2021年江西省各市各区数学中考模拟试题分类汇编图形的性质解答（四）

2021年江西省各市各区数学中考模拟试题分类汇编:

图形的性质解答(四)

1.(2021•江西模拟)两个大小不同且都含有30°角的直角三角板按如图所示放置，将4

48c与△⑦C的顶点。重合，其中NACB=NDCE=90°,NCAB=NCED=3Q°.

(1)如图1,当点£在4C上，点。在8c上时，CE-.AE=2：3,求S△赃：S四边形AEDB\

(2)如图2,将△劭C绕着点C旋转一定角度时，求劭：4£；

(3)如图2,当点4E,。在同一条直线上时，连接劭，若笫=1,BX3,求劭.

图1图2

2.(2021•乐平市一模)如图，在1中，/ACB=90：/4Q10,AX6,点、D为BC

边上的一个动点，以切为直径的00交朋于点£,过点C作方〃四，交。。于点打，连

接斑、CF、EF.

(1)当茬=45°时，求切的长；

(2)求证：/BAg/CEF；

(3)是否存在点〃，使得△，笈是以户为腰的等腰三角形，若存在，求出此时勿的长；

若不存在，试说明理由.

备用图

3.(2021•江西模拟)如图，43是。。中不过圆心的一条弦，请用无刻度的直尺，分别按下

列要求画图.

(1)在图1中画出一条弦CD,段CD"AB",

(2)在图2中，〃是48下方。。上的一点，以点4,〃为顶点画一个直角三角形，使其

第三顶点也落在。。上，并使该直角三角形的一个内角的度数与%相等.

4.(2021•乐平市一模)请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹.(用虚

线表示画图过程，实线表示画图结果)

(1)如图1,在〜183中，£是边力。上一点，在边8c上画点打，使％=4£；

(2)如图2,△力仇?内接于。0,。是标的中点，画△48C的中线4£；

(3)如图3,在〃中，£是边力。上一点，且DE=DC,画N班。的平分线4月；

(4)如图4,8C是。。的直径，4是。。内一点，画△48C的高力〃

5.(2021•江西模拟)如图，在矩形/脑中，AB=6,a=8,点。为对角线4C的中点，动

点。从点力出发沿AC向终点C运动，同时动点。从点8出发沿班向点4运动，点。运

动速度为每秒2个单位长度，点。运动速度为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停

止运动，点。也同时停止运动，连接设点。运动时间为t(t>0)秒.

(1)cosZBAC=.

(2)当WL4C时，求t的值.

(3)求△仇W的面积S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围.

(4)当线段户。的垂直平分线经过△48C的某个顶点时，请直接写出t的值.

备用图

6.(2021•江西模拟)如图，已知二次函数y=f+4x-5的图象及对称轴，现用无刻度直尺

按下列要求作图:

(1)在图1中作点4(-4,-5)；

(2)已知力(-4,-5),在图2中的对称轴上作点儿使。-的最大.

7.(2021•乐平市一模)如图，在平面直角坐标系中，S80C的顶点4(0,2),点8(-4,

0),点。为坐标原点，点C在第一象限，若将△/(如沿x轴向右运动得到(点4

0、8分别与点仄F、G对应)，运动速度为每秒2个单位长度，边序交0C于点户，边

EG交"于点0,设运动时间为t(0<t<2)秒.

(1)在运动过程中，线段的长度为(直接用含t的代数式表示)；

(2)若t=1,求出四边形。石。的面积5；

(3)在运动过程中，是否存在四边形0%•。为菱形？若存在，直接写出此时四边形勿归?

的面积；若不存在，请说明理由.

8.(2021•吉安县模拟)如图，在网格纸中，0、力都是格点，以。为圆心，以为半径作圆.用

无刻度的直尺完成以下画图：(不写画法)

图①图②

(1)在图①中画。。的一个内接正六边形4仇阳■；

(2)在图②中画。。的一个内接正八边形48。石％//.

9.(2021•江西模拟)如图所示，48是。。的直径，点尸是半圆上的一动点(打不与4B

重合)，弦川平分N外尸，过点。作。以4尸交射线/尸于点肝

(1)求证：2应与。0相切：

(2)若〃'=8,4Q10,求跳长；

(3)若48=10,/F长记为x,户长记为九求y与x之间的函数关系式，并求出4片4

的最大值.

10.（2021•东湖区模拟）已知:如图,N1+N2=180°,NA=ND.求证：AB//CD.（在

每步证明过程后面注明理由）

11.（2021•江西模拟）请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）.

（1）如图1,抛物线/与*轴交于48两点，与V轴交于点C,3〃*轴交抛物线于点

D,作出抛物线的对称轴中；

（2）如图2,抛物线/“/?交于点户且关于直线例对称，两抛物线分别交x轴于点儿

8和点C,D,作出直线做

12.（2021•江西模拟）如图，曲是。。的直径，平行四边形4缈£的一边在直径施上，点

（1）如图1,当点〃在。。上时，请你仅用无刻度的直尺在四上取点P,使DPLAB于P；

（2）如图2,当点。在（DO内时，请你仅用无刻度的直尺在四上取点Q,使&U/I8于0.

13.（2021•九江一模）如图，"打?〃的顶点4B、。都在。。上，请你仅用无刻度的直尺按

下列要求画图：

（1）在图1中，画出一条弦与加相等；

（2）在图2中，画出一条直线与垂直平分.

14.（2021•吉水县一模）如图是由6个形状、大小完全相同的小矩形组成的大矩形，其中

小矩形的长为2,宽为1,请用无刻度的直尺在矩形中完成以下作图（保留作图痕迹，不

写作法）.

（1）在图1中，画出一个面积为5的正方形；

（2）在图2中，画出一个面积为4的非特殊的平行四边形.

15.（2021•吉安模拟）如图，△48C是。。的内接三角形，请仅用无刻度的直尺在下列图形

中按要求画图.

（1）在图1中，已知勿_L8C于点〃，画出N/的角平分线；

（2）在图2中，已知。于点£,0FL/C于点尸，画出N4的角平分线.

16.（2021•江西模拟）如图，ZVI8C内接于。。，N8=60°,必是。。的直径，点。是CD

延长线上的一点，且

（1）求证：〃是。。的切线；

17.（2021•南昌县一模）等腰△48C中，AB^AC,以形为直径作圆交8c于点。，请仅用无

刻度的直尺，根据下列条件分别在图1、图2中画一条弦，使这条弦的长度等于弦劭.（保

留作图痕迹，不写作法）

（1）如图1,Z/l<90o；

(2)如图2,Z/»90°.

18.(2021•江西模拟)操作：

如图1,正方形4成力中，48=a，点£是切边上一个动点，在4。上截取连接

EG,过正方形的中线。作好_L2?交朋边于尸，连接宏、OG、EF、AC.

探究：

在点£的运动过程中：

(1)猜想线段如与OG的数量关系？并证明你的结论；

(2)N&尸的度数会发生变化吗？若不会，求出其度数，若会，请说明理由.

应用：

(3)当a=6时，试求出△如尸的周长，并写出纸的取值范围；

(4)当a的值不确定时：

①若黑=票时，试求端的值；

②在图1中，过点£作EHLAB于H,过点尸作FGLCB于G,EH与尸G相交于点M；并将

图1简化得到图2,记矩形版G的面积为5,试用含a的代数式表示出S的值，并说明

19.(2021•乐平市一模)如图，AD^.BC,劭=纱，点C在的垂直平分线上，若AB=5c/n,

20.(2021•江西模拟)在矩形第中，点£是对角线/C上一动点，连接如，过点£作£尸

工DE交AB于息F.

(1)如图1,当然="时，求证：AF=EF；

(2)如图2,点E在运动过程中坐的值是否发生变化？请说明理由；

EF

(3)如图3,若点尸为48的中点，连接DF交4C于点G,将△GfF沿斤"翻折得到△盯

连接力/交£尸于点％当初=2,缈=2«时，求精的长.

21.(2021•江西模拟)如图，在△48C的边8c上取一点0,以。为圆心，0c为半径画。0,

。。与边丝相切于点〃，/1仁朋，连接以交。0于点E连接宏，并延长交线段此于点

F.

(1)求证：4C是。。的切线；

(2)若45=10,tanQ求。。的半径；

O

(3)若尸是48的中点，试探究如CE与4打的数量关系并说明理由.

22.(2021•江西模拟)如图，四边形必是正方形，点。为对角线4C的中点.

(1)问题解决：如图①，连接BO,分别取CB,80的中点P,0,连接PO,则户。与BO

的数量关系是,位置关系是;

(2)问题探究：如图②，△初£是将图①中的△加8绕点4按顺时针方向旋转45°得到

的三角形，连接维，点只。分别为如，8。的中点，连接户。，PB.判断△图8的形状，

并证明你的结论；

(3)拓展延伸：如图③，△40'E是将图①中的△408绕点4按逆时针方向旋转45°得到

的三角形，连接用7,点只。分别为宏，仇7的中点，连接阳,PB.若正方形/仇》的边

长为1,求△夕08的面积.

23.(2021•江西模拟)定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线

相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.

(1)如图1,NE是△/lb。中N4的遥望角，若N4=a,请用含a的代数式表示

(2)如图2,四边形48CZ)内接于。0,俞=而，四边形侬沙的外角平分线。尸交。。于

点尸，连接8尸并延长交办的延长线于点£求证：N8&?是△48C中N历IC的遥望角.

(3)如图3,在(2)的条件下，连接AF,若4C是。。的直径.

①求的度数；

②若48=8,CD—5,求△阳7的面积.

图1图2图3

24.(2021•江西模拟)如图，。。是△/lb。的外接圆，48是直径，。是4?中点，直线如

与。。相交于£尸两点，户是。。外一点，。在直线必上，连接外，PC,AF,且满足N

PCA=NABC.

(1)求证：〃是。。的切线；

(2)证明：E产=40A0P；

9

(3)若成?=8,tanZAFP=—,求巫的长.

3

备用图

25.(2021•江西模拟)在A/lb。中，/18=仇?，点。是AC的中点，点。是熊上的一个动点

(点户不与点40,C重合).过点4点。作直线外的垂线，垂足分别为点£和点尸,

连接西OF.

(1)如图1,请直接写出线段比与加的数量关系；

(2)如图2,当24比=90°时，请判断线段处与OF之间的数量关系和位置关系，并说

明理由

(3)若|C1-阳=2,EF=2M，当△外尸为等腰三角形时，请直接写出线段“5的长.

参考答案

1.【解答】解：(1)当点E在4C上，点。在8C上时,

YNCAB=NCED=3G,

：,DE//AB,

:•△ABC^AEDC、

:，SXDCE、.(CExGA)2=4：25,

••品必E：S四边形4f加=4：21；

(2)VZACB=ZDCE=9Q0,

/.NDCB=4ACE.

YNCAB=NCED=3G,

-*-DC：CE=1：-^^3,BC：CA=1：

：.DCzCE=BC：CA,

:、△DBC^XEAC、

"'•BD：AE=1：

(3)由(2)可知，-：/\DBC^/\EAC,

/.Z.AEC=^BDC,

.・•点4E,。在同条一直线上，NCED=30°,

；・NAEC=NBDC=W,

：,ZADB=]50°-60°=90°.

设.BD=x,可知AE=V^X,

222

在Rt△腕中，X+(2+V3X)=65

解得qSz运(舍).

12，2

-nn_-V3W35

,,Dlj-2・

2.【解答】解：(1)VZ67T=45°,4CFE=NCDE,

：.4CDE=45°,

•・・N4C8=90°,

・・・NM*=45°,

NDAC=NADC、

:・AC=CD=b；

(2)证明：•・・NACB=90°,

：.ZBAC+ZB=90°,

'：GF//AB.

:・NB=4FCB、

又Y4FCB=/DEF,

：・NBAO/DEF=9G,

•・・切为。。的直径，

:・/CED=9G,

••・NDER/CEF=9。。,

/BAC=4CEF；

(3)①如图1,当&•=〃时，则NEFC=NECF,

.・.四边形应，尸为圆内接四边形,

JZ.ADG=/ECF,

又VNCDE=NCFE、

・•・NADG=4CDE,

・・・切为。。的直径，

DFC=90°,

'：FC//AB.

：,ZFGA=9Q°,

・•・4FGA=4ACD,

'：AD=AD,

:.XAG恒MACD(/WS),

DG=CD、

在RtZ\8〃G中，设CD=x、

YBC+D@=BG,

.0.42+X2=(8-X)2,

-**x—~3,

即CD=3：

②如图2,当斤三。7时，则NCEF=NECF,

.・.四边形C冰为圆内接四边形，

/.NADG=NECF,

又；NCEF=NCDF=NBDG,

・•・^ADG=Z.BDG,

FC//AB,ZDFC=9Q0,

：・ZFGA=90°,

/./FGA=4ACD,

,:GD=GD,

:・ABGM丛AGD(.ASA),

BD=AD,

在RtZk/4切中，设CD=x、

•••c队AC=A6、

.,.X2+62=(8-x)2,

.7

4

7

即CD=—；

4

综合以上可得办的长为3或4.

3.【解答】解：(1)如图1,缈为所求.

(2)如图2,△»取为所求.

4.【解答】解：(1)如图1中，线段梦即为所求作.

(2)如图2中，线段力£即为所求作.

图1图2

(3)如图3中，射线/尸即为所求作.

(4)如图4中，线段即为所求作.

图3图4

5.【解答】解：⑴•••四边形俶切是矩形,

AZ5=90°,

1

•''AC^VAB2+BC2=V62+82=。,

故答案为:菅；

5

(2)由题意得：80=t,AP=2t,贝

当夕。JJC时，ZAPQ=90°,

：.cosZOAP=­=—,

AQ5

2t

即=3

6-t-5

解得：t=骂，

即当外_L/C时，t的值为

(3)过。作QE1AC千E,如图1所示:

则N4£Z?=90。=4ABC、

又NQAE=ZCAB,

:•XAEQ^XABC、

.QE=AQ

一而一而，

即胆=殳1

810

4，

解得：OE=—(6-t),

5

•・.点。为对角线4c的中点，

.\AO=—AC=5,

2

若夕与0重合时，则4-42=5,

.*.2t=5,

若夕与C重合时，则4-47=10,

A2t=10,

・•t=5,

当点户在线段力。上时，OP=5-2t,

则△aW的面积S=10PX0£=^X(5-2t)X—(6-t)星计12,

22555

即$=乡廿-心^什12(0^t<—)；

552

当点户在线段C0上时，OP=2t-5,

则△仇W的面积S=X0f=』X(2-5)X—(6-t)=4

-12,

225

即三#+避•t-12(―<t^5)；

552

(4)分三种情况:

①当线段户。的垂直平分线经过点C时，连接。C,如图2所示:

%=a=10-2务

在RtZkObC中，由勾股定理得：初=初+8仇

即(10-2t)2=82+t2,

解得：£=空工运或20+2773(舍去)

33

.一20-2斤.

一3，

②当线段户。的垂直平分线经过点8时，BgBHt,

过点户作户匹8c于G,连接8户,如图3所示：

贝I]06〃48,

，/\PCGS/\ACB,

,PG=CG=PC

"AB-BC'"AC,

gnPG_CG_10-2t

"68IO-1

QA4.

解得：PG=—(10-2t)=6-—t,CG=±(10-2t),

555

.,.55=8--(10-2t)=—t,

55

在Rt△分&中，由勾股定理得：BP=B©+P©,

即t2=(-|t)，2,此方程无解；

③当线段。。的垂直平分线经过点A时，如图4所示：

贝I]AgAP,

即6-t=2t,

解得：t=2；

综上所述，当线段。。的垂直平分线经过△/口?的某个顶点时，t的值为20-2义元或2.

图2

6.【解答】解：(1)如图1,点4为所作;

7.【解答】解：(1)在运动过程中，线段的长度为2容

故答案为：22

(2)・・・将△408沿x轴向右运动得到△日为，

：.AB〃EG,OA//EF,

.・•四边形480C是平行四边形，

：.AB//OC,

C.EG//OC,

U：00//PE,

・•・四边形。户底?是平行四边形，

a-A(0,2),点8(-4,0),

：.OA=2,08=4,

・・・t=1,

：.AE=BG=2,

：,OG=2,

,:AE=OG,

'：AC//OB.

AEQ=/OGQ、Z,EAQ=Z.GOQ,

&图△0G0(.ASA),

：.AO^OQ^—OA^y,

2

r.四边形。阳?的面积S=1X2=2；

(3)存在，

由(2)知四边形0E0是平行四边形，

若四边形是菱形，

贝I]£用00,

■：AE//OB,AB//EG,

：.NAEQ=NABO=NEGO,

NEAgNA0B,

：./\OEA^/\ABO,

.AE_AQ

"OB"AO'

•：AE=2t,

.2t=AQ

.**AQ=t,

.\0Q=2-t,

YQE=OQ、

:.A后+AG=OG、

：.(2t)2+t2=(2-t)2,

解得：。=叵1,

2

•••但旄-1,妹与反

•••当士=金]时，四边形为菱形，

2

..•四边形0E0的面积=4日加3旄-5.

等用图

8.【解答］解：如图所示,

G

图①C国②

(1)如图①,正六边形延F即为所求；

(2)如图②,正八边形ABCDEFGH即为所求.

9.【解答】(1)证明：连接勿，如图1所示:

0g0A,

・•・NOAD=ZODA,

•・・力，平分/外厂,

:•乙OAD=4FAD、

：・NODA=NFAD、

：.0D〃AF,

DE-LAF,

：.DE1.0D,

又・・・勿是。。的半径，

・,.斯与。。相切：

(2)解：连接8。如图2所示：

丁熊是。。的直径，

/.ZADB=9Q°,

'：DErAF.

AZAED=9Q°=4ADB、

又，：NEAD=NDAB,

:、XAED^XADB,

：,ADxAB=AExAD,

.\A^=ABX/1F=10X8=80,

2

在中，由勾股定理得：^=VAD-AE2=V80-82=4;

(3)连接。尸，过点。作。G_L48于G,如图3所示：

rZAED=ZAGD=90°

在和△4G。中，，ZDAE=ZDAG,

AD=AD

:、△AEgXAGD(.AAS),

：.AE=AG,DE=DG,

/FAD=ZDAB,

••DF=DB，

：,DF=DB,

DE=DG

在Rt△阳7和Rt/\DGB中,

DF=DB

:RtADEF§Rt丛DGB(HD,

:.EF=BG、

.\AB=AG^BG=AF+EF=AREF+EF=AR2EF、

即：/2y=10,

.,.y=--A+5,

2

：.AF-EF=--X2+5X=(x-5)2+—,

222

二〃■•标有最大值，当x=5时，4尸斤的最大值为学.

图2

10.【解答】证明：与NCGZ?是对顶角，

：.A\=ACGD（对顶角相等），

,.,Z1+Z2=180°（已知），

NGGZ>N2=180°（等量代换），

C.AE//FD（同旁内角互补，两直线平行），

（两直线平行，同位角相等），

又（已知），

：./BFD=/D（等量代换），

：.AB//CD（内错角相等，两直线平行）.

11.【解答】解：（1）如图1所示，直线）即为所求.

12.【解答】解：（1）如图，延长40交。。于点尸，连接班交于点。，点。即为所求;

（2）延长勿交。。于K作直径伤连接仔•交"于点。，点。即为所求.

pA/

(2)房就是所求作的垂直平分线.

(2)如图平行四边形&•%

15.【解答】解：(1)如图1所示：4"即为所求;

(2)如图2所示：4V即为所求.

A

VZff=60°,

・•・N腕=2N8=120°,

又.：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA=30°,

又—AC,

:・NP=NACP=30°,

：.^OAP=Z.AOC-ZP=90°,

S.0A1.PA,

・..以是。。的切线.

(2)在Rt△"夕中，

'：ZP=30°,

:・P0=20A=0bPD,

又•.・以=①，

：.PD=OA,

,:PD=M，

：.2OA=2PD=2yf2-

・・・。。的直径为2y.

17.【解答】解：(1)如图1,然为所作:

(2)如图2,历为所作:

18.【解答】解：(1)OE=OG,

连接0。在正方形力成力中，

.・•点。是正方形中心，

.\OA=OD,N0AD=N0DC=45°,

•；AG=DE,

:•△AOG^XDOG、

，OE=OG,

（2）N&7尸的度数不会发生变化，

理由：由（1）可知，AAOG^RDOE,

・•・NDOE=4A0G,

■:/A0n/D0G=9C,

：・/DOS/D0G=9G°,

・•・/DOE=4A0G,

'：ZE0G=9Q°,

'：OE=OG,OFA.EG,

：.ZE0F=45。,

；・恒为定值.

(3)由(2)可知，OE=OG、OFLEG,

尸垂直平分EG,

△叱的周长为DE^ER-DF=AG^FG^DF=AD,

•a=6,

・•・△〃比的周长为AD=a=6,(0<P£<3)

(4)①如图2,

,:NEOF=45°,

二NCOB加F=135°

•.•NW=45°,

二/4尸外/加尸=135°,

NCOE=/AFO,

:.XAOFsXCEO、

.SAAOF_/OFX2

.・瓦嬴福，

••・0至IM尸与如的距离相等,

.S^AOF二AF

^ACEOCE'

.(0F)2_AF36

"OE-CE"25'

•・巫>0,

OE

.0F__6

"OE-P

②猜想：S=^,

理由：如图3,

由（1）可知，XAOFsXCEO、

.AF_QA

"OC"CE,

：.AFXCE=OAXOC,

EHA-AB,FG-LCB,/B=90°,

/.S=AFXCE,

:.S=OAX0小匡^乂至迅=工3.

222

19.【解答】解：,:ADLBC,BD=DC,

'.AB=AG\

又•••点。在力£的垂直平分线上，

:.AC=EC、

*'•AB-,AC--CE--5cm；

'：BD=CD=3cm,

：.BE=8步C6~CE=3+3+5=''cm.

20.【解答】（1）证明：如图，连接。尸，在矩形48CZ?中，/DAF=90。，

又YDELEF,

：.ZDEF=9Q°,

\'AD=DE,DF=DF,

・・・Rt△"&Rt△田7(庆)，

:・AF=EF;

(2)解：器的值不变；

如图，过点£作皿/。于点M过点£作日小于点乂

D

B

图2

・..四边形410是矩形,

：,EN=AM,

■:乙EAM=LCA。、NEMA=NCDA.

：./\EAM^/\CAD,

.AMEM0nEMCDzr，

ADCDENAD^

Y/DEF=/MEN=9N,

，DEM=/FEN,

又'："ME=/ENF=qN,

:・XDMEs[\FNE、

.E包②,

由①②可嗤啮,

•7。与AC的长度不变，

••・黑的长度不变；

Er

(3)连接G“交"于点/,

:点尸是熊的中点，

在RtA/IP^中，^=VDA2+AF2=V22+（V3）2=V7.

由（2）知理=DC=2点=网

EFAD2v

:.DE=MEF,

在Rt△田7中，EF=昱,〃£=返］,

22

又■:AB〃DC、

：./\AGFs4CGD,

.DGDC_c

GFAF

.GF1

由折叠的性质可知G/=IH,GHLEF,

又；DELEF,

：.GH//DE,

：.4GFIs丛DFE,

.GIFIGF1

"DE"EF

・"/=引「=冬G/=/Q球，

o36

又,：GH〃DE,

JADEKSAHIK,

.巫=1KJL

"EK-DE

■TEI唔

•■•^=VlH2+KI2=^-

•・•。0与边48相切于点〃，

JODIAB、即N4W=90°,

'：A0=AO.AC=AD,OC=OD,

:,MAC咯△ADO(SSS),

：.NAD0=/AC0=9G,

又■.・0C是半径，

•.JC是。。的切线;

A

(2)；tan8=MAC

3BC

•■.设4a4x,&7=3x,

,:AG+BG=A3、

.,.16X2+9X2=100,

.'.x=2,

•*BC=-6,

•：AC=AD=Q,AB=\Q,

：.BD^2,

•：0言=O!f+Ba,

(6-062=0济4

OC^—)

3

故。。的半径为孩；

o

(3)AF=C&BD、理由如下:

连接阳,DE,

图2

由(1)可知：△〃?侬△4?0,

：.AACO=^ADO=9Q°,ZAOC=ZAOD,

又,；CO=DO,OE=OE,

:.△COEQXDOEQSA9,

・•・NOCE=ZODE,

-：00=OE=OD,

：.AOCE=^OEC=AOED=Z.ODE,

/.ZP£F=180°-N0&7-N旭?=180°-2N0CE、

丁点尸是四中点，4ACB=90°,

:.CF=BF=AF,

：./FCB=4FBC,

:.NDFE=180°-4BCF-4CBF=18。。-2ZOCE,

：.』DEF=ZDFE、

：.DE=DF=CE,

：.AF=BF=DF+BD=CHBD.

22.【解答】解：(1).••点。为对角线4c的中点，

：.BOS.AC,BO^CO,

•.•户为此的中点，。为80的中点，

：.PO//OC,PQ=^OC,

：.POLBO,Pg±BO；

故答案为：PO^^BO,PO-LBO.

(2)△此后的形状是等腰直角三角形.理由如下：

连接0'户并延长交8c于点尸，

:四边形48c〃是正方形，

:.AB=BC'ZABX90。,

•.•将△力必绕点A按顺时针方向旋转45°得到△ME,

.•.△4TE是等腰直角三角形，O'E//BC,O'E=0'A,

：.ZaE4NFCP,NP0'E=NPFC,

又.点?是纸的中点，

：.CP=EP,

:PE4l\FPCqAAS,

：.0'E=FC=0'A,O'P=FP,

：.AB-O'A=CB-FC,

：.B0'=BF,

.•.△0'8尸为等腰直角三角形.

：.BP±O'F,O'HBP,

.,・△827也为等腰直角三角形.

又：点。为与8的中点,

.-.P0±O'B,旦PgBQ、

，△尸必的形状是等腰直角三角形；

(3)延长0'£交8c边于点G,连接PG,O'P.

••・四边形48必是正方形，4C是对角线，

:.NECG=45°,

由旋转得，四边形0'/8G是矩形，

：.0'G=AB=BC,NEGC=qO°,

...△&%为等腰直角三角形.

••.点户是在的中点，

：.PC=PG=PE,2CPG=90°,NEGP=45°,

:GP^ABCP<SA9,

：.Z0'PG^ABPC,O'BP,

：.ZO,PG-NGPB=ZBPC-NGPB=9G,

0/6=90°,

.•.△0/8为等腰直角三角形，

:点。是O'8的中点，

.-.PQ^l-O'B^BO,P01.O'B,

：.O'4=返，

2

°,8=加A2+AB2=J(*J2+12=除

S&POB=得8。・Pg£X娓、，娓_3

TV16

23.【解答】解：(1),：BE平债/ABC、CE平■方乙ACD、

:./E=/ECD-NEBD=±SACD-AABC)=yZA^a)

(2)如图1,延长仇7到点T,

图1

,四边形FBCD内接于00,

；./FDOZFBga8G,

又,：NFD日NFDXW,

2FDE=4FBC'

尸平分N4?E,

.1.NADF=4FDE,

•：NADF=2ABF,

：.4ABF=NFBC,

是N48c的平分线，

■•,AD=BD>

NACg/BFD、

'：4BFM4BCD=180°,NDC升NBCD=180°,

ZDCT=ZBFD,

：.NACgZDCT,

•••宏是△48C的外角平分线，

N8&?是△/!&?中N比IC的遥望角.

(3)①如图2,连接CF,

・.•N是△48c中N的遥望角，

，BAC=2/BEC、

•・,^BFC=^BAC,

BFC=2NBEC、

.:乙BFC=/BECSFCE,

：.NBEC=4FCE,

Y/FCE=Z.FAD、

/BEC=4FAD,

又、：/FDE=4FDA、FD=FD,

.\/\FDE^/\FDA(4S),

:・DE=DA、

JZAED=/DAE,

.・MC是。。的直径，

：,^ADC=9Q°,

：・4AE步/DAE=9C,

：.ZAED=ZME=45°,

②如图3,过点力作4GJL%于点G,过点尸作施优于点股

图3

.・YC是。。的直径,

：,ZABC=90°,

・：BE平令NABC,

:./FAC=/EBC=?ABC=45。,

VZ/4£Z7=45",

NAED=Z.FAC,

•:/FEg/FAD、

：.ZAED-AFED^ZFAC-AFAD,

:.乙AEG=/CAD、

•：2EGA=/ADC=9Q