线性代数第1章行列式课件

111线性代数教材经济数学基础（第二分册线性代数）出版社四川人民出版社主编龚德恩副主编范培华胡显佑参考书高等代数讲义(),,线性代数简明教程,,教师王耀东电话63369207手机E-mail答疑地点理1305M时间：星期日12:30-13:30期中考试(一、二、三章)2015年11月8日3-节

期末考试(四、五、六、七章)2016年1月3日3-4节

2补充参考书1.线性代数赵树嫄主编中国人民大学出版社2.高等代数题解王萼芳编北京大学出版社3.线性代数尤承业编著新东方考研无忧数学培训教材中国广播电视大学出版社33我的百度文库55凡是具有这两个性质的函数统称为线性函数.研究函数的一个基本问题是它能否取某个值,对于函数y=ax即解线性方程复杂些的是线性方程组b666要问能否取值就是要看方程是否有解.研究线性函数的一个基本问题就是要解类似的线性方程.实际问题中的自变量和因变量可能很多,就需要有效的工具解线性方程组.77人们真正能够解的只是线性方程组,幸好,一般的无论多么复杂的方程基本都能用线性方程组近似求解.因此解线性方程组就是高等数学的一个基本问题.解线性方程组的基本工具是行列式和矩阵.999§1行列式定义一、二阶和三阶行列式二、排列及其逆序数三、n阶行列式定义101010考虑二元一次联立方程组：第一个方程乘以a21,，第二个方程乘以a11（2-1）得一、二阶和三阶行列式111111如果，则同理得1313两条直线相交两条直线相平行两条直线重合141414例解方程组151515例解方程组因为171717181818主对角线副对角线三阶行列式符号记忆法191919令212121例求值解222222例解线形方程组解232323252525例3

求解方程

解方程左端2626每一项是不同行不同列的两个元素的乘积冠以适当正负号.把行号按自然顺序安排,第一个乘积中的列号是12,顺序没有颠倒,而第二个是21,次序颠倒了一次.看二阶行列式二、排列及其逆序数292929

定义如果在排列中就说这两个数字

构成一个逆序。一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数，记作为了计算排列的逆序数，只需数一数303030每个前面比大的数的个数则有前三个逆序数为偶数,对应的项取正号,后三个逆序数为奇数,对应的项取负号.定义逆序数为偶(奇)数的排列称为偶(奇)排列.313131求和号设是定义域为有限集I的函数，则符号表示所有函数值的和.例如则3232333333求和的性质利用求和号和排列的逆序数符号,用表示1，2，….,n的所有排列的集合，则三阶行列式可以写成343434定义行列式的三个要素是数的加法,乘法和排列,行列式性质来源于加法,乘法和排列性质.加法和乘法的性质就是交换律,结合律和分配律,为我们所熟知.由于出现在公式中的是因子,我们真正关心的并非逆序数本身,而是其奇偶性.现在考虑排列的奇偶性在对换下的变化规律.353535定义一个排列的两个元素交换位置,其余元素不动,称为对换.相邻两个元素的对换称为相邻对换.定理一次对换改变排列的奇偶性.证明先证相邻对换改变排列的奇偶性.设排列p1…pipi+1…pn相邻两个元素pi,

pi+1交换位置成p1…pi+1pi…pn,则pi,pi+1和其它元素生成的逆序保持,如果pipi+1是顺序,则pi+1pi是逆序,如果pipi+1是逆序,,则pi+1pi是顺序,故

t(p1…pipi+1…pn)=t(p1…pi+1pi…pn)±1,

即p1…pipi+1…pn和p1…pi+1pi…pn

奇偶性相反.363636再证任意对换改变排列的奇偶性。任意对换可以通过奇数次相邻对换来实现.m+1次相邻对换a移到bm的右侧m次相邻对换b移到a的右侧原排列2m+1次相邻对换对换了a和b.每一次相邻对换改变奇偶性,奇数次相邻对换奇偶性改变奇数次,最终改变了奇偶性373737例求排列32514

的逆序数.解

∴32514是奇排列.52314是什么排列?例

n(n-1)…1的逆序数是多少？383838定理偶（奇）排列可以经过偶（奇）数次对换变成自然顺序。证明先证任何排列经过若干次对换可以变成自然顺序。对于排列阶n用数学归纳归纳法。n=1时显然。设对于k结论成立。给定k+1阶排列p1…pk+1.如果p1≠1

,而pi=1,p1和pi对换,p1…pk+1变成1p2…p1…pK+1.对于p2…pk+1用归纳假设，经过若干次对换可以变成自然顺序2…k+1.1p2…p1…pk+1变成12…k+1.设p1…pk是偶(奇)排列,经过l次对换变成自然顺序1…k,1…k是偶排列,对换一次改变排列的奇偶性,l必为偶(奇)数.393939定义用

Pn

表示1,2,…,n的所有排列j1…jn的集合，定义

三、n阶行列式定义404040

表示对于1，…,n的所有排列j1…jn

求和.根据排列的性质得到1.n

阶行列式共n!项.2.每一项是不同行不同列元素的乘积带适当正负号.3.（n≧2时）一半带正号的项,对应列号的偶排列,一半带负号的项,对应列号的奇排列.414141前面的定义的项把行号写成自然顺序，其实把列号写成自然顺序，按行号组成的排列求和结果是一样的。定理424242证明和

经过s次对换变成1…n,此时排列1…n变成排列的奇偶性都跟s的奇偶性一样。434343例判断以下两式是否是六阶行列式的项：解第一项行号是自然顺序，列号序列为乘积取正号，故第一式是六阶行列式的项。把第二式乘积的行号调整为自然顺序得列号序列为452316乘积取正号，故第二式不是六阶行列式的项。444444例写出四阶行列式含a11a23的项.解其余两个因子取自2,4列:第一个因子列号排列1324,对换32即变成1234,故为奇排列,取负号,第二个因子列号排列1342由1324对换2,4得到,故为偶排列,取正号:454545例计算行列式一般项j1>1时此时为0，非0项只可能是解

j>i时,aij=0.464646

j2

只能取2，3，4.第二行3,4列的元素为0,非0项只能为类似得非0项只能是这种类型的行列式称为下三角行列式,其值等于对角线元素的乘积.474747类似的上三角行列式的值也等于其对角线元素的乘积484848例494949例5050是正负相间吗？515151例用行列式定义求下列行列式的值：解525252作业习题一1.(1),(3),(5),(7)2.(1)3.(1),(3)4.(1),(3)5.(1)6.(1)，(3)7.(1),(3)535353§2行列式性质用行列式定义计算其值，仅在罕见的情况下适用。一般的方法是把行列式变换为三角行列式，然后以对角线元素的乘积作为其值。为了把行列式变换为三角形行列式，就需要研究行列式在进行所谓初等变换时其值的变化规律。

545454性质1.两行互换,符号改变..第i行第s行555555第i行第s行565656证明一次对换改变排列的奇偶性575757.性质2.两行相等,其值为零.证明两个相同的行互换，由性质1值反号，但其实它还是原来的行列式，故行列式的值等于其相反数，非零莫属。性质3.一行乘（同一）数,提在外面.585858证明595959性质4.两行成比例,其值为零.为了书写简短,用ri表示第i行ai1,ai2,ai3,kri表示每个元素k倍,ri

+rj表示对应元素相加.606060性质5.一行为和,拆成两个.616161证明626262636363性质6

一行加另一行k倍，其值不变。为了书写简短,用ri表示第行ai1,ai2,ai3,kri表示每个元素k倍,ri+rj表示对应元素相加.证明646464记行列式DT

称为行列式D

的转置行列式.性质7

行列式与它的转置行列式相等,即

D=DT

656565证明有了这个性质,所有对于行叙述的行列式性质对于列也成立.例如666666676767用cj表示第j列，则以上性质可以简洁表示为686868用行列式性质计算行列式例计算行列式解696969例计算行列式解707070717171727272

利用化为上三角行列式7373或747474例计算n阶行列式757575解767676777777787878797979808080818181828282例计算n阶行列式解838383各列之和相等848484c1提公因子858585868686例计算n

阶行列式各列之和相等878787888888898989

例如果则909090证明把D1和D2分别做行变换和列变换化成下三角形，919191对于D做相应的变换得到929292例设abcd=1,计算939393第一个行列式各行分别除以a,b,c,d949494959595第一个行列式记作|c1c2c3c4|，第二个则为|c3c1c4c2|,(3142)=1+0+2=3.989898习题习题一8-13大题的单号小题99第一次习题课内容行列式定义，行列式性质.重点是行列式性质.题目习题一1.(2),(8)2.(2)3.(4)5.(2)7.(4)8.(4)9.(3)10.(4)11.(4)12.(2)100100100§3行列式按一行（列）展开行列式按一行(列)的展开式在理论上和实际计算中都起重要作用，其实也是行列式的一条重要性质，由于其特殊性，和其它性质分开来叙述.而其它性质都主要是关于初等变换对于行列式的值的影响的.矩阵初等行变换1.两行互换;2.一行乘以非零数;3,一行加另一行的倍数;矩阵化成三角形101二阶行列式102102102我们从考察三阶行列式开始.把三阶行列式的六项按含第一行各个元素分为三组103103103提出公因子104104104M22M22M32105105105分别称为a11,a12,a13的余子式,记作M11,M12,M13.而(－1)1+1

M11,(－1)1+2

M12,(－1)1+3M13称为a11,a12,a13代数余子式,记作A11,A12,A13.利用代数余子式,可以写出106106106划去aij的所在的行和列所得的行列式称为aij的余子式，记作Mij，（－1)i+jMij称为aij的代数余子式，记作Aij.定义107107107例设求a23的余子式和代数余子式.解>A:=matrix([[3,2,-7],[1,5,3],[-4,1,2]]);det(A);108108108引理(行列式按第一行的展开式)行列式等于第一行各元素和相应代数余子式乘积之和.109109为了证明，先注意排列的一个简单性质：设是的一个排列，则有这是由于在前面添加数字i之后,i

跟后面的产生i-1个逆序。110110110证明以三阶行列式为例书写:111111111表示{2,3}排列的全体,其余类似.

写出对于一般n的引理的证明.112112112定理对于按第i行展开按第j列展开113113113证明把第i行和其前面的i-1行依次互换i－1次,到达第一行,其余位置不变.114114114如果一行乘另一行的代数余子式结果会怎样呢?对于四阶行列式,举例说,115115115例如对于3阶行列式此式代表第二行元素为第一行元素的行列式,即有两行相同,故其值为零.一般地对于n阶行列式克罗内克记号.116116行列式按行或列展开的一般公式117117117例计算行列式解I118118118此题中两个行列式的计算119119119解II可以先用上一节的方法在一行制造更多的零.120120120121121121例计算行列式解122122122123123123例设第一式是行列式124124124解125125125126126126例证明范德蒙德(Vandermonde)行列式n=1时公式成立吗？共多少个因子？127127127证明用数学归纳法.n=2时等式成立.设等式对于n-1成立,则从第n行开始，后行减去前行的x1

倍：128128128按照第1列展开，并提出每列的公因子xj

－x1就有129129例130130例求过点的二次函数设互不相等。解131131132132133133134134这是三个点的拉格朗日插值公式,请写出四个点的拉格朗日插值公式,以及任意个点的拉格朗日插值公式.135136例137137137例求下列n

阶行列式的值00138138为了观察降阶规律，我们以5阶为例13913900解140140140用数学归纳法证明.时已经知道公式成立,设公式当时成立,则对于n+1有即公式对于n+1也成立,根据数学归纳原理,公式对于任意自然数皆成立.(1)当一行很多0时,按一行展开,得递推公式;(2)直接计算前几个值,根据递推公式再计算几个值,猜出一般公式;(3)用数学归纳法证明猜出的公式.141例142143144144思考题用递推公式法求145146前n–1行减去第n行147

表示乘积中没有这个因子.148148148习题习题一14,15(1),16(1),17(1),(3)4克莱姆法则150150150如果D≠0,则是方程组的解.代入方程直接验证.151151151把D1按第一列展开把D2按第二列展开把D3按第三列展开含b1的项集合并在一起.含b2的项集合并在一起.含b3的项集合并在一起.152152152故类似地可以验证其它方程也满足.设x1,,x2,x3是解,则证明解的唯一性153153153类似必有故必有即所有解都等于可莱姆法则给出的解，故解唯一。154154154这里的推导容易推广到一般情形:用表示:155155155系数行列式记作D,其第j列换成b1,…,bn所得行列式记作Dj.推论如果D≠0,则齐次方程组只有零解定理

如果D≠0,则方程组(**)有唯一解:如果D=0,齐次方程组有非零解吗?这是下一章将要解决的重要问题之一.156156一般情形克莱姆法则的证明存在性.证明克莱姆法则给出的是解.j列不能提出交换求和次序157157唯一性.证明所有解有形式(m)158(m列

)(m列

)(m列

)(m