数学分析6.1拉格朗日定理和函数的单调性(讲义)

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第章分值理其用1拉朗定和数单性一罗定与格日理定6.1罗尔中值定理函数f1在闭区间[2在开区间(可导；3，在(至少存证在闭间[连续值M和值m.若，f在为常数若，在(得又f间(知几含在每一点都可导的一段注件

例：f为R上.证根设a<b；则续，(导，

使矛盾；∴

根.定6.2拉日Lagrange中值定)若函f满1在闭区间[2在开区间(可导；在(至少存格日式).证，符当，设函数又符合罗尔中值定理的所有条件∴又

.的何义上点AB.的形式12

3、f(a+h)-f(a)=例：证明：对一切，h成.证，则

当时，由0<<1知θ，∴

θ<θ当-θ知1>1+θ

θ推I上可导，为I上数证，设a<b在∴存

，使I上任两点值相.推f和g间I上均可导且间I上即f(x)=g(x)+c证，设a<b[符合拉格朗日定理，∴存在，

.又

=，即，由a,b推论导极定在x的某邻U(x连)000

000++000+00+0-000000++000+00+0-00022122121

f点可导，且证则f[符+00∴存在使

，，

=证-00

00例：求分段函数

.解

f(x)=，f(x)=(x+sin∴fx=0处因

(1+2xcos

∴极限定理可知f在处可导，二单函定区间证若f为增函数，则对任x，时00

≥0令得0若间有意,x<x1212

使得

122121322x122121322x在I上为增函数。f为一x，当时，有00

≤0令得0若间有意,x<x1212

使得在I上为减函数。例：设f的单调区间解解方程得x=±.时，f为(,当≤

或时为(

定6.4：若函f在f在减，有推I上可微，若上增)注f在(格点a右连bf在[)例

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