数列通项公式和前n项和求解方法全

nn2数列通公式的求法解nn2一观察（关键是找出各项与项数n的关系.）例：据数列的前4项写出它的一个通项公式：1（22

4916,3,351017

23

,

12

,

21,4,52

3,4答1）

（）

an

nn2

;

（）

;

（）

an

n

nn

.二公式公法：殊数例：已数{}是公差为d的差数列，数列}是公比为q的q∈R且q≠1)的等比数列，若函数)=n(x－，af(d－1)，=f(d+1)，=f(q+1)，f(q－1)，数列{a}和{}通项公n式。答案：a=a+(n－1)d=－1)；b=b·－1n1n

=4·(－2)

－1例3.

等差数列

n

列且

a，aa234

4

=12，则数列的通项公式是（）(A)

a2nn

(B)

2n4

(C)

an

(D)

an

答案：例4.

已知等比数列

n

a1

公

0q

设列

bann

求列

通项公式简：由题意，

b

n

a

n

n

，又

，比为q∴n

bnn，数列b是等比bnn数列，易得

(n

n

(

.点：当数列为等差或等比数时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比.公法：知s利公式

s1,nn

.例：已下两数{}n

的前n项的公式，求{}n

的通项公式（）Snn

3

.（2）

snn

2

答案a=32

(n(n2)

点评先n=1和两种情然验证能否统.三、

累法【如

a

n

af(n)n

的地退关系递推关系】简：已知

a

,

a

n

a(n)n

，其中f(n)可是关于n的次二次函数、指数函数、分式函数，求通项

n

.①若f(n)是关于n的一函数累加后可转化为等差数列求;②若f(n)是于的指数函数加可转化为等比数列求和③若f(n)是于n的二函数累加后可分组求;④f(n)是于n的式数加后可裂项求和各式相加得例：知数列6，9，，，，求此数的一个通.

答案：(Nn例6.

若在数列

n

a1

，

a

，求通项

n

.

答案：

n

=

n例7.已数列

{}满足a，an1n

n

1(n2)n(n

，求此数列的通项公.

答案：

1n3nnnnnnnn四累法【形如1n3nnnnnnnn

n

=

f

(n)·

型（）f(n)为数，即：

（其中是不的常时列为等比数列，

=an

n

.（）f(n)为n的数,用乘.例：数列｛｝中，=1,(n+1)·=n例：已知列，项S与

，求a的关系是

的表达式.n(2an

n

，试求通项公式

n

..答案：

a

1(2n

思题：知

aan

,求列}的通项公式分：原化为

a

n

n(n

若令

n

,则问题进一步转化为

bnbn

n

形式，累积得.五构特数法构【如

a

n

ca(c,其an1

)】（1）若c=1时，{a}等差数列2）若n时，数{

n

}为等比数列（）

cd

时，数{

n

}为性递推数列，其通项可通待定系数法构造等比数列来求方法如下：设

a

n

(,得n

n

can

,与题设

a

n

d,n

比较系数得

dd,(c0)，所：a)cc

d,即c

构成以

为首项以c为比的等比数列例10：已知数

{}n

的递推关系为

a

n

an

，且

a

求通项

n

.

答案：

an构2相项差特数列例11：数列

n

，a2a12

n

211aa.示变为()333

.构3倒为殊列形如an

nran

】例12：知数列｛

n

｝中

a

且

（

n

，求数列的通项公式.

答案

an

1bn六待系法例13：数列

{}

的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若=2c=4，=7，c=12，求通项公c式n解：

cn

建立方程组，解.

点：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式一地，若数{}n

为等差数列则

abn，sbnn

cn

（、为常数若数列

{}n

为等比数列，则

aAqn

n

，

sAqA(

.七迭法一是推系有项较】例141数列}满足,an1

n

2(n

求数列a的通项公.

n1n解：题n1n

aaa1

n

2(nn

①

n时1

n

2(2)

②由、得a2,n

.（）列a}满足,且n1nn

数列的通项公式（）知数列

{}n

中，

a2,a1

n

1a,2

求通项

n

.八讨法了（）

a

n

n

（为数数{a}“等和数列是个周期数列，周期n为2，其通项分为奇数项和偶数来讨.（）如

a

n

f()n

型若

a

n

pn

(p为常数，数{

n

}为“等积数列是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨;②若f(n)为n的数（非常数）时，可通过逐差法得

an

n

f(n

，两式相除后，分奇偶项来分求通.例15：列}满足a,an1

n

2n

求数{a}的通项公.专二数求方详（种法一、公式法1、

等

差

数

列

求

和

公

式：Sn

)()n()n(12nd22na2、等比数列求和公式：S(1)a11

(q(q例1]已知

log3

log2

，求

x

2

3

n

的前项和

答案

n

(1n)1例2]设S＝1+2+3+…N,求

f(n(32)S

n

的最大值.

答案n＝时f(

max

150二错相法方简此是在推导等比数列的n项公式时所用的方法这种方法主要用于求数{a·b}前n项和，其中a}、{b}分别等差数列和等比数.例3]求和

xx

………()解：题可知{

(2x

n

}的通项是等差数列2n－的通项与等比数{

}的通项之积：设

xSx23x

…②①－②得

(1)S2x

2

nx

（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：)Sn(2nxn)∴.S(1

n

x

.

200200试试：数列

24,,22232

前n项的和

答案：

S4n

n2三倒相法方简：这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序与原数列相加，就可以得到n个

1

，然后再除以2得.例4]求

sin

2

sin

2

2

sin

2

2

88

2

89

的值.

答案S＝44.5四分法和方简：有一类数列，既不是等差列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确如何分组；例5]求列的前n项

114,aaa

n

答案

n

anna

.试试求

1n

之和.简于与

个1

999k1

n

别求和.五裂法和方简：是分解与组合思想在数列求和中的具体应.项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通分解（裂项及分母有理化如：（）af(f)n

）

an

1n

=

nn

）

sin1cos(

tan(n

n

；4）

an

11n(nn

(2n)111（）()(22n2n

.例6]

求数列

11

12

,

1n

,

的前n项.例7]在数{a}中，

an

12nnn

，又n

n

n

，求数{}的前项和试试：知数列a}：

8(

，求前n项.

试试：

11

1

11

11

...六合法和方简介针对一些特殊的数列，将某些项合并