人教A弧度制内容分析素材

弧度制内容分析郑州王爱民周友良弧度制弧度制弧度与角度的换算方法简单应用关于弧度制的重点、难点分析重点是理解弧度的意义，能正确地进行角度制与弧度制的换算；难点是弧度制的概念与角度的关系。（1）要弄清1弧度的意义。弧度制与角度制一样，只是度量角的一种方法，但由于学生有先入为主的想法，所以学起来有一定的困难，首先必须清楚1弧度的概念，它与所在圆的半径大小无关。其次弧度制与角度制相比有一定的优点，一是在进位上角度制在度、分、秒上是60进制，而弧度制却是十进制，其二在弧长和扇形的面积的表示上弧度制也比角度制简单：（2）两种制度的转换。利用它们的意义在弧度制下圆周角为rad，而角度制下圆周角为，所以rad＝，进而得到radrad.1rad主要知识精析（1）复习角度制我们在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来度量角，的角是如何定义的？规定把周角的作为1度的角．我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？（2）弧度制定义我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，如图1，弧的长等于半径，所对的圆心角就是1弧度的角，弧度制的单位符号是，读作弧度．图1的弧度数的弧度数提问：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？若弧是一个整圆呢？因为半圆的弧长，其圆心角的弧度数是，同理，若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是．在到的角的弧度数必然适合不等式，角的概念推广后，弧的概念也随之推广，任一正角的弧度数都是一个正数．如果圆心角表示一个负角，且它以所对的弧长，则这个圆心角的弧度数是，由此我们给出弧度制的定义：一般地，可以得到：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角的弧度数的绝对值，其中是以角作为圆心角时所对的弧长，是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．提问：为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢？如图2，设为的角，圆弧和的长分别为和，点和到点的距离（即圆半径）分别为和，由初中学过的弧长公式可得：，，于是．上式表明，以角为圆心角所对的弧长与其半径的比值，由的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角的大小有关．因，可以得到，那弧长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积，这个公式比采用角度制时相应公式要简单．（3）角度制与弧度制的换算用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算．我们已经知识若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是，而在角度制里它是，因此，两边除以2．得等式两边同除180得同理，把弧度换成角度．对“弧度制”的进一步理解1．从初中的“角度制”到高中的“弧度制”，从初中单一用“角度制”来度量角的大小，到高中既用“角度制”又用“弧度制”，二者并用度量角的大小，这无疑对学生的认知结构来说是一次调整。本节教学中，为了使这种“调整”形成良好的雏形，教师应在作好知识的“同化”和“顺应”上下功夫，使学生自然流畅地接受新的“弧度制”，又深刻理解“角度制”与“弧度制”的区别与联系，以及“弧度制”对比“角度制”的优劣，防止学生习惯使用“角度制”思维定势的产生，不习惯使用“弧度制”来记量角的大小。2．“弧度制”顾名思义，是用弧的长度来度量角的大小（角度制实际上就是用角的大小来度量角的大小的），既然是用弧的长度来度量角的大小，那么1弧度又如何定义呢？这就是阐明弧度制的关键。3．为了阐述清楚弧度制的有关概念，首先有必要复习一下初中的“角度制”的有关知识。这样把角度制作为“参照系”，然后利用对比法认识弧度制，教学效果就比较好。人们把周角的看作1度，这样用l度为单位来度量角的大小的制度，就叫角度制。1度的大小不因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量。4．1弧度的大小是等于圆半径长的弧所对的圆心角的大小，即为1弧度，它是以弧度制度量角的大小的单位弧度，所以随着圆弧的长短，其与圆半径之比，即成为该圆弧所对圆心角的弧度数，其值也不因为圆的大小而改变，弧度数也是一个与圆的半径无关的量。5．为了更深刻地理解有关弧度问题，还可以从“数”和“形”两方面看：①从“形”上看，可以用两个半径大小不同的圆，而各取等于半径之长的弧，观看它们所对的圆心角的大小，其结果是，它们所对的圆心角的大小相等，而且都是1弧度的角。再用等于各自圆的半径的2倍长的弧，来观察它们所对圆心角的大小，其结果发现，它们所对的圆心角都是2弧度，如此类推，以长为2πr（圆周长）的弧所对的圆心角为2πr弧度（周角）。②从“数”上看，初中所学的弧长公式为，其中r为圆的半径。设式中为定数α，有公式l=αr，即，而当l=2πr（圆周长）时，（周角）与弧度定义相符，与实际相吻合。6.随着角的概念的推广，圆心角也因为按逆、顺时针方向的