数列通项公式及数列求和(提高)-教案

11全国名校考数学复习优专题，学汇编（附详）授课主题授课类型教学目标授课日期及时段

T

第12---列项式求与列和同步堂P实演S归总熟练掌握等数列和等数列的求公式；掌握数列通公式的基求法：常法、累加法、累乘法、待定系数法取倒数法③掌握数列求的基本方，重点掌裂项相消法、错位相减法。——同步课（Textbook-Based）一知概（）列项式法（）规式：已知数列的前项和与的关系，可用公式

求解；注意：单独讨论n=1的况，只要作下标存n必大于等于2。（）加：适用于已知

n

af(n)n

（

fn

可求和）的情况；则

f(1)2f(2)3f(n)n两边分别相加得

an

nf(n)1k（）乘：适用于已知

n

f(nfnn

要可求积）的情况；即

anf(nan

，则

aa2f，ff(n)aa1n

；两边分别相乘得，

annf(ka1（）定数：①

pa

通过配凑可转化为an

(na(n12

那么数列{

f()

}即为以

为公比的等比数列。111n211n2全国名校考数学复习优专题，学汇编（附详）②

n

n

n

通配凑可转化为：

n

a)2

那数列

n

}即为

为公比的等比数列。（）倒法关于通项的递推关系式变形后含有

nn

项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以

nn

后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出

（）列和方（）接用等差、等比数列的求和公式求和。n

)(n1

(S)n

(

【必须注意分母不为零】（）错位减求如：b的nn12n

（等式两边同乘等比数列的公比，然后错位相减导学生回顾等比数列求和公式的推导过程，总结方法】分求：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。裂相法和把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项：

11111()(nnn1)(222n2nk

考一数通公求例、知项全不为的数列{}前项和为S，且=kkk

a

(k∈

)其中a，数{}1k通项公式。【解析】当，

11

=

及21

=1得

2

=2；

当k≥2时由

k

=

Sk

k

=

1akkk得

(ak

)=2a∵≠0∴kk

k

=2从而

2m

2

=2+(m-1)2=2m∈

)故

k

=k∈

).2nn2全国名校考数学复习优专题，学汇编（附详）例2、已知数列

n

a

1，aa2

1

，求

n【解析】由条件知：

n

n

112nn分别令n1,2,3,

，代入上式得(

个等式累加之，即())234

n

)1111)))33nn所以

1a2

，nn例3设

1的项数列，且

2na2nn

n

n

（=12，，它通项公式是

【解析】已知等式可化为：

(aa)nna

n

(n*

n

n

即

annannn

ann时，annaaaan

1

=

nnn2例4、已知数列{

}足

a

=1，

a

=

a

(

N

)，求数列{

}通项公式。【解析】数列{a是2首项2为比的等比数列，数列{}通项公式为n

n

n

。例5、已知数列

{}n

满足

an

n

，求数列

式。解法一（待定系数法

n

1n

)，比较系数得

1

22

，则数列

n

a1

，公比为2的比数列，3nn1n全国名校考数学复习优专题，学汇编（附详）所以

n

n

，即

n

n解法二（两边同除以

n

两边同时除以3

得：

a24nn3333

，下面解法略；解法三（两边同除以两边同时除以得：

nn

n)32

n

，下面解法略。例6、已知数列

{}n

满足

an

2aaan

，求数列

{}n

的通项公式。【解析】求倒数得

1111111,,差列，a2aaaannnnn首项

1a1

111，公差为，(na2ann考二数求例1、求和：Slnxxx

【解析】法：Slnxlnx

lnx

nln3lnxxnn

①则

n1)lnx3)lnxxlnn

②∴①②：lnxlnxlnnlnn∴

法：Sx

lnx

nS352x

3

5

2nxn4-1--22-11-1--22-112nn全国名校考数学复习优专题，学汇编（附详）n1)]lnxn2x

.例2、数列

{an

}前项和S

n

，已知

a

S=n-(-1=1,2,n（Ⅰ）写出S与Sn

-

(n2)

的递推关系式，并求S关表达式；n（Ⅱ）设

bn

nn

xn

n

(x)

，求数列

{b}前n项和。【解析】由

S=-

(-(得S=2(S

n1

)-n

(n-1

，即：(--Sn

n

=n(-)

，所以

nSnn-

S=1-1

，对

2

成立。由

n1n-3S-S=1，S-S=1，，SS=1n-n-1-22

相加得：nn

S-2=n-

，又

Sa

，所以

n2n+1

，当

1

时，也成立。（Ⅱ）b=nx

。而Tx+x2+x3++(-1)n-n

，xT=x2+2x+x+(n-1)xn+

+

，xx+x++xn

-1

xxn)

-

n+例3、求和

2x2(0)xxx

.【解析】当

xn

；当

x

：Sx

x

x

x

=

(x

n

)

1x5xx22nxx22na全国名校考数学复习优专题，学汇编（附详）=

x

2

2

2

)

n

1x2

2(1x2n2

n

n

(1n

n

例4、设等差数列

项和为

，

511

，数列

前

(n)项和为T，足n数列（Ⅰ）求数列

．ann

的前

项和；（Ⅱ）判断数列

列？并说明理【解析）设数列

d

，由

Sa143,a136

又

24,5

解得

5

，2

，因此

式是

a2n

，所以

n

11()n1)(2222n

，从而前n项的和为

15n1111()352n21()2n6

（II）因为

1

，n4

，T4n

当

时，

1

；当n时，n

；所以

b

b

（n2

若

则有

bb1

而

bb

所与

bb1

矛盾，6nn122nn122442nnn33n全国名校考数学复习优专题，学汇编（附详）故数列

数课狙

P

(Practice-Oriented)

—演1、数列{a}前n项为，nn

1a＝

，

则S等于)817AB﹒C﹒【解析】，裂项相消法。

D2、数列

aa1nn

，则此数列的通项公式．【解析】由

a2aa得，以2(，nn

，所以{

ann

是等比数列，所以

4nn

，即annn3、在数列

n

0,

且满足

(

n

22n

n

n

求。n【解析】十字相乘，然后累乘法。

a

1n4、已知等比数列{}首项为＝，公足q>0且q≠1.已知a5a成差数列．n3,（1求数{}通项；n111（2令b＝，求＋＋…＋的值．nabbbbnn1【解析】∵2×a＝＋，10a＝＋a，31511∴9－＋＝0，∵q>0q≠，∴q＝，∴a＝＝n1

n1(2)∵b＝＝log3＝，＝＝－.bnnnn71223223＋1＋n＋11223223＋1＋n＋1nnn23nn23nn2nnnnn全国名校考数学复习优专题，学汇编（附详）∴＋＋＋bbnn1111111＝－＋－＋…＋－＝－＝.、数列{a}＝，已知点a，1)直线y＝x＋2上n（1求数{}通公式；n（2若b＝，数{}前和T.nn【解析】∵点(，)直线y＝x＋2，n1∴a＝an，即a－a＝n1∴数列{an}以3为项2为差的等差数列，∴an＝32(n1)＝2n(2)∵b＝·3，∴b＝n＋，nn∴＝3×3＋5×3＋7×3＋＋n－1)·3＋(2n1)·3，①n∴3＝＋5×3＋＋－1)·3＋(2n＋1)·3，②n由①－②得－2＝＋＋3＋＋－＋1)·3n＝92×－

－(2n1)·3

∴＝.n、已知数列

{}

满足a

n

n

，求数列

{}

的通项公式。【解析】an

ann

两除以

n

，得

annn

，则

213n3n

，故：aaa)n)n)1)nnan3231221))))33n332(11)n3n32因此

2(2n3312n

，则

1n.228nnn*22nn*nnn*22nn*22nn全国名校考数学复习优专题，学汇编（附详）课反、数列{

}前项和

Sn则2n1

（）A

(2

n

2

B

13

(2

n

C．

4

D．

13

(4

n

【解析】利用公式

n

n

(2)nSn

n

a=2n=1时，a=1=Sn11所以列是比数，=n

2n

所以选择Da2则2211

(1-4）-1）=32、已知数列

a1

1,a24

，求其通项公式。【解析】累加法+裂项相消

an

4n4n3、求和：

n

kkn

(k

,n【解析】

)

)2(n(n1)(2n(n(n66

.4、已知数列{

n

}前项和S

41a333

、、……，{

n

}通项公式。【解析】

n

n

，然后取倒数法））时，

a1

，

时，

(n5、已知函数fx)的图象过点(，)，点(－1∈N)在数fx)的象．(1)求数列{}通公式；n(2)令＝－a，数列{}前n项为，证：S<5.nn2n【解析∵函数f)＝的图象过点，)，1∴a，f)＝()2a1又点(n－1∈)在函数fx)＝a的图象上，从而＝，即＝.n2n2922nnn2n23nn123nn1nn22nnn2n23nn123nn1nn全国名校考数学复习优专题，学汇编（附详）n(2)由＝－＝得，n25nS＝＋＋…＋，n222352nn＋1则S＝＋＋＋＋，222n两式相减得：＝＋2(＋＋…＋)，n22n∴＝－，Sn2、数列{}前n项为，满足n

na,1nn（I）求a与an

n

的关系式，并求{}通公式；n11（II）求和a2a23a【解析2Snan

n两相减(naannnnn,aaaan1（II）

W

111111))]n1))][].n2、错位相减法求和注意事项

如果由等差和等比数列组成，可采用此种方法；善于识别题目类型，特别是等比为负数的情形；必须考虑等比的公比为1的情。102222222nn2222222nn全国名校考数学复习优专题，学汇编（附详）质试题全I理为数列{}前和，己知a＞0annnnnn（I）{}通项公式：n（Ⅱ）设=n

，求数列{}前项和．n【解析）由a，知=4S+3nnn+1n+1n+1两式相减得﹣（﹣），n+1n+1n+1即2a+a）﹣=a﹣an+1nn+1nnn+1n∵＞0，∴﹣a=2nn+1n∵+2a=4a+3，111∴=﹣（舍）或a=3，1则{}首为，公差