2022年高考艺术生专用数学讲义-第48讲正态分布（教师版）

第48讲正态分布

i.正态曲线及其性质

i.正态曲线及其性质

(1)正态曲线：

](A”：

函数9(x)=-^OexeH，其中实数〃,b(b>0)为参数，我们称夕”(x)的图象为正态分布密

12兀b

度曲线，简称正态曲线.

(2)正态曲线的性质：

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线％=〃对称；

③曲线在%=〃处达到峰值；

72兀b

④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当b一定时，曲线的位置由〃确定，曲线随着〃的变化而沿x轴平移，如图中所示；

⑥当〃一定时，曲线的形状由。确定，。越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；。越小.曲线越“瘦

高”.总体分布越集中，如图乙所示：

一般地,如果对于任何实数a,。(a<b),随机变量X满足P(a<XWb)=力:则称随机变量X服

从正态分布(normaldistribution).正态分布完全由参数〃和。确定，因此正态分布常记作N(〃,cr2).如

果随机变量X服从正态分布，则记为X〜N(R,『).

3.正态总体三个特殊区间内取值的概率值

①—b<X<〃+b)=0.6826

②P(〃—2b<X<〃+2b)=0.9544

③—3cr<X<〃+3cr)=0.9974

4.3cr原则

通常服从正态分布N(〃Q2)的随机变量x只取(〃-3b,〃+3b)之间的值.

1.（2021•全国高二学业考试）设随机变量4~N（〃,4）,函数〃力=/+2》-4没有零点的概率是0.5,则

尸（1<"3）=（）

附：若€~N（〃,cr2）,则P（〃一b4g4//+b）a0.683,P（//-2o-<^</7+2cr）®0.954.

A.0.1587B.0.1355C.0.2718D.0.3413

【答案】B

【详解】

解：•.•函数/（x）=x2+2x-J没有零点，即方程/+2》-4=0无实根，

.•.△=4+魅<0,

又〃力=产+2%3没有零点的概率是0.5,P（&<-1）=0.5,

由正态曲线的对称性知〃=7,

.,.4~N（-1,4）,/J=~\,<j=2、

，〃一cr=-3,〃+b=l,〃-2b=-5,"+2cr=3,

・・・P（-30.683,P（-5<^<3）«0.954,

P（l<^<3）=^［P（-5<^<3）-P（-3<^<l）］^^^^=0.1355.

故选：B.

2.（2021•全国高二单元测试）某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一批枪管，其口径误差（单位：

微米）服从正态分布N0,32）,从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间［4,7］内的概率为

（）

（注：若随机变量J服从正态分布则P（M-bq"+o>68.3%,

P（〃一2cr<j4〃+2cr卜95.4%）

A.31.7%B.27.18%

C.13.55%D.4.5%

【答案】C

【详解】

P（4<^<7）=l[P（-5<^<7）-P（-2<^<4）],

*；x(95.4%-68.3%)=13.55%.

故选：C.

3.(2021•全国高二课时练习)某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径》(单位：mm)服从正态分

布X~N(1OO,1).现加工10个螺栓的尺寸(单位：mm)如下：101.7,100.3,99.6,102.4,98.2,103.2,

101.1,98.8,100.4,100.0.X〜N(〃,4),有夕(〃-2。W朕〃+2~0.954,尸("-3。WXW〃+3。)

比0.997.根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交与质检员检验，则质

检员认为设备需检修的概率为()

444341

A.—B.-C.-D.—

455545

【答案】B

【详解】

依题意，10个螺栓的尺寸，只有103.2不在区间［97,103］内，

工人随机将其中的8个交与质检员检验，质检员认为设备需检修，则尺寸为103.2的螺栓在8个之中，

C；4

所以质检员认为设备需检修的概率为

C：。5

故选：B

4.(2021•全国高二课时练习)已知随机变量才服从正态分布即X〜，且P(〃一。〈朕“+°)

■0.6826,若随机变量hM5,1),则。(/>6)%()

A.0.3413B.0.3174

C.0.1587D.0.1586

【答案】C

【详解】

由题设一(4〈虑6)々0.6826,所以由正态分布的对称性可得?(46)=g［1一—(4<朕6)g(1-0.682

6)^0.1587.

故选:C

5.(2021•全国高二课时练习)随机变量4服从正态分布Ml,4),若P(2«<3)=a,贝lj

P(^<-1)+P(l<^<2)=()

A.-----B.—aC.t?+0.003。D.—1■ci

222

【答案】B

【详解】

因为随机变量J服从正态分布Ml，4),

所以正态曲线关于X=1对称，

因为P(2<g<3)=a,

所以尸(Tv《vO)=a,

因为P(l<《<2)=7(0<《<1),P©<-1)=PC>3),

P(l<^<2)4-P(0<^<l)+P(^<-l)+P(^>3)=l-P(-l<^<0)-P(2<^<3)=l-2a,

所以尸C<-1)+尸(l<€<2)=g—a,

故选:B.

6.(2021•全国高二课时练习)已知随机变量X服从正态分布N(a,4),且P(x>l)=0.5,则实数。的值为

()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【详解】

因为随机变量X服从正态分布N(a,4),

所以曲线关于工=。对称，且P(x>“)=0.5,

由尸(x>l)=0.5,可知a=l.

故选:A.

7.(2021•全国高二课时练习)某市教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示(由

于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是()

A.甲科总体的标准差最小B.丙科总体的平均数最小

C.乙科总体的标准差及平均数都居中D.甲、乙、丙总体的平均数不相同

【答案】A

【详解】

不妨设成绩g服从正态分布N(〃,人),

由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数。确定，。越大，曲线越矮胖；。越小，曲线越瘦高，且是标

准差，为正态曲线的对称轴，且〃为平均数，

由题干所给图像可知，甲科总体标准差最小，乙科总体标准差居中，丙科总体标准差最大，甲、乙、丙总

体的平均数相同，故A正确，BCD错误.

故选：A.

8.（2021•山东广饶一中高三月考）设随机变量J〜N（O,1）,已知中（-1.96）=0.025,贝”（©<1.96）=（）

A.0.95B.0.05C.0.975D.0.425

【答案】A

【详解】

P（周<1.96）=2［g-P（^<-1.96）］=2（--0.025）=0.950.

故选：A.

9.（2021•全国高二单元测试）设hMm,b；）,云），这两个正态曲线如图所示，下列说法

正确的是（）

B.。（庐尸（冷。2）

C.若伏0,则

D.若K0,则尸（上力

【答案】I）

【详解】

由正态分布密度曲线图象的对称性知，小〈0<心，由图象形状可得。2>0,如图,

观察图象得：P（长小）W"（尽〃J,A不正确；尸（桧。JWPC疹。2）,B不正确;

由正态分布在区间上的概率的几何意义知：若K0,则尸（后。》。（二匕），P（后万。，C不正确,

D正确.

故选：D

10.（2021•河南高二期末（理））某袋装加碘食盐的质量X（单位：克）服从正态分布N（5（X）,4）,某超市

在进货前要在厂家随机抽检这种食盐100袋，则质量在（498,504］内的袋数约为（）

附：若X~,则尸（〃-b<XM〃+b）=0.6826,尸（〃-2。<XV〃+2cr）=0.9544.

A.82B.80C.84D.86

【答案】A

【详解】

因X~N（500,4）,则有〃=500,0=2,498=〃-cr,504=〃+2b,

于是得质量X在（498,504］内的概率为：

682609544

P(〃-b<X4〃+2b)=；P(M-cr<X4"+b)+gp(〃-2cr<X4〃+2b)=°-+-=08185,

则有08185x100=81.85B82,

所以质量在(498,504］内的袋数约为82.

故选：A

11.(2021•济南市历城第二中学高三开学考试)某地政府为解除空巢老年人缺少日常护理和社会照料的困

境，大力培育和发展养老护理服务市场.从2016年开始新建社区养老机构，下表是该地近五年新建社区养

老机构数量对照表：

年份20162017201820192020

年份代码(X)12345

新建社区养老机构(V)1215202528

(1)根据上表数据可知，y与X之间存在线性相关关系,用最小二乘法求y关于X的经验回归方程y=i>x+a；

(2)若该地参与社区养老的老人，他们的年龄X近似服从正态分布N(70⑼，其中年龄Xe(76,79］的有321人，

试估计该地参与社区养老的老人有多少人？

,"SU,-x)(y,-y)A

参考公式：线性回归方程9=加+<3,。=以「---------，a=y-hx.

参考数据：P(〃-2bVX4〃+2b)=0.9545,P(〃-3crWXV〃+3cr)=0.9973

【答案］(1)$=4.2x+7.4；(2)15000人.

【详解】

(1)由题意知工=)(1+2+3+4+5)=3,

y=i(12+15+20+25+28)=20,

5

Z(七一亍)(»-9)=16+5+0+5+16=42,

»=1

5

元)2=4+1+0+1+4=10,

i=l

所以bA噎42=4.2,

a=y-fex=20-4.2x3=7.4,

故所求经验回归方程为9=4.2X+7.4；

09973-09545

(2)由题可知，P(76<XW79)=2~-2--.=0.0214

该地参与社区养老的老人有321+0.0214=15000(人)

该地参与社区养老的老人约有15000人.

12.(2021•全国高二课时练习)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布

M70,100).已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人.

(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？

(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？

附正态分布3。概率表：

。(〃一。〈启〃+七0.6827,尸(〃一2。〈4W〃+20.9545,。〈启°+30.9973

【答案】(1)527人；(2)84人.

【详解】

(1)设参赛学生的成绩为才，因为hM70,100),

所以〃=70,<7=10.

则。(后90)=夕(启50)=-[1-?(50<^90)]

2

=-[1-^(Z7-2a<X<u+2X(1-0.9545)

22

=0.02275,

124-0.02275-527(人).

因此，此次参赛学生的总数约为527人.

(2)由A^80)=A^60)=-[1-A60<AK80)]

2

=1[1一尸(〃一<?)]=«-X(1-0.6827)

22

=0.15865,

527X0.15865=84(人).

因此，此次竞赛成绩为优的学生约为84人.

13.(2021•全国高二课时练习)已知随机变量X-Na，/),且其正态曲线在(-8,80)上是增函数，在

(80,+8)上为减函数，且尸(72<XM88)=0.6826.

(1)求参数4，的值.

⑵求P(64<X472).

附：若X~N(〃Q2),则P(〃一b<XV〃+b)=0.6826,P(ju-2<T<X<//+2CT)=0.9544.

【答案】(1)4=80,b=8；(2)0.1359.

【详解】

(1)因为正态曲线在(-8,80)上是增函数，在(80,+8)上是减函数，且正态曲线关于工=〃对称，

所以正态曲线关于直线x=8O对称，即汹=80,

因为P(72<X<88)=0.6826,尸(〃-cr<X4〃+b)=0.6826

所以〃-cr=72,M+CT=88,解得，cr=8；

(2)因为正态曲线关于x=80对称，

所以P(X464)=?(X>96),

因为P(〃-2b<X<〃+2cr)=P(64<X<96)=0.9544,

所以P(X464)=-(1-0.9544)=0.0228,

2

故尸(X>64)=1-尸(X<64)=0.9772,

XP(X<72)=-[l-P(72<X<88)]=-(l-0.6826)=0.1587,

22

所以尸(X>72)=08413,

故P(64<X472)=P(X>64)-P(X>72)=0.1359.

14.(2021•重庆市第七中学校高三月考)为了解大学生每年旅游消费支出(单位：百元)的情况，相关部

门随机抽取了某大学的1000名学生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：

组别[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)

频数22504502908

(1)根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出X服从正态分布N(51,15，.若该所大学共有学生

65000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在8100元以上；

(2)已知样本数据中旅游费用支出在[80,100]范围内的8名学生中有5名女生，3名男生，现想选其中3

名学生回访，记选出的男生人数为y.求y的分布列与数学期望.

附：若X~N(〃,cr2),则尸(〃一cr<X<4+cr)=0.6826,尸(〃一2b<X<〃+2。)=0.9544,

-3cr<X<〃+3。)=0.9973.

9

【答案】(1)1482;(2)分布列为见解析，数学期望为看.

O

【详解】

(1)由题意得：〃=51,。=15,〃+2b=81,根据正态分布的公式得到：

c/、c\2cr<x<〃+2<r)1-0.9544八

P(x>ju+2cr)=---------------------=---------=0.0228,

再乘以总数得到结果0.0228X65000=1482.

估计有1482位同学旅游费用支出在8100元以上

(2)『的可能取值为0,1,2,3.

p(r=o)=G=2

C；28

C；C；15

p(y=i)=忑一：

C；C；=15

尸(y=2)=

c；56

叩=3）哈总.

r的分布列为:

Y0123

515151

P

28285656

所以，Y的数学期望为:

1_9

£y=Ox—+lx—+2x—+3x

28285656~8

15.（2021•黑龙江哈尔滨三中高二月考）某精密仪器生产车间每天生产”（〃充分大，且个零件，

质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零

件进行检查.根据多年的生产零件的数据和经验，知这些零件的长度d（单位：〃m）服从正态分布N（1O,O.F）,

且相互独立.若d