2021年上海八年级数学期中测试专题-大题好拿分期中考前必做30题（压轴版）教师版

大题好拿分期中考前必做30题（压轴版）

一、解答题

1.（2020•上海同济大学附属实验中学八年级月考）在平面直角坐标系xOy中，点A（0,3）,

点B（m,0）,以AB为腰作等腰R/0ABC,如图所示.

（1）若SABC的值为5平方单位，求m的值；

（2）记BC交y轴于点D,CE，y轴于点E,当y轴平分/BAC时，求一的值

CE

（3）连接0C,当OC+AC最小时，求点C的坐标.

【答案】⑴加=一1：（2）2:（3）C（2,-l）.

【分析】（1）由SAB=3C求解AB的长，利用勾股定理列方程求解,

结合8的位置，即可得到答案；

（2）过C作CHJLO8于”，证明［lABOMBCH,求解CE=3+m,山等面积法得

4。=生±2,作ZBGO=45°,G在A。上，利用勾股定理可得机2=6,〃+9,从而可得答案;

3

（3）由（2）同理可得：C（3+m,m）,证明。在y=x-3上，设直线y=x—3与轴分

别交于Q,N,过。作OM1QN于K,使KO=KM,连接AM交QV于C,则此时

OC+AC最小，利用等腰三角形的性质与中点坐标公式得M的坐标，求解AM的解析式，

再求直线y=x-3与AM的交点坐标即可.

【详解】解：（D-.-SABC^5,ZABC=90°,AB=BC,

：.^ABrBC=5,/.AB2=10,.-.AB=Vw（负根舍去），

又052+0142=7452,4（0,3）,8（〃7,0）,「.9+m2=10,.\祖2=1,：.能=±1,

•.♦8在％轴的负半轴上，.•./«=—1.

(2)过C1作CH_LQ8于H,，NC”3=N3QA=90。，

ZABO+NCBH=ZCBH+NBCH=90°,:.ZABO=ZBCH,

vAB=BC,.DABO^JBCH,

A(0,3),8(〃?,0),/.AO=BH=3,BO=CH=-m,

：.HO-BH-OB-3-(-/n)-3+m,:.CE=3+m,:.C{3+m,m),

由勾股定理得：AB2=m2+9=BC2,

・S3k一1

••04BC-2A。-25

i/3

§Asc=SABD+SACD=/AD^OB+CE)=—AD,

AD=--------,

3

作N3GO=45。，G在AO上,

：.OB=OG=—m,

•・•Afi=BC,ZABC=90°,

・•.ZBAC=45°,

•・・y轴平分NBAC,

・•.ZBAG=22.5°=ZGBA,

GB=GA=3+m,

由勾股定理得：(3+m)2=(-m)2+(-/?7)2,

nr=6m+9,

m2+9

AD_3_m2+9_6m+18_6(m+3)_

CE3+m3(3+m)3(3+加)3(3+

（3）由（2）同理可得：C（m+3,m）,

/.x=m+3,y=m,

y=x-3,

.♦.c在直线y=x—3t,

设直线y=x-3与羽y轴分别交于Q,N,

则Q（3,0）,N（0,3）,

OQ-ON-3,

过。作OMLQN于K,使KO=KM,连接AM交。N于C,

则此时OC+AC最小,

，K为。N的中点,

3_3

/.K

2，-2

-KO=KM,

设4/为丁=丘+b，

'3k+b=-3

b=3

k=-2

解得：〈

b=3

:.AM^jy=-2x+3,

y=-2x+3

y=x-3

x-2

解得：〈

即当OC+AC最小时，C（2,-l）.

y

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，三角形全等的判定与性质，三角形角平分线的性质,

等腰三角形的判定与性质，分式的约分，利用平方根的含义解一元:次方程，轴对称的性质,

求解一次函数的解析式及交点坐标，掌握以上知识是解题的关键.

2.（2018•上海金山区•八年级期中）如图，平面直角坐标系中，直线》=履+8经过点4（2,0）、

点8是第一象限的点且AB=逐，过点5作5C_Ly轴，垂足为C,CB=1.

（1）求直线了=履+匕的解析式和点B的坐标；

（2）试说明：AD1BO-,

（3）若点M是直线AQ上的一个动点，在了轴上存在另一个点N,且以。、B、M、N为

顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标.

【答案】（1）y=—；x+l,B（l,2）；（2）详见解析；（3）2（3,0）,M（-3,0）,华（7,0）

【分析】（1）将A、B坐标代入可得直线解析式，设B（1,m）,由=«得l+m'5,解之

可得答案；

（2）利用边角边证明AAOD与AOCB全等，从而得到/OAD=/COB,根据/C0B+/A0B=90°可

得N0AD+NA0B=90。，从而得到/AEO=90。，得证；

（3）根据平行四边形的对边平行且相等可得BM〃AN且BM=AN,令y=2求出点M的坐标，从而得

到BM的长度，再分点N在点0的左边与右边、点N关于认的对称点三种情况讨论求出点N的坐标.

【详解】

解:（1）把A（2,0）,0（0,1）代入y=fcv+%

k=-L

2k+b=G

得《解得2

b=l

b=\

，解析,式为y=-]X+i

VBC=1,BC_Ly轴

设8(1,/〃)

,:AB=yfi，A(2,0)

1+m2=5,m=+2(负值舍去)

.♦.3(1,2)；

(2)VA0=2,DO=\,BC=1,0C=2

：.OA=OC*BC=OD

,：NBCO=ZAOD=90。

：,AAOD^AOCB(SAS)

.../COB=ZOAD

•：ZC0B+ZB0A=9Q°

ZQ4JD+ZB(24=90°

/.ZAE0=90°,

AOVBOx

(3)•.•点N在x轴上，0、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形,

，BM〃x轴，且BM=0N,

根据(1),点B的坐标为(1,2),

----x+l=2,

2

解得x=-2,

・••点M的坐标为(-2,2),

ABM=1-(-2)=1+2=3,

①点N在点0的左边时，0N=BM=3,

.•.点N的坐标为(-3,0),

②点N在点0的右边时，0N=BM=3,

...点N的坐标为(3,0),

③作N(-3,0)关于A对称的点N',则N'也符合，

点N'的坐标是(7,0),

综上所述，点N的坐标为(-3,0)或(3,0)或(7,0).

【点睛】本题是对一次函数的综合考查，主要有坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性

质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，解题的关键是仔细分析题目，理清数量关系.

3.(2019•上海嘉定区♦上外附中八年级月考)如图，已知一次函数y=kx+3的图形经过点A(1,

m),与x轴、y轴分别相交于B、C两点，且NAB0=45°,设点D的坐标为(3,0)

(1)求m的值；

(2)联结CD、AD,求4ACD的面积；

3

【答案】(1)m=4；(2)SA。=3；(3)点E的坐标为(§,0)或(6,0).

【分析】(1)求出点B坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式即可解决问题；

(2)根据SMo=SABD-SBO进行计算即可；

(3)分点E在点D左侧和点E在点D右侧两种情况，分别求出直线CEi和直线C民的解析式即可得

到对应的点E的坐标.

【详解】解：(1)•••一次函数y=kx+3的图象与x轴、y轴分别相交于B、C两点，ZAB0=45°,

.*.OB=OC=3,

AB(-3,0),

将B(-3,0)代入y=kx+3得：0=-3k+3,

解得：k=l,

...直线BC的解析式为：y=x+3,

当x=l时，y=x+3=4,

.*.m=4；

(2)VB(-3,0),C(0,3),D(3,0),A(1,4),

ABD=6,

***SACD=^ABD-SBCD4-g创63=3;

(3)如图所示，当点E在点D左侧时，

VZADC=ZEiCD,

・・・AD〃CE”

设直线AD的解析式为：y=hx+b(kWO),

4=k.+bk]=—2

代入A(1,4),D(3,0)得：《0W解得：

b=6

・•・直线AD的解析式为：＞=—2x+6,

故设直线CEi的解析式为：y=-2x+c,

代入C(0,3)得：c=3，

・・・直线CE1的解析式为：y=-2x+3,

3

当y=0时，解得:x=-,

3

.*•Ei(—,0)；

2

当点E在点D右侧时，AD与C&交于点F,

・.,ZADC=ZE2CD,

・・・FC=FD,

V0B=0D=3,ZAB0=45°,

・・・NCDB=45°,

AZACD=45°+45°=90°,即NACF+NFCD=90°,

VZCAF+ZFDC=90°,

AZACF=ZCAF,

AFC=FA,

・・・F为线段AD的中点,

.♦.点F的坐标为(2,2),

设直线CEz的解析式为：y=k2x+3,

代入F(2,2)得：2=2%+3,解得：

直线CE?的解析式为：y=-；x+3,

当y=0时，解得：x=6,

.\E2(6,0),

【点睛】本题是一次函数与几何综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象

和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积计算以及等腰三角形的判定和性质等知识，熟

练掌握待定系数法，灵活运用数形结合的思想是解答本题的关键.

4.(2019•上海市闵行区明星学校八年级月考)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4交y

轴于点A,与直线BC相交于点B(-2,m),直线BC与y轴交于点C(0,-2),与x轴交于点D.

(1)求点B坐标；

(2)求aABC的面积

(3)过点A作BC的平行线交x轴于点E,求点E的坐标；

(4)在(3)的条件下，点p是直线AB上一动点且在x轴上方，Q为直角坐标平面内一点，如果

以点D、E、P、Q为顶点的平行四边形的面积等于AABC面积请求出点P的坐标.并直接写出点Q

的坐标.

【答案】(1)B(-2,2)；(2)6；(3)E(2,0)；(4)点P的坐标为：(-2,2)；点

Q坐标为：Qi(1，2),Q2(T,2),Q：i(3,-2).

【分析】(1)将B(—2,m)代入y=x+4求出m即可；

(2)求出点A坐标，然后根据三角形面积公式计算即可；

(3)求出直线BC的解析式，进而得到直线AE的k值，代入A点坐标求出直线AE的解析式即可解

决问题；

(4)根据平行四边形的面积等于AABC面积可求出P点坐标，然后分点Q在x轴上方和点Q在x轴

下方两种情况，分别根据平行四边形的性质求出点Q坐标即可.

【详解】解：(1)将B(-2,m)代入y=x+4得：m=-2+4=2,/.B(-2,2)；

(2)•.•直线y=x+4交y轴于点A,，A(0,4),

XVB(-2,2),C(0,-2),.,△ABC的面积=g?(42)?26；

(3)设直线BC的解析式为：y=kx+b,

-2k+b=2rk=-2

代入B(—2,2),C(0,-2)得：<,解得：,

b=-2b=—2，

直线BC的解析式为：y=-2x-2,

•.•直线AE与直线BC平行，设直线AE的解析式为：y=-2x+c,

代入A(0,4)得：c=4,.•.直线AE的解析式为：y=-2x+4,

当y=0时，即一2x+4=0,解得：x=2,AE(2,0)；

(4)在y=-2x—2中，当y=0,即一2%—2=0时，解得：x=-l.AD(-1,0),

又：点P是直线AB上一动点且在x轴上方，E(2,0),...设P(x,x+4),

由题意得:(1+2)?(X4)=6,解得:x=-2,/.P(-2,2),

二当点Q在x轴上方时,则PQ〃DE,且PQ=DE,此时点O(1,2),Q?(-5,2)；

当点Q在x轴下方时，设Q点坐标为(m,n),

2i2n+2

由题意得：^―=-——，——=0,解得：m=3,n=-2,则/(3,-2)；

222

综上所述：点P的坐标为：(-2,2)；点Q坐标为：Q.(1,2),Q,(-5,2),Q.,(3,-2).

【点睛】本题是一次函数与几何综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上

点的坐标特征，三角形面积计算，一次函数的图象和性质以及平行四边形的性质等知识，熟

练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题关键.

5.（2020•上海市位育实验学校八年级月考）如图，直线6的解析式为y=-3x+3,且人与

x轴交于点D,直线，2经过点A,B,两条直线交于点C,在直线A上存在一点P，使得4ADP的面

积是AADC面积的2倍，那么点P的坐标为

【答案】（8,6）或（0,-6）

【分析】已知L的解析式，令y=0求出D点坐标，设L的解析式为y=kx+b,由图联立方程组

求出k,b的值，联立方程组，求出交点C的坐标，继而可求出SAAK,ZXADP与aADC底边都是AD,

根据4ADP的面积是△ADC面积的2倍，可得点P的坐标.

【详解】由y=-3x+3,令y=0,得-3x+3=0,.,.x=l,.,.D（1,0）；

设直线L的解析表达式为丫=1«+氏

3

由图象知：x=4,y=0；x=3,y=,代入表达式y=kx+b,

2

'4k+b=0f,_3

...上，，，3受2，，直线k的解析表达式为y=-x-6；

123*

3+=-万[/y=-6

严-3》+3.2

由｛3，解得＜-"（2,-3）,VAD=3,

[y=2x~6〔尸一3

19

SAAOC—~X3X—3——,

22

•/Z\ADP与aADC底边都是AD,ZXADP的面积是AADC面积的2倍，

Z\ADC高就是点C到直线AD的距离的2倍，

即C纵坐标的绝对值=6,贝!IP到AD距离=6,...点P纵坐标是±6,

33

,.*y=—x-6,y=6,，-x-6=6,解得x=8,/.Pi（8,6）.

22

33

,.,y=1x-6,y=-6,/.yx-6=-6,解得x=0,.,.P2(0,-6)

综上所述，P,(8,6)或Pz(0,-6).故填：(8,6)或(0,-6).

【点睛】本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐

标得出解析式是解题关键.

6.(2019•上海市民办上宝中学八年级月考)如图，在平面直角坐标系中，直线1经过点

Q

A(2,-3),与x轴交于点B,且与直线y=3x-§平行.

(1)求直线1的函数解析式及点B的坐标；

Q

(2)如直线1上有一点M(a,-6),过点M作x轴的垂线，交直线y=3x-§于点N,在线段MN

上求一点P,使APAB是直角三角形，请求出点P的坐标.

【答案】(1)直线1的解析式为y=3xT,B点坐标为(3,0)；(2)P2(l,-2),P3(l,

3

3

Q

【分析】(1)设直线1的解析式为：y=kx+b,因为直线1与直线y=3x-§平行，所以k=3,又直

线1经过点A(2,-3),从而求出b的值，即可求出直线1的函数解析式及点B的坐标；

(2)点M(a,-6)在直线1上，所以可先求出a的值，设点P(l,y),求出y的取值范围，再分

情况讨论：当AB为斜边时，当PB为斜边时，当PA为斜边时，利用勾股定理建立方程求解即可.

Q

【详解】解：(1)设直线1的解析式为y=kx+b(k#0),•.•直线1平行于y=3x-],...k=3,

•••直线1经过点人(2,-3),，-3=3*2+氏上)=-9,，直线1的解析式为丫=3乂-9,

当y=0时，x=3,...点B坐标为(3,0)；

(2)：点\[(4-6)在直线1上，.,.3a-9=-6.\a=l,则可设点P(l,y),

Q811I

当x=l时，3x--3x1—二一，N(1,—),，丫的取值范围是-6<y<一,

33333

VP(l,y),A(2,-3),B(3,0)APA2=(2-1)2+(j+3)2=y2+6y+10,

PB2=(3-l)2+/=y2+4,AB2=(3-2)2+32=1()

当AB为斜边时,PA2+PB2=AB-,即V+6y+10+/+4=10,

整理得y2+3y+2=0,解得y尸T,y『2,P«,-2),

QO

当PB为斜边时,PAZ+AB'PB)/+6^+10+10=r+4.解得y=—§，,

2

222

当PA为斜边时，PB+AB=PA；即V+4+io=y+6y+10,解得,

12

•・・-6WyW§,故y二1不符合题意，舍去.

Q

...综上所述，点P的坐标为R(1,T),2(1,-2),P3(l,

【点睛】本题考查了求•次函数解析式和直线与坐标轴的交点，以及一次函数图像中直角三

角形的存在性问题，熟练掌握待定系数法解函数解析式，分类讨论，利用勾股定理建立方程

求解是解题的关键.

7.(2019•上海市民办新和中学八年级月考)如图，已知直线/：y=-走龙+6交x轴于点

3

A，丁轴于点8,将AAQ8沿直线/翻折，点。的对应点C恰好落在双曲线y=±(%>0)上.

X

(2)将AABC绕AC的中点旋转18()。得到APC4,请判断点P是否在双曲线y=人上，并说

X

明理由.

【答案】(1)座(2)点P在双曲线上，理由见解析

4

【分析】(1)由△AOBgAACB求得C点坐标，代入双曲线即可求得k值

(2)由B点找出关于AC中点的对称点即P点,得出P点坐标,判断是否在双曲线上

【详解】(1)由△AOB0AACB,BC=OB,AC=AO,则令y=0,x=3;x=0,y=,

3

222X——

(3-x)+y=32

即A(3,0)B(0,6)设C(x,y){,解得r-

后=(后

X+(y-3V3

1y=2—

代入双曲线k二xy二为叵；

4

3

（2）设AC中点为D,则D点坐标D为：3+29013G

X=-=—,y=--------=-----

24”24

X92

-X=

2--2

4

即,再设P点坐标（x,y）-y+3避

73=y=

22

把坐标代入双曲线y=2叵等式成立,故点P在双曲线上.

4x

【点睛】此题考查一次函数综合题，解题关键在于利用旋转的性质得到三角形全等

8.（2018•上海虹口区•八年级期末）如图，一次函数y=2户4的图象与X、辨由分别相交于

点4、B,四边形48切是正方形.

（1）求点4、B、〃的坐标；

（2）求直线切的表达式.

【答案】（1）4（-2,0）,点8（0,4）,〃（2,-2）；（2）y=-3x+4.

【分析】（1）由于一次函数y=2x+4的图象与x、y轴分别相交于点A、B,所以利用函数解析式即

可求出AB两点的坐标,然后过D作DHLx轴于H点，由四边形ABCD是正方形可以得到NBAD=N

A0B=ZAHD=90°,AB=AD,接着证明aABO四△DAH,最后利用全等三角形的性质可以得到

DH=A0=2,AH=B0=4,从而求出点D的坐标；

（2）利用待定系数法即可求解

【详解】解：（1）•.,当y=0时，2户4=0,x=-2..,.点力（-2,0）.

•.,当x=0时，y=4....点6（0,4）.

过"乍以/_!/由于〃点，•.•四边形切是正方形，

:.NBAgNA04NAHIS,AB=AD.:.NBA》NABgNBA》NDAH,

：.AABO=ADAH.：.^ABO^/\DAH.:.DH=Ag2,AH=B0=4,

：.OH=AH-A0=2.点〃（2,-2）.

（2）设直线加的表达式为y=26..•」+：'=，解得

\D=4

【点睛】此题考查一次函数综合题，利用全等三角形的性质是解题关键

9.（2018•上海浦东新区•八年级期中）已知等边UABC的边长为2,现将等边DABC放置在

平面直角坐标系中，点B和原点重合，点C在x轴正方向上，直线交x轴于点D,交y轴于点E,且

»£，8人（如图1）,现将等边DABC从图1的位置沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动，

边AB、AC分别与线段DE交于点G、H（如图2）,同时点P从DABC的顶点B出发，以每秒2个单位长

度的速度沿折线BA-AC运动•当点P运动到C时即停止活动，DABC也随之停止移动，设DABC

平移的时间为t（s）.

（1）试求直线DE的解析式；

（2）当点P在线段AC上运动时，设点P与点H的距离为y,求y与t的函数关系式，并写出定义域；

（3）当点P在线段AB上运动时，匚PGH中恰好有一个角的度数为30。，请直接写出t的值，不必写过

【答案】（l）y=-乎x+竽⑵y=2-t（l〈tW2）（3）当运动时间t为;秒或，秒或1秒时,

DPGH中恰好有一个角的度数为30。

【分析1（1）根据等边二角形的性质结合DELBA，可得出NAOE=/ADO=30。，结合AB

的长度可得出0E、0D的长度，进而可得出点D、E的坐标，利用待定系数法即可求出直线DE的

解析式；

（2）根据点P、C的运动速度可得出PA、CD的值，由—ACB=60°、NODE=30°可得出

/CHD=NODE=30。，进而可得出CH的长，再根据PH=2—CH—PA即可找出y与t的函数

关系式；

（3）分点P、A重合及点P、A不重合两种情况考虑：①当点P、A重合时，即PA=0时，符合题

意，由PA=0可求出t值；②当点P、A不重合时，分/HPG=30°和/PHG=30°两种情况

考虑，通过解直角三角形即可求出t值•综上即可得出结论.

【详解】

解：⑴•••口ABC为等边三角形，

NABC=60°.

•.♦DE_LBA，

NAOE=—ADO=30°，

OE=—OA=—.OD=2AB=4,

33

..•点D的坐标为（4,0）,点E的坐标为（o,竽）

设直线DE的解析式为y=kx+b（kw0）,

将D（4,0）、E（0，¥）

代入y=kx+b,得:

4k+b=0K=---

3

,4A/3,解得：，

h=--卜4百’

3b=--

3

・・・直线DE的解析式为y=-旦+递.

33

（2）如图3,PA=2t-2,CD=2-t.

•.•/ACB=60。，NODE=30。，

.♦.NCHD=NODE=30。，

.♦.CH=CD=2—t,

.•.PH=2-CH-PA=2-（2-t）-（2t-2）=2-t.

•.•点P在AC上，

1<t<2,

/.y=2-t（l<t<2）.

（3）如图2,PA=2-2t,CH=CD=2-t.AH=AC-CH=t.

•.•/A=60°，AB±DE,

.•.NAHG=30。.

①当点P、A重合时，即PA=0时，符合题意，

此时t=l；

②当点P、A不重合时，AG=-AH=lt,GH=^AH=3t，PG=PA-AG=2--t.

22222

53

若/HPG=30°,则PG=6GH，即2—不t=：t,

22

解得：t=q；

2

若NPHG=30。，则GH=6PG，即争=可2—｝）,

2

解得：t=§.

12

综上所述：当运动时间t为5秒或］秒或1秒时，「PGH中恰好有一个角的度数为30°.

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、解直角三角形、等边三角形的性质以及

三角形外角的性质，解题的关键是：(1)通过解含30度角的直角三角形找出点I)、E的坐标：(2)

根据点P、C的运动速度用含t的代数式表示出PA、CH的长；(3)分点P、A重合及点P、A不重合

两种情况考虑.

10.(2018•上海八年级期中)如图，直线，的解析表达式为：尸-3x+3,且，，与姗11交于点

直线心经过点4B,直线九，A交于点C根据图中信息：

(1)求直线A的解析表达式；

(2)求比的面积；

(3)在直线人上存在异于点C的另一点只使得△?!如与△4比的面积相等，求出点/的坐标；

(4)若点/的坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点//,使以/、D、a/为顶点的

四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点糊坐标；若不存在，请说明理由.

39

【答案】(1)y=-x-6；(2)-；(3)(6,3)(4)”(-1,-3),“(3,3),"(5,-3).

22

试题分析：(1)设直线右的解析式为麦为什A把4与阴勺坐标代入求出＞1与。的值，即可确定出心的

解析式；

(2)由/与姓标求出4诚长，C纵坐标的绝对值为高，求出口4。。面积即可；

(3)根据直线区上存在异于点C的另一点尸，使得△ADP与口4£＞。的面积相等，得到砌坐标等于

，纵坐标的绝对值，将颂坐标绝对值代入心的解析式求出横坐标，确定出座标即可；

(4)在坐标平面内存在这样的点:〃，使以A、D、C、”为顶点的四边形是平行四边形，如图所

示，分别求出/座标即可.

试题解析：(D设直线人的解析式为广人+6，

(4Z+b=0

把A(4,0),5(3,—万)代入得T3%+匕=

［女+

3

解得：k——,h——6,

2

则直线A的解析式为y=gx-6；

(2)对于直线11：/=-3户3,令片0,得到尸1,即〃(L0)，

y=-3x+3

联立得：13，

y=—x-6,

I2

[x=2

解得：1，即C(2,-3),

U=-3

•.3(4,0),以2,-3),2(1,0),

氏3,C纵坐标的绝对值为3,

19

则S血=一x3x3=—；

ADC22

(3)由题意得到豳坐标为3,

3

把尸3代入/二的解析式为、=3%-6；得：产6,

则点用J坐标为(6,3)；

(4)存在，如图所示：

当四边形ACHQ为平行四边形时，可得CH=AD=3,此时H,(-1,-3)；

当四边形ACO"？为平行四边形时，过H?作“zELx釉，过酢馒琏由，

「△仔屋△"£4,

.•.以反华3,AE=DF^\,此时"(3,3)；

当四边形ADCH,为平行四边形时，可得C〃3=A。=3,此时“3(5，—3)；

综上，目的坐标为(5,-3)或(-1,-3)或(3,3).

11.(2017•上海八年级专题练习)如图,AAOB为正三角形，点B的坐标为⑵0),过点C(—2,0)

作直线1交A0于D,交AB于E,且使4ADE和△DCO的面积相等.求直线1的解析式.

【答案】所以直线1的解析式为y=曰3+2）.

试题分析:根据SAW>=SAM）E可知SAWO+S四边,POBE=SA*DE+SBI边颍a*,从而得到SAI«=SAM（,根据△AOB为正二

角形求出三角形的高，从而求出A点坐标，根据待定系数法求出AB的解析式，根据%耻=5-求出

A点纵坐标，代入直线AB,可得E点横坐标，再利用待定系数法求出CD的解析式.

试题解析：由4ADE和△DCO的面积相等，

可知AAOB和aCBE的面积相等，

而△AOB的面积为J5.

设点E的坐标为（%,%）,则ACBE的面积为2yo.

由2%=百,得为=乎.

又由直线AB的解析式为y=—G（x—2）,

而E在AB上，则为=-\/5（占一2）,

有七=2得E的坐标为（。,立）.

222

又因为点C的坐标为（-2,0）,

所以直线1的解析式为y=^（x+2）.

12.（2017•上海八年级专题练习）如图，直线y=-正x+1与x轴、丁轴分别交于点A、B,

3

以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,且NBAC=90°.如果在第二象限内有一点P（。,；）

且AABP的面积与Rt^ABC的面积相等,求a的值.

【答案】a=1二^

2

试题分析：由已知求出A、B的坐标，求出三角形ABC的面积，再利用S&,产SA施建立含a的方程，把S

AMP表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差，通过解方程求得答案.

试题解析：由已知可得A（G,O）、B（0,1）,OA=V3,OB=1.

故AB=JOA2+OB2=2.

因此,SAABC~-X2X2=2.

2

连接PO,则S/iABpuSz^Bo+SzUBO-S^APO

=—xlXL/|4--Xlx>/3--x>/3x—=--.

211222224

又SAAHP=S△*］（：,

2

2

13.（2017・上海八年级专题练习）如图，已知两直线y=—§x+3和y=2x-l,求它们与y轴

所围成的三角形的面积.

2

【答案】两直线y=——x+3和y=2x—1与y轴所围成的△ABC的面积为3.

3

试题分析：由图象可知道A,B的坐标，由两条直线的解析式可得出交点的坐标，有了A,B,C三点

的坐标，就能求出三角形ABC的面积.

试题解析：设直线y=-2x+3与y轴的交点是A,直线y=2x-l与y轴的交点是B,两直线的交点是

3

C.

2

在y=——x+3中，令x=0,得y=3,即点A的坐标为（0,3）；

3

在y=2x—1中，令x=0,得y=-1,即点B的坐标为（0,—1）；

2a3

y=——x+3,x=—,

由J3解得J2

[y=2x-ly=2.

3

所以两直线的交点坐标为C（-,2）,

2

3

即AB=4,点C到AB的距离为二.

2

213

则两直线y=——x+3和y=2x—1与y轴所围成的△ABC的面积=•—义4义—=3.

322

14.（2020•上海松江区•八年级期末）已知：如图，在口加。中，NC=90°,N3=30。,

AC=6,4丹分ZBAC,交况边于点〃点虎边力吐一动点（与点4、8不重合）.过点团乍

EFLAD，垂足为点G,与射线力茂于点足

备用图

（1）当点方在边/此时，

①求证：DE=DF；

②设=CF=y,求y与x之间的函数解析式并写出定义域.

（2）当口4£尸是等腰三角形时，求跳的长.

x-6（6<x<12）广

【答案】（1）①见详解；②y；⑵BE=8或12-4百.

【分析】（1）①先证明AAGFwAAGE,从而得AD垂直平分FE,根据中垂线的性质，即可得到结

论；②分两种情况：（a）当点F在线段AC上时，（b）当点F在AC的延长线上时，分别求出y与

x之间的函数解析式，即可；

（2）分三种情况：①当NAFD是顶角,即FA=FD时,②当NFAD是顶角,即FA=DA时,③当NADF

是顶角，即DF=DA时，分别求解，即可.

【详解】

⑴①•.•NC=90。，/8=30°,

/.ZBAC=60°,

废分NB4C,

・・・NFAG=NEAG,

EFLAD,

：.ZAGF=ZAGE=90°,

XVAG=AG,

AAAGF=AAGE,

AFG=EG,

；・AD垂直平分FE,

ADE=DF；

②;在口45。中，ZC=90°,ZB=30°,AC=6,

.\AB=2AC=12,

(a)当点F在线段AC上时，如图，

,:BE=x,CF=y,

AE=12-x,

VAAGF=AAGE,

/.AF=AE=12-x,

/.y=6-(12-x)=x-6,

•••0VAFW6,

・・・0V12-xW6,

A6^x<12；

(b)当点F在AC的延长线上时，如图,

,:BE=x,CF=yf

AAF=AE=12-x,

y=12-x-6=6-x,

V6<AF,

A6<12-x,

/.0<x<6；

A

（2）①当口AD尸是等腰三角形时，NAFD是顶角,即FA=FD时,如图

VCF=y,

/.AF=FD=6-y,

VZFAG=ZEAG=-ZBAC=30°,

2

AZFDG=ZFAG=30°,

VZC=90°,ZADC=90°-30°=60°,

AZCDF=30°,

ADF=2CF,

A6-y=2y,解得：y=2,

AAF=6-2=4,

JAE=AF=4,

ABE=12-4=8：

②当口的）尸是等腰三角形时,NFAD是顶角，即FA=DA时,如图,

A

VZACD=90°,ZCAD=30°,AC=6,

.\AD=2CD=2X(6+'=46，

.-.AE=AF=4^,

.•.BE=12-4V3；

③当口4)6是等腰三角形时，NADF是顶角，即DF=DA时，如图,

A

VDC1AF,

.,.CF=CA=6,

；.AF=12,

.,.AE=AF=12,此时，点E与点B重合，舍去，

综上所述：BE=8或12-46.

【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的定义，中垂线的性质以

及函数解析式，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质以及分类讨论思想，是解题的关键.

15.（2018•上海崇明区•）已知：如图，在直角坐标平面中，点A在x轴的负半轴上，直

线丫=依+月经过点A，与丁轴相交于点M,点8是点A关于原点的对称点，过点B的直

线3C_Lx轴，交直线^=丘+退于点C,如果NM4O=60°.

y

（1）求直线AC的表达式；

（2）如果点。在直线AC上，且小钻。是等腰三角形，请求出点。的坐标.

【答案】⑴y=&+相;（2）（0,百）或卜2,一1）.

【分析】（1）先求出点M的坐标，从而可得0M的长，再根据直角三角形的性质可得0A的长，

从而可得点A的坐标，然后利用待定系数法求解即可；

（2）先根据对称性得出点B的坐标，再根据两点之间的距离公式可得A3,的长，然后

根据等腰三角形的定义分三种情况建立等式求解即可.

【详解】（1）对于y=+6

当x=0时，），=百，则点M的坐标为（0,百）

OM=M

设。4=a

,/ZC4B=60°

ZOMA=90°-Z,CAB=30°

在前中，AM=2OA=2a,OM7AMOT=#>a

则有y/3a=~J3

解得〃=1,即。4=1

.•.点A的坐标为（T,。）

直线y=kx+\/3经过点A

.••0=—Z+百，解得&=6

故直线AC的表达式为J=V3X+A/3；

（2）1•点5是点4关于原点的对称点

二点3的坐标为（1,0）

设直线AC上的点。坐标为（根，由根+G）

则A8=l—(―1)=2

BD=-I）?+（Cm+9

AD=J（/"+l）2+（6m+也）。—2J（/“+1尸

由等腰三角形的定义，分以下三种情况：

①当AB=A£>时，AA8£>是等腰三角形

则2Jo+1>=2,解得加=0或旭=一2

\/3m+5/3=5/3或#）m+y/3=y/3x（—2）+#）=-百

此时，点D的坐标为（0,百）或卜2,一百）

②当AB=3D时，△ABD是等腰三角形

则J（m-1?+（gm+gy=2>解得相=0或，〃=-1

\[3m+>/3=V3或V3//7+乖）=V3x（-1）+G=0

此时，点D的坐标为（0,3）或（—1,0）（与点A重合，不能构成三角形，舍去）

③当8£>=A£>时，AA3O是等腰三角形

则&n-l）2+（&+6y=2J（加+1）2，解得加=0

y/3m+5/3=V3

此时，点。的坐标为伍,6）

综上，点D的坐标为点（0,6）或卜2,-6）.

【点睛】本题考查了•次函数的几何应用、直角三角形的性质、等腰三角形的定义等知识点,

较难的是题（2）,依据题意，正确分三种情况讨论是解题关键.

16.（2019•上海民办张江集团学校八年级月考）=

Vx\2x-l2

14

【答案】%,%,=-

2-7

【分析】利用换元法设a=J在匚，解方程=求出。的值，最后即可解出方程.

Vxa2

【详解】设a=<住丑，则原方程化为：«+-=-

Vxa2

去分母得2a2+2=5a

解得：«|=2,a,=—

-2

当a=2时a=J生1=2,空口=4,解得x=-2

Vxx2

小1„,l2x-l12x-l14

iia=-B'Ja=.-----=-,------=-,斛得》=二

27x2x47

14

经检验玉=一屋々=亍是原方程的解

14

，原方程的解为玉=一万，x2=-

【点睛】本题考查分式方程的解法，综合性较强，解题的关键是换元法.

17.(2019•上海市敬业初级中学八年级月考)解方程：二逐一警曳+1=0

x+3X2-2

【答案】原方程的解为x=—2或x=4

V2-2er2-2

【分析】令土二=力将方程转化为丁+y—6=0,解出y=2或y=-3,再代回_i=

x+3x+3

中，即可解答.

元2—26

【详解】解：令^--=y,则原方程转化为：y——+1=(),

x+3y

整理得：V+y_6=0,解得：y=2或y=-3,

经检验：y=2或y=—3都是方程的根，

2

当y=2时，即二X_-£2=2,

x+3

去分母得：x2-2=2(x+3),解得：尤=-2或冗=4

2

经检验，x=—2或％=4是方程x—-2^=2的根，

x+3

x2-2

当y=-3时，-~-=-3,

x+3

去分母得:x2-2=-3(x+3),

整理得：X2+3X+7=0

•;A=9-4X7=—19<0,

方程无解，

综上，原方程的解为x=—2或x=4.

【点睛】本题考查了利用换元法解分式方程，解题的关键是通过换元将方程转化为

y--+l=().

y

18.(2020•上海市静安区实验中学)若分式三二与一一；的和为x