北师大版2022高考总复习数学理考点演练三角函数的图像与性质

第五节三角函数的图像与性质1.(2022·陕西)对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项中正确的是()A.f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上是递增的B.f(x)的图像关于原点对称C.f(x)的最小正周期为2πD.f(x)的最大值为22.(2022·江苏南通模拟)函数y＝1＋cosx的图像()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线x＝eq\f(π,2)对称3.函数y＝(sinx＋cosx)2＋1的最小正周期是()A.eq\f(π,2)B.πC.eq\f(3π,2)D.2π4.已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x，x∈R，则f(x)是()A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为eq\f(π,2)的奇函数D.最小正周期为eq\f(π,2)的偶函数5.(2022·辽宁抚顺模拟)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的图像的一个对称中心是()A.(－π，0)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，0))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))6.(2022·广东汕头模拟)函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－2x))(x∈[0，π])为增函数的区间是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(7π,12)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))7.函数y＝eq\f(1,1＋tanx)的定义域是________．8.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sinx，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))的值为________．9.当－eq\f(π,2)≤x≤eq\f(π,2)时，函数f(x)＝sin(x－2π)＋eq\r(3)cos(2π－x)的最大值与最小值分别是________．10.已知函数f(x)＝cosxsinx，给出下列四个说法：①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；②f(x)的最小正周期是2π；③f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上是增函数；④f(x)的图像关于直线x＝eq\f(3π,4)对称．其中真命题是________．11.(2022·湖南)已知函数f(x)＝sin2x－2sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合．12.(2022·广东)已知函数f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x＝eq\f(π,12)时取得最大值4.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的解析式；(3)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)α＋\f(π,12)))＝eq\f(12,5)，求sinα.

第五节三角函数的图像与性质5．解析：∵y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，∴令x－eq\f(π,4)＝kπ(k∈Z)，x＝kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)，由k＝－1，得x＝－eq\f(3,4)π，∴y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的一个对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，0))，故选B.答案：B6．解析：∵y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－2x))＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，∴y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－2x))的递增区间实际上是u＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的递减区间，即2kπ＋eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，解上式得kπ＋eq\f(π,3)≤x≤kπ＋eq\f(5π,6)(k∈Z)．令k＝0，得eq\f(π,3)≤x≤eq\f(5π,6).又∵x∈[0，π]，∴eq\f(π,3)≤x≤eq\f(5,6)π.即函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－2x))(x∈[0，π])的一个增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5,6)π)).答案：C7.解析：要使函数y＝eq\f(1,1＋tanx)有意义，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋tanx≠0，,x≠kπ＋\f(π,2)k∈Z，))即x≠kπ－eq\f(π,4)且x≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．∴函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ－\f(π,4)且))x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ－\f(π,4)且))x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))8.解析：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(2π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π＋\f(2π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))).∵当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sinx，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)9.解析：f(x)＝sin(x－2π)＋eq\r(3)cos(2π－x)＝sinx＋eq\r(3)cosx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).∵－eq\f(π,2)≤x≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,6)≤x＋eq\f(π,3)≤eq\f(5π,6)，∴－eq\f(1,2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))≤1，即－1≤2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))≤2，∴函数的最大值与最小值分别为2，－1.答案：2，－110.解析：函数f(x)＝eq\f(1,2)sin2x，易知①中x1＝kπ－x2，k∈Z；②中，最小正周期为π；③④正确．答案：③④11.解析：(1)因为f(x)＝sin2x－(1－cos2x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))－1，所以函数f(x)的最小正周期为T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)由(1)知，当2x＋eq\f(π,4)＝2kπ＋eq\f(π,2)，即x＝kπ＋eq\f(π,8)(k∈Z)时，f(x)取最大值eq\r(2)－1，函数f(x)取最大值时x的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝kπ＋\f(π,8)，k∈Z)).12.解析：(1)∵f(x)＝Asin(3x＋φ)，∴T＝eq\f(2π,3)，即f(x)的最小正周期为eq\f(2π,3).(2)∵当x＝eq\f(π,12)时，f(x)有最大值4，∴A＝4.∴4＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×\f(π,12)＋φ))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋φ))＝1.即eq\f(π,4)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)，得φ＝2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)．∵0<φ<π，∴φ＝eq\f(π,4).∴f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4))).(3)∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)α＋\f(π,12)))＝4sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)α＋\f(π,12)))＋\