圆周运动讲解

让孩子接受最好的教育让孩子接受最好的教育PAGEPAGE1圆周运动圆周运动物体做匀速圆周运动的条件：圆心。描述圆周运动的运动学物理量圆周运动的运动学物理量有线速度、向心加速度a等。它们之间的关系rr60

2rT

v2 2r 2rr T2

。要注意转速n的单位为r/min，它与周期的关系为T 。nv2

2rv ，r42r公式中的线速度v和角速度ω均为瞬时值。只适用于匀速圆周运动的公式有：a ，因为周期T和T2转速n没有瞬时值。二、匀速圆周运动的描述线速度、角速度、周期和频率的概念线速度v是描述质点沿圆周运动快慢的物理量，是矢量，其大小为 vs

2r;其方向沿轨迹切线，国际单位制中单位符号是m/s；（2）角速度ω是描述质点绕圆心转动快慢的物理量，是矢量，其大小为t

t T；T在国际单位制中单位符号是rad／s；(3）周期T是质点沿圆周运动一周所用时间，在国际单位制中单位符号是s；频率f是质点在单位时间内完成一个完整圆运动的次数，在国际单位制中单位符号是Hz；nr／sr／min．2、速度、角速度、周期和频率之间的关系1f线速度、角速度、周期和频率各量从不同角度描述质点运动的快慢，它们之间有关系v＝1frω．T

，v

T，2f。由上可知，在角速度一定时，线速度大小与半径成正比；在线速度一定时，角速度大小与半径成反比．三、向心力和向心加速度向心力向心力是改变物体运动方向，产生向心加速度的原因．向心力的方向指向圆心，总与物体运动方向垂直，所以向心力只改变速度的方向．向心加速度向心加速度由向心力产生，描述线速度方向变化的快慢，是矢量．向心加速度方向与向心力方向恒一致，总沿半径指向圆心；向心加速度的大小为v2a 2r2rn r T2公式：公式：V＝s/t＝2πr/Tω＝Φ/t＝2π/T＝2πfa＝V2/r＝ω2r＝(2π/T)2r向心力F ＝mV2/r＝mω2r＝mr(2π/T)2＝mωv=F周期与频率：T＝1/f角速度与线速度的关系：V＝ωr心 合ω＝2πn()s:米(m)（radf（HT（nr/；半径：米mV（m/sω（rad/（m/s。二、向心力和加速度v21、大小F＝mω2r Fmr向心加速度（1）大小：a

v2 4 22rr T2

r2f2r （2）方向：总指向圆心，时刻变化（3）物理意义：描述线速度方向改变的快慢。c2rbrar4rd1．3－1r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r2rbc2rbrar4rd中，皮带不打滑。则（ ）A．a点与b点的线速度大小相等B．a点与b点的角速度大小相等C．ac点的线速度大小相等D．ad点的向心加速度大小相等

图3－1d四点之间的等量关系。因为cv、dω相等。所以选项C正确，选项AB错误。Cvv=ωra=v2/r点的向心加速度大小为v2 2r)2 v2a 点的向心加速度大小为：a A r D

4r

r 。所以选项D正确。选项CD正确。说明：速度与半径成正比；通过皮带传动（不考虑皮带打滑的前提下）或是齿轮传动，皮带上或与皮带连接的两轮边缘的各点及齿轮上的各点线速度大小相等、角速度与半径成反比。练习1如图－4所示的皮带转动装置左边是主动轮右边是一个轮轴R :R 1:2，A cR R 23。假设在传动过程中皮带不打滑，则皮带轮边缘上的C三点A B图3－42．图示为某一皮带传动装置。主动轮的半径为r，从动轮的半径为r。已知主12动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是（图3－42．图示为某一皮带传动装置。主动轮的半径为r，从动轮的半径为r。已知主12动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是（。r

从动轮做逆时针转动r从动轮的转速为1r2

从动轮的转速为2nr1图3-7中圆弧轨道AB是在竖直平面内的1/4圆周，在B点，轨道的切线是水平的。一质点自A点从静止开始下滑，不计滑块与轨道间的摩擦和空气阻力，则在质刚要到达B点时的加速度大小，刚滑过B点时的加速度大小。3．描述圆周运动的动力学物理向心力

AAB图3-7（1）的，不是一种特殊的性质力。向心力可以是某一个性质力，也可以是某一个性质力的分力或某几个性质力的合力。例如水平转盘上跟着匀速转动的物体由静摩擦力提供向心力；带电粒子垂直射入匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力；电子绕原子核旋转由库仑力提供向心力；圆锥摆由重力和弹力的合力提供向心力。做非匀速圆周运动的物体，其向心力为沿半径方向的外力的合力，而不是物体所受合外力。向心力大小：根据牛顿第二定律和向心加速度公式可知，向心力大小为：v2 2rFm

m2rmr T

其中r为圆运动半径。向心力的方向：总是沿半径指向圆心，与速度方向永远垂直。向心力的作用效果：只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。几种常见的匀速圆周运动的实例图表图形 受力分析 利用向心力公式mgtanm2lsinmgtanm2(lsind)mgtanm2rmgtanm2rMgm2r例题2.如图所示，Ａ、Ｂ、Ｃ三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为，Ａ的质量为2m，Ｂ、Ｃ质量让孩子接受最好的教育让孩子接受最好的教育Ｃ物的向心加速度最大；Ｂ物的静摩擦力最小；C.当圆台转速增加时，Ｃ比Ａ先滑动；D.当圆台转速增加时，Ｂ比Ａ先滑动。均为m，Ａ、Ｂ离轴Ｒ，Ｃ离轴Ｃ物的向心加速度最大；Ｂ物的静摩擦力最小；C.当圆台转速增加时，Ｃ比Ａ先滑动；D.当圆台转速增加时，Ｂ比Ａ先滑动。ω2Rω22R加速度最大，选项A正确。Ａ、mω2R、mω22R，Ｂ物体的静摩擦力最小，选项B正确。要比较哪个物体最先打滑，就要比较哪个物体与圆台间的最大静摩擦力，三者为：μ2mg、μmg、μmg,可见C物体先滑动，选项C正确，B错误说明：圆转速增加时，物体随圆盘转动需要的向心力（静摩擦力提供）也要增加，当提供不足时物体就做离心运动。练习4.3—12所示，一转盘可绕其竖直轴在水平面内转动，转动半径为RA，当转台的角速度为ω0AO连线中点再放一与A完全相同的物块BAB均可视为质点ω为多大时，两物块将开始滑动？4．竖直平面内圆周运动的临界问题：

OOBA图3-12mgO由于物体在竖直平面内做圆周运动的依托物（绳、轻杆、轨道、管道等）mgO如图3－7所示，由于绳对球只能产生沿绳收缩方向的拉力，所以小球通过最高点的临界条件是：向心力只由重力提供，即

mgmvR

，则有临界速度

v

。只有当

v

时，小球才能通过

图3-7最高点。NmgO如图3－NmgO5图3-8让孩子接受最好的教育让孩子接受最好的教育PAGEPAGE10gR以为零，即小球在最高点的最小速度可以为零。这样vgR

就变成了小球所受弹力方向变化的临界值，gR即当v<gR

时，小球受向上的弹力；当v

时，球和杆之间无相互作用力；当v>

时，球受向gRgR下的弹力。gRgR同情况下的最小速度。例题如图4-4O小球一初速度，使它做圆周运动，图3ab分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对（）A.a处为拉力B.a处为推力C.a处为拉力D.a处为推力

bObO图4-4解析：由于小球在竖直面内做圆周运动，所以当小球运动到a、b两点时，所受的合力都为指向O点。当小球运动到a点时，受到竖直向下的重力，为使其所受合力指向O点，则要求杆必对小球施竖直向上的拉力。gl当小球运动到b点时小球受到竖直向下的重力mg的作用当球的速度较小（小于 l为杆的长度，glglmg大于球做圆周运动所需的向心力时，杆将对球施竖直向上的推力；当小球的速度较大时（大于 ，glmgbb点时杆对球的作用力是推力还是拉力，取决于小球在b点时的速度大小。综上所述，本题的正确选项为A、B。练习如图3－14处进入管内，并恰好能通过圆环的最高点。则下述说法正确的是（ ）A.球在最高点时对管的作用力为零B.小球在最高点时对管的作用力为C.若增大小球的初速度，则在最高点时球对管的力一定增大D.若减小小球的初速度，则在最高点时球对管的力可能增大

vvAO图3-143－13RA。今给它一个水平初速度gRv ，则物体将（ ）gRmvmv0RMM点沿球面下滑至某一点NC.立即离开半球面做平抛运动D.以上说法都不正确有关圆周运动问题的分析思路

图3-13圆周运动常常和力、运动、能量问题结合在一起，综合性强。解决有关圆周运动问题的思路是：ⅰ．确定研究对象；ⅱ．确定做圆运动物体的轨道平面及圆心位置；ⅲ．对研究对象进行受力分析；交分解；ⅴ．依据牛顿运动定律和向心加速度的公式列方程；O′RAHH/2例（09广东）如图17O′RAHH/2壁粗糙，筒口半径和筒高分别为RHAm的小物块。求①当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；②当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。解析：物块受力如图所示①由平衡条件得 N-mgcosθ=0，f-mgsinθ=0

O图10θNθR2H2其中sinR2H2maR2H2得摩擦力为 fmgsinR2H2

mg图10R2H2支持力为NR2H2

mgR②这时物块的受力如图所示由牛顿第二定律得 mgtanmamR222gtanR2gH得筒转动的角速度为2gtanR2gHRωmRAhC例（ft东卷(16分,一水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动．圆盘边缘有一质量m=1.0kg,,ABCABμ=0.5ABωmRAhC滑块在运动过程中始终末脱离轨道不计在过渡圆管处和B点的机械能损失最大静 53°37°摩擦力近似等于滑动摩擦力，取g=10m/s2，sin37°=0.6,cos37°=0.8。图B(1)若圆盘半径R=0.2m，当圆盘的角速度多大时，滑块从圆盘上滑落?(2)若取圆盘所在平面为零势能面，求滑块到达B点时的机械能。(3)从滑块到达B点时起．经0．6s正好通过C点，求BC之间的距离。解析：(1)滑块在圆盘上做圆周运动时，静摩擦力充当向心力，根据牛顿第二定律，可得①gR代入数据解:gR滑块在A点时的速:vA=ωR=1m/s ③h 1 1AB1

mvsin53 2 S

mv2 ④2 A2在B点时的机械能:EB=2mvS2

mgh4J ⑤滑块在B点时的速:vB=4m/s ⑥滑块沿BC段向上运动时的加速度大:a1=g(sin37°+μcos37°)=10m/s2 返回时的加速度大:a2=g(sin37°-μcos37°)=2m/s2 v2 1 vBC间的距离:s

= S

(s S)2=0.76m ⑨BC 2a 2 2 a1 1练习9（09安徽20分）过ft车是游乐场中常见的设施。下图是一种过ft车的简易模型，它由水平轨道和在CD、CD半径R=2.0、R2=1.4。一个质量为=1.0kg的小球（视为质点，从轨道的左侧A点以=12.0m/s的初BL1=6.0mμ=0.20，圆形轨道是光滑的。g=10m/s2试求小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；CL应是多少；第一圈轨道第二圈轨道第三圈轨道Av0R1R2BCRD第一圈轨道第二圈轨道第三圈轨道Av0R1R2BCRD3L1LL10.（06重庆）(20分)(请在答题卡上作答)10.（06重庆）(20分)(请在答题卡上作答)25R的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球AB质量分mβm(βABB球能达到的最大高度均为R，碰撞中无机械能损失。重力加速度为g。试求：4(1)待定系数β;1AB在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球Bn结束时各自的速度。人造卫星的匀速圆周运动周运动，地球对它的万有引力提供它圆运动所需向心力。Tr有关：r越大，v越小，ω越小，T越大（）当卫星贴地球表面绕行时，其周期最短，约为84分钟。GMr运行速度与发射速度：对于人造地球卫星，由vGMr

算出的速度指的是人造地球卫星在轨道上的运能，所以将卫星发射到离地球越远的轨道上，在地面所需要的发射速度却越大。关于第一宇宙速度的两种推导方法：GMRMm v2 vGMR由G R2

1vR 1

由mgm 1，RgRg为地表重力加速度为地球半径，可得第一宇宙速度v 。gR1地球同步卫星的特点：所谓同步卫星是指卫星与地球以同一角速度旋转，则卫星运行周期等于地球自转周期2436000km处。例6（05全国Ⅱ卷）已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期。仅利这三个数据，可以估算出的物理量有（ ）Ａ．月球的质量 Ｂ．地球的质量Ｃ．地球的半径 Ｄ．月球绕地球运行速度的大解析：设地球的质量为M，月球的质量为m，根据万有引力定律和牛顿第二定律有GMm/r2=4π2mr/T2。从上述表达式可看出：m消掉了，因此不可能利用这些数据求得m（月球的质量。此式中的r轨道半径。因此不可能用此式求出地球的半径。42r3由上式可推导出M= ，因此可计算出地球的质量。即选项B正确。GT2“球运行速度的大小，即选项D正确。例7.（09北京）已知地球半径为R,地球表