人教新课标质点在平面内的运动精讲精练

庖丁巧解牛知识·巧学一、在直角坐标系中研究蜡块的运动1.建立直角坐标系运动开始时蜡块的位置为原点，水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的方向.2.蜡块的位置如图6-2-1所示，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，玻璃管向右移动的速度设为vx.从蜡块开始运动的时刻计时，于是，在时刻t蜡块的位置P可以用它的x、y两个坐标表示x=vxty=vyt图6方法点拨用坐标来描绘物体位置的变化，是最准确的做法，是研究问题的一种切实可行的方法.3.蜡块的运动轨迹由以上两式可得：y=因为vy、vx都是常量，故y=代表的是一条过原点的直线.蜡块的实际运动可以看成是水平的匀速运动和竖直的匀速运动的合运动.二、运动的合成与分解1.合运动与分运动如果一个具体的运动可以看成是由两个简单运动的合成，那么这个运动就称为另外两个运动的合运动，而另外两个运动称为合运动的分运动.合运动就是物体的实际运动.物体的实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度.2.运动的合成与分解包括位移、速度、加速度的合成与分解，它们与力的合成与分解一样都遵守平行四边形定则：由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成，已知合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解.方法点拨两个直线运动的合运动可以是曲线运动.反之，一个曲线运动也可以分解为两个方向上的直线运动，分别研究这两个方向上物体的受力情况与运动情况，弄清作为分运动的直线运动的规律后，通过运动的合成就可以知道作为合运动的曲线运动的规律.这也是运用运动的合成与分解的方法来处理复杂的曲线运动的基本思路.3.合运动和分运动的关系（1）等时性：合运动与分运动经历的时间相等.（2）独立性：一个物体同时参与几个运动，其中的任一个运动并不因为有其他运动而有所改变，合运动是这些相互独立的运动的叠加，这就是运动的独立性原理，或叫做运动的叠加原理.各分运动独立进行，各自产生效果（v分、s分）互不干扰.（3）等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代，即等效性.也就是说，合运动的位移s合、速度v合和加速度a合分别等于对应各分运动位移s分、速度v分、加速度a分的矢量和.4.运动的合成与分解的运算法则运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们都是矢量，所以都遵循平行四边形定则.（1）两分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减.例如，竖直抛体运动看成是竖直方向的匀速运动（v0t）和自由落体运动（gt2）的合成，下抛时，vt=v0+gt，x=v0t+gt2.上抛时，vt=v0－gt;x=v0t－gt2.（2）不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图6-2-2所示：图6深化升华平行四边形定则是一切矢量合成都必须遵循的法则.（3）两分运动垂直或正交分解后的合成a合=，v合=，x合=.这几个方程仅适用于两个分运动互相垂直的情况.5.运动的分解是运动合成的逆过程运动的分解如同力的分解一样，如果没有其他条件约束的话，一个运动可以分解为无数组分运动，因此，在具体问题中，除去遵循平行四边形定则外，还应该依据物体运动的实际效果来进行分解.方法点拨进行运动分解的步骤：①确定合运动方向（实际运动方向）；②分析合运动的运动效果；③依据合运动效果确定两分运动方向；④依据平行四边形定则作出分解矢量图.运动的合成与分解的具体方法:作图法：选好标度，用一定长度的有向线段表示分运动或合运动的有关物理量，严格按照平行四边形定则画出平行四边形求解.计算法：先画出运动合成或分解的示意图，然后应用直角三角形等数学知识求解.问题·探究问题1小船渡河过程中，如何渡河所需时间最短？如何渡河经历位移最短？探究:在具体讨论运动的合成与分解的实际问题时，先要明确哪个是合运动，哪个是分运动.明确合运动与组成它的各个分运动是在同一个时间内完成的，即具有等时性；它们之间不存在先后的问题，保持着严格的对应关系.本例中随水漂流和划行这两个分运动互不干扰，各自独立而且具有等时性.因此只要分运动时间最短，则合运动时间最短，即渡河时间最短.故在相对水的划行速度v2一定的情况下，船头垂直指向对岸划行即可，此时对应分运动位移最小，即s2=d.欲使渡河经历位移最短，只要令合运动位移最短即可.由于小船划行速度v2与随水漂流速度v1之间的大小关系不确定，我们必须分v2＜v1与v2＞v1两种情况加以讨论.图6如图6-2-3所示，船过河时，船的实际运动（即相对于河岸的运动）可以看成是随水以速度v1漂流的运动和以v2相对于静水的划行运动的合运动.（1）船头横渡（船头指向与河岸垂直）过河时间最短如图6-2-4所示，船的实际速度即合速度：v=合位移：s=图6此时小船不能到达正对岸的B点，而是运动到B下游的C点.由于划行速度v2是个定值，只要船相对静水的这个分运动的位移s2最短（此时即s2=d），船过河时间则最短.最短时间为：tmin=.切记：由于此时合速度方向并不垂直于河岸，故实际位移s不是最短，必定有s＞d.（2）船头偏向上游一定角度时，船通过的实际位移最短.①当小船划行速度为v2＞v1时，若要使小船到达正对岸，即以最小位移渡河，应使合运动的速度方向垂直河岸，此时应使船头偏向上游一定角度θ划行如图6-2-4所示，才有可能使合运动速度v垂直河岸，使得实际位移（合位移）最小，此时最小合位移最小为河宽d，即s=d.由图6-2-4可知船头偏向上游一定角度θ必须满足cosθ=v1/v2切记，此时合速度v=v2sinθ＜v2，所以过河时间t不是最短，为t=d/v=d/v2sinθ＞tmin.②当小船划行速度为v2＜v1时，无论小船的航向如何，合速度均不可能垂直于河岸，小船不可能到达正对岸B点，无论如何均会冲向下游.分析发现，当v2⊥v时，v与v1的夹角θ最大，此时小船渡河的位移最短，如图6-2-5所示.图6此时，sinθ=v2/v1，位移为最短：s=d/sinθ.问题2试探究运动的独立性.探究:能明确实验探究目的，理解实验原理，设计实验方案，选择实验方法，控制实验条件，会使用实验仪器，会观察、分析实验现象，会记录、处理实验数据并得出结论是必要的实验技能.使AC=BD，即是控制实验条件，确保两者水平速度相同，从而保证探究方向：竖直运动速度的改变是否给予水平速度以影响，即分运动间是否是独立的.由“多次改变轨道M高度，进而改变竖直方向分运动速度，却没有影响两者的始终相遇”这一现象，分析归纳出“各个分运动的均按各自规律运动，彼此不影响”这一结论是关键.在图6-2-6所示的装置中，两个相同的弧形轨道M、N，分别用于发射小铁球P、Q；两轨道上端分别装有电磁铁C、D，调节电磁铁C、D的高度，使AC=BD，从而保证小铁球P、Q在轨道出口处的水平初速度v0相等.图6将小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，然后切断电源，使两小铁球能以相同的初速度v0同时分别从轨道M、N的下端射出，实验结果是两小球同时到达E处，发生碰撞.增加或者减小轨道M的高度，只改变小铁球P到达桌面时速度的竖直方向分量的大小，再进行实验，结果两小铁球总是发生碰撞.结果表明：改变轨道M高度只能改变小球P竖直方向的下落速度，但并不改变小球P沿水平方向（分运动）的速度分量大小.对于小球P来说，其水平方向与竖直方向的分运动之间是互不相干的，即各个分运动均按各自规律运动，彼此不影响，即运动的独立性.可见，小球P的运动与其水平与竖直方向的两分运动同时发生，同时结束，经历的时间相等，即运动的等时性.上述实验还可以看出，各分运动叠加起来的效果与合运动相同.典题·热题例1关于运动的合成与分解有以下说法，其中正确的是（）A.两个直线运动的合位移一定比分位移大B.运动的合成与分解都遵循平行四边形定则C.两个分运动总是同时进行的D.某个分运动的规律不会因另一个分运动而改变解析：位移的合成遵循平行四边形定则，平行四边形对角线不一定比邻边长，故对应合位移不一定比分位移大，故A选项错.运动的合成与分解，其实质是对应物理量（位移、速度、加速度矢量）的合成与分解，遵循矢量运算法则——平行四边形定则，故B选项正确.两个分运动与合运动同时发生，同时结束，彼此间具有等时性，故C选项正确.且分运动间彼此独立，互不干扰，具有独立性，故D选项正确.答案：BCD例2两个互成角度为θ(0°＜θ＜180°)的初速度不为零的匀加速直线运动，其合运动可能是（）A.匀变速曲线运动B.匀变速直线运动C.非匀变速曲线运动D.匀速直线运动图6解析：两个运动的初速度合成、加速度的合成如图6-2-7所示，由于两分运动的初速度不为零，加速度都恒定，由平行四边形定则求得其合初速度v不为零，合加速度a恒定，故合运动一定是匀变速运动，且当v与a方向在同一直线上时，做直线运动；当v与a方向不在同一直线上时，做曲线运动.答案：AB方法归纳判断物体是否做曲线运动，主要是判断合速度和合加速度是否在同一直线上，所以首先要判断出合加速度和合初速度方向.判断合运动的性质，主要是判断合加速度是否恒定，恒定则做匀变速运动，否则做非匀变速运动.例3某人骑自行车以10m/s的速度在大风中向东行驶，他感到风正以相当于车的速度从北方吹来，实际上风的速度是（）A.10m/s，方向为正北B.10m/s，方向为正南C.14m/s，方向为南偏西45°D.14m/s，方向为东偏南45°图6解析：同一运动，选择不同的参考系，结果是不同的.空气的运动形成风,空气相对于车是由北向南运动，速度为v1=10m/s.车相对于大地是向东行驶，速度为v2=10m/s.取研究对象为空气,空气对地的速度即风速为合速度v，则车对地的速度v2和风对车的速度v1为两个分运动的速度，如图6-2-8所示.v=m/s≈14m/s方向为东偏南45°，所以本题选D.答案：D方法归纳此类问题一般都有两种解法.一是用运动的合成与分解求解,关键是要确定合速度,然后将合速度作为平行四边形的对角线;二是用相对运动关系的一般规律来求解,则要分清速度是谁相对于谁的速度,同时要注意关系式中的相对顺序不能乱,并且不能简单相加.例4如图6-2-9中，人用绳通过定滑轮拉物体A，当人以速度v0匀速前进时，求物体A的速度.图6解析：首先要分析物体A的运动与人拉绳的运动之间有什么样的关系.依据运动的分解与合成知识加以求解.物体A的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成:一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度即等于v0;二是垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值.这样就可将va按图示方向进行分解，从而依据v1等于v0，才能找出vA与v0的关系，很容易求得物体A的速度vA=.当物体A向左移动时，θ将逐渐变大，vA逐渐变大，虽然人做匀速运动，但物体A仍在做变速运动.方法归纳在进行速度分解时，除去遵循平行四边形定则外，还应该依据物体运动的实际效果来进行分解.图6-2-9中合速度就是物体实际运动的速度va，是平行四边形的对角线.物体的实际运动效果一个是沿绳方向的收缩，另一个是垂直于绳的绕轮转动，因此速度va应该按实际运动效果沿绳方向与垂直绳方向分解为v1与v2从而使速度的分解具有唯一解.在上述问题中，若不对物体A的实际运动效果加以认真分析，往往把v1沿水平与竖直方向分解，错把合速度va当作v1的分速度，就很容易得出vA=v0cosθ的错误结果.例5河宽d=100m，水流速度v1=3m/s，船在静水中的速度是v2=4m/s，求：（1）欲使船渡河时间最短，船应该怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移是多大？（2）欲使船航行的距离最短，船应怎样渡河？渡河时间多少？解析：“渡河问题”是运动的合成与分解的典型问题，解答此类问题时应首先正确画出合运动与分运动的矢量三角形（或平行四边形）将合运动与分运动的空间关系直观形象地展示出来，然后根据题目条件，利用几何关系求解.图6（1）该船与岸成θ角向对岸行驶，如图6-2-10所示，则当船行至对岸时：s2=;t=显然，当sinθ=1时，t最小，即船应沿垂直于河岸的方向渡河，如图6-2-11所示，所用时间最短为tmin==25s图6-2-船经过的位移大小s=vt=·t=5×2