向量的概念及向量的线性运算，这里引入一种新的向量运算——向量的数量积。教科书以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到向量数量积与向量模的大小及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。

在定义了数量积的概念后，进一步探究了两个向量夹角对数量积符号的影响;然后由投影的概念得出了数量积的几何意义;并由数量积的定义推导出一些数量积的重要性质;最后“探究”研究了运算律。

教学目标：

(一)知识与技能

掌握数量积的定义、重要性质及运算律;

能应用数量积的重要性质及运算律解决问题;

了解用平面向量数量积可以解决长度、角度、垂直共线等问题，为下节课灵活运用平面向量数量积解决问题打好基础。

(二)过程与方法

以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究，通过例题分析，使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别。

(三)情感、态度与价值观

创设适当的问题情境，从物理学中“功”这个概念引入课题，开始就激发学生的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，加强数学与其它学科及生活实践的联系。

教学重点：

平面向量的数量积的定义;

用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角。

教学难点：

平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用。

教学方法：

启发引导式

教学过程：

(一)提出问题，引入新课

前面我们学习了平面向量的线性运算，包括向量的加法、减法、以及数乘运算，它们的运算结果都是向量，既然两个向量可以进行加法、减法运算，我们自然会提出：两个向量是否能进行“乘法”运算呢?如果能，运算结果又是什么呢?

这让我们联想到物理中“功”的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，F与s的夹角是θ，那么力F所做的功如何计算呢?

我们知道：W=|F高中数学平面向量第4篇一、总体设想：

本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义;二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念;二是几何意义和运算律;三是两个向量的模与夹角的计算。

二、教学目标：

了解向量的数量积的抽象根源。

了解平面的数量积的概念、向量的夹角

数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义

理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算

三、重、难点：

【重点】平面向量数量积的概念和性质

平面向量数量积的运算律的探究和应用

【难点】平面向量数量积的应用

课时安排：

2课时

五、教学方案及其设计意图：

平面向量数量积的物理背景

平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F的所做的功为W，这里的(是矢量F和s的夹角，也即是两个向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢?以此为基础引出了两非零向量a，b的数量积的概念。

平面向量数量积(内积)的定义

已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a高中数学平面向量第5篇b|cos(无法得到，因此另外进行了规定。

两个非零向量夹角的概念

已知非零向量a与b，作=a，=b，则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.

，是记法，是定义的实质――它是一个实数。按照推理，当时，数量积为正数;当时，数量积为零;当时，数量积为负。

“投影”的概念

定义：|b|cos(叫做向量b在a方向上的投影。

投影也是一个数量，它的符号取决于角(的大小。当(为锐角时投影为正值;当(为钝角时投影为负值;当(为直角时投影为0;当(=0(时投影为|b|;当(=180(时投影为(|b|.因此投影可正、可负，还可为零。

根据数量积的定义，向量b在a方向上的投影也可以写成

注意向量a在b方向上的投影和向量b在a方向上的投影是不同的，应结合图形加以区分。

向量的数量积的几何意义：

数量积a(b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos(的乘积.

向量数量积的几何意义在证明分配律方向起着关键性的作用。其几何意义实质上是将乘积拆成两部分：。此概念也以物体做功为基础给出。是向量b在a的方向上的投影。

两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，则

(1)a(b(a(b=0;

(2)当a与b同向时，a(b=|a高中数学平面向量第6篇《平面向量数量积》教学设计

案例名称平面向量数量积的设计主备人组员课时3课时一、教材内容分析平面向量数量积是人教版高一下册第五章第六节内容，本节课是以解决某些几何问题、物理问题等的重要工具。学习本节要掌握好数量积的定义、公式和性质，它是考查数学能力的一个结合点，可以构建向量模型，解决函数、三角、数列、不等式、解析几何、立体几何中有关长度、角度、垂直、平行等问题，因此是高考命题中“在知识网络处设计命题”的重要载体。二、教学目标(知识，技能，情感态度、价值观)(一)知识与技能目标

1、知道平面向量数量积的定义的产生过程，掌握其定义，了解其几何意义;

2、能够由定义探究平面向量数量积的重要性质;

3、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直、共线关系

(二)过程与方法目标

(1)通过物理学中同学们已经学习过的功的概念引导学生探究出数量积的定义并由定义探究性质;

(2)由功的物理意义导出数量积的几何意义;

(三)情感、态度与价值观目标

通过本节的自主性学习，让学生尝试数学研究的过程，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识。

三、学习者特征分析学生已经学习了有关向量的基本概念和基础知识，同时也已经具备一定的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。但在探究问题的能力、合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强。四、教学策略选择与设计教法：观察法、讨论法、比较法、归纳法、启发引导法。

学法：自主探究、合作交流、归纳总结。

教师与学生互动：学生自主探究，教师引导点拨。五、教学环境及资源准备三角尺六、教学过程教学过程教师活动学生活动设计意图及资源准备

创设情景引入新课

问题1在物理学中，我们学过功的概念，如果给出力的大小和位移的大小能否求出功的大小?师】：提出学生已学过的问题设置疑问，激发学生兴趣。

【生】：W=FScos让学生复习已学过的物理知识激发学生兴趣，并能够分析此公式的形式。问题2在上述公式中的角是谁与谁的夹角?两向量的夹角是如何定义的?【师】：提问角从而引出两向量夹角的定义。

【生】：指出角是力与所发生的位移的夹角能够通过物理学中功的概念及公式中夹角的定义，从而给出两向量夹角的定义。

师生互动探索新知

1引出两个向量的夹角的定义

定义：向量夹角的定义：设两个非零向量a=OA与b=OB，称∠AOB=为向量a与b的夹角，(00≤θ≤1800)。

(此概念可由老师用定义的方式向学生直接接示)

【师】：给出任意两个向量由学生作出夹角并通过作图引导学生归纳、总结出两向量夹角的特征及各种特殊情况。

【生】：学生作图，任意两向量的夹角包括垂直，同向及反向的情况。

注：(1)当非零向量a与b同方向时，θ=00

(2)当a与b反方向时θ=1800(共线或平行时)

(3)0与其它非零向量不谈夹角问题

(4)a⊥b时θ=900

(5)求两向量夹角须将两个向量平移至公共起点

实际应用巩固新知

1实际问题我能行

例1在三角形ABC中，∠ABC=450，BA与BC夹角是多少?BA与CB夹角呢?【生】：以四人为小组合作、交流。

高中数学平面向量第7篇|cosθ，其中θ是与的夹角。

规定：零向量与任一向量的数量积为0，即=0

注意：

(1)符号“”在向量运算中既不能省略，也不能用“×”代替。

(2)是与的夹角，范围是0≤θ≤π，(再找两向量夹角时，若两向量起点不同，必须通过平移，把起点移到同一点，再找夹角)。

(3)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量。而且这个数量的大小与两个向量的模及其夹角有关。

(4)两非零向量与的数量积的符号由夹角θ决定：

cosθ

=cosθ=0

cosθ

前面我们学习了向量的加法、减法及数乘运算，他们都有明确的几何意义，那么向量的数量积的几何意义是什么呢?

二、数量积的几何意义

“投影”的概念：已知两个非零向量与，θ是与的夹角，||cos(叫做向量在方向上的投影

思考：投影是向量，还是数量?

根据投影的定义，投影当然算数量，可能为正，可能为负，还可能为0

|(为锐角(为钝角(为直角

||cos(||cos(||cos(=0

当(为锐角时投影为正值;当(为钝角时投影为负值;当(为直角时投影为0;当(=0(时投影为||;当(=180(时投影为(||

思考：在方向上的投影是什么，并作图表示

数量积的几何意义：数量积等于的长度||与在方向上投影||cos(的乘积，也等于的长度||与在方向上的投影||cos(的乘积。

根据数量积的定义，可以推出一些结论，我们把它们作为数量积的重要性质

三、数量积的重要性质

设与都是非零向量，θ是与的夹角

高中数学平面向量第8篇目的：

通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。

过程：

一、复习：

1．实数与向量的积(强调：“模”与“方向”两点)

2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）

3．向量共线的充要条件

4．平面向量的基本定理（定理的本身及其实质）

二、例题

1．当λZ时，验证：λ(+)=λ+λ

证：当λ=0时，左边=0(+)=右边=0+0=分配律成立

当λ为正整数时，令λ=n,则有：

n(+)=(+)+(+)+…+(+)

=++…+++++…+=n+n

即λ为正整数时，分配律成立

当为负整数时，令λ=n（n为正整数），有：

n(+)=n[(+)]=n[()+()]=n()+n()=n+(n)=nn

分配律仍成立

综上所述，当λ为整数时，λ(+)=λ+λ恒成立。

2．1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成30,60角，问两细绳各受到多大的力？

解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90

1(kg)P1OP=60P2OP=30

∴cos60=1=0.5(kg)

cos30=1=0.87(kg)

即两根细绳上承受的拉力分别为0.5kg和0.87kg。

高中数学平面向量第9篇教材分析：

教科书以物体受力做功为背景，引出向量数量积的概念，功是一个标量，它用力和位移两个向量来定义，反应在数学上就是向量的数量积。

向量的数量积是过去学习中没有遇到过的一种新的乘法，与数的乘法既有区别又有联系。教科书通过“探究”，要求学生自己利用向量的数量积定义推导有关结论。这些结论可以看成是定义的直接推论。

教材例一是对数量积含义的直接应用。

学情分析：

前面已经学习了向量的概念及向量的线性运算，这里引入一种新的向量运算——向量的数量积，教科书以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到数量积与向量模的大小有及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。

三维目标：

(一)知识与技能

1、学生通过物理中“功”等实例，认识理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会平面向量数量积与向量投影的关系。

2、学生通过平面向量数量积的3个重要性质的探究，体会类比与归纳、对比与辨析等数学方法，正确熟练的应用平面向量数量积的定义、性质进行运算。

(二)过程与方法

1、学生经历由实例到抽象到抽象的的数