华师大版九下数学2圆的认识导学案

圆的认识学习目标、重点、难点【学习目标】理解圆及弦、弧、圆心角、圆周角的概念.了解弧、弦、圆心角的关系，以及圆的对称性及垂径定理.探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径与圆周角的特征.【重点难点】1、圆的对称性、圆周角的一些性质.2、垂直于弦的直径的性质定理.知识概览图弦：连接圆上任意两点的线段圆的基本元素弧：圆上任意两点间的部分圆的基本元素圆心角：顶点在圆心的角圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角旋转不变性圆圆的对称性轴对称性圆中心对称性同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧圆的重要定理半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°圆的重要定理90°的圆周角所对的弦是直径在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，反之，相等的圆周角所对的弧相等新课导引【生活链接】使用曲尺检验工件的凹面，成半圆的为合格，如图所示的三种情况中，哪种是不合格的?哪种是合格的?请你做出准确判断．【问题探究】由于凹面成半圆才算合格，所以必须使曲尺直角顶点位于圆周上，且曲尺的两条直角边与凹面开口两端相接才可以．这将用到我们即将学习的圆周角的有关知识．【点拨】图②所示的工件是合格的，图①，图③所示的工件不合格．教材精华知识点1圆及圆的基本元素圆的定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．(如图28－1所示)以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．圆的定义2：平面上到定点O的距离等于定长(OA)的所有点组成的图形叫做圆，定点O叫做圆心，线段OA叫做圆的半径．弦的定义：连接圆上任意两点的线段，叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．如图28－2所示，AB，AC，BC都是⊙O的弦．直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦．弧的定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．如图28－2所示，曲线BC，AB，BAC都是⊙O中的弧，记为BC，AB，BAC像BC，AB这样小于半圆周的弧叫做劣弧，像BAC这样大于半圆周的弧叫做优弧．圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图28－2所示，∠AOB，∠BOC就是圆心角．知识点2圆的对称性圆的对称性包括：轴对称性、中心对称性、旋转不变性．圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．圆的旋转不变性：圆围绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．例如：如图28－3(1)所示，CD是⊙O的一条直径，AB是⊙O的弦．若AB⊥CD于E，则有：(1)AE＝BE；(2)AD＝BD；(3)AC＝BC．进一步，我们还可以得到结论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．拓展(1)这个结论涉及到圆中不是直径的弦与直径的关系．如果圆的一条非直径的弦和一条直线满足以下五个条件中的任意两个，那么它一定满足其余三个：①直线过圆心；②直线垂直于弦；③直线平分弦；④直线平分弦所对的优弧；⑤直线平分弦所对的劣弧．(2)对结论中“弦”的限制条件不能去掉，否则该结论不一定成立．圆心角、弧、弦的关系：圆心角相等弧相等弦相等．如图28－3(2)所示，在⊙O中，若∠AOB＝∠A′OB′，则∠AOB与∠A′OB′所对的弧相等，所对的弦相等．若AB＝A′B′，则AB和A′B′所对的圆心角相等，所对的弦相等．若AB＝A′B′，则AB和A′B′所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．拓展(1)①由于圆的对称性是圆的一个本质属性，掌握圆的对称性就可以很容易推出圆的一些重要性质，因此以上结论的得出应建立在动手实验、观察、分析、总结的基础上．②圆心角、弧、弦之间的关系只有在同圆或等圆中才成立．(2)在同一圆中，一条弦所对的弧有两条，在应用过程中要注意区分．探究交流如图28－4所示的是两个相等的圆相交形成的图形，下列结论正确的是()A．它既是中心对称图形，又是轴对称图形B．它是中心对称图形，但不是轴对称图形C．它是轴对称图形，但不是中心对称图形D．它既不是中心对称图形，也不是轴对称图形点拨它是轴对称图形，对称轴是两圆圆心所在直线或以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线，也是中心对称图形，对称中心为两圆圆心所在直线与公共弦(连接两圆交点的弦)的交点，所以选A．这里容易忽略它是中心对称图形．知识点3圆周角的识别圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．例如：观察如图28－5所示的图形，哪个角是圆周角?解：图(3)所示的角为圆周角．拓展(1)判断一个角是否为圆周角，就要看它是否具备两个条件：①角的顶点在圆周上；②角的两边都与圆相交．(2)在圆中，同一段弧所对的圆周角有无数个，如图28－6所示．知识点4圆周角和圆心角的关系直径所对的圆周角的特征．(1)半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°(直角)．(2)90°的圆周角所对的弦是圆的直径．探究交流(1)AB为半圆的直径，C为半圆上一点，且AC∶CB＝1∶4，CD⊥AB于点D．若AB＝1，则CD＝；(2)如图28－7所示，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，那么等于()A．sin∠BPDB．cos∠BPDC．tan∠BPDD．cot∠BPD点拨(1)∵AB为半圆的直径，∴∠ACB＝90°．∵CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴＝＝()2＝，即BD＝16AD．又∵AB＝BD＋AD＝1，∴AD＝·BD＝．∵CD2＝AD·BD，∴CD＝．故填．(2)本题主要考查直径所对的圆周角是直角，同时涉及了相似三角形和锐角三角函数的知识．将转化为某一直角三角形中两条线段之比．连接AC，BD，∵∠BAD＝∠BCD，∠CBA＝∠CDA，∴△PCD∽△PAB，∴＝．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°．在Rt△PDB中，＝cos∠BPD，即＝cos∠BPD．故选B．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．拓展在同圆或等圆中给出了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，而在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间又有一定的关系，从而也就把圆周角、弧、弦、圆心角联系了起来．探究交流在⊙O中，AB所对的圆心角有个，AB所对的圆周角有个，弦AB所对的圆心角有个，弦AB所对的圆周角有个．点拨这个小题把弧、圆心角、弦、圆周角紧密结合，并揭示得很清楚．AB所对的圆心角有1个，AB所对的圆周角有无数个，弦AB所对的圆心角有1个，弦AB所对的圆周角有无数个．故依次填1，无数，1，无数．|规律方法小结|在本节的学习中，主要应通过动手实践，经历观察、操作、推理、交流等过程，在原有的认知发展水平和已有的知识经验基础上，通过主动、富有个性的学习，进一步理解“从特殊到一般”“分类讨论”等数学思想．课堂检测基本概念题1、如图28－8所示，是直径，是弦，是劣弧，是优弧．2、如图28－9所示，图中有多少条弧?多少条弦?多少个圆周角?多少个圆心角(小于180°)?基础知识应用题3、下列说法正确的是()A．相等的圆周角所对的弧相等B．90°的圆周角所对的弦是直径C．圆周角的度数等于圆心角的度数的一半D．同圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等4、如图28－10所示，以⊙O的直径BC为一边作等边三角形ABC，AB，AC交⊙O于D，E两点，试判断BD，DE，EC三条线段之间的数量关系．5、如图28－11所示，在半径为5cm的⊙O中，圆心到弦AB的距离OC＝3cm，则弦AB的长是()A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm综合应用题6、如图28－12所示的是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝10米，净高CD＝7米，则此圆的半径OA等于()A．5米B．7米C．米D．米7、如图28－13所示，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是()A．50°B．40°C．30°D．25°8、如图28－14所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，以C为圆心，CA为半径的圆交斜边AB于D，求AD的长．9、如图28－15所示，A，B，C是⊙O上的三个点，连接AB和AC的中点D，E的弦分别交弦AB，AC于F，G，试判断△AFG的形状．探索与创新题10、如图28－16所示，在小岛周围的APB内有暗礁，在A，B两点建立两座航标灯塔，且∠APB＝θ，航船要在两航标灯塔的北侧绕过暗礁区，应怎样航行?为什么?11、如图28－17所示，∠ABC的顶点B在⊙O外，BP是它的平分线，BA与圆的另一个交点为K，过K作BP的垂线交圆O于Q，交BC于点M，求证QM等于圆心O到BP的距离OR的2倍。12、如图28－18(1)所示，AB为⊙O的直径，弦EF⊥AB于N，AC交EF于点D．(1)求证AE2＝AD·AC；(2)若AC绕点A旋转到如图28－18(2)(3)所示的位置时，其他条件不变，则原结论是否成立?选出其中一个图给予证明．13、如图28－19所示，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点，从数学角度看，此时甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好?体验中考1、如图28－26所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB的度数为．2、如图28－27所示，半径为5的⊙P与y轴交于点M(0，－4)，N(0，－10)，若函数y＝(x＜0)的图象过点P，则k＝．3、如图28－28所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．(1)若∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；(2)若OC＝3，OA＝5，求AB的长．4、已知，如图28－29所示，M是AB的中点，过点M的弦MN交AB于C，设⊙O的半径为4cm，MN＝4cm．(1)求圆心O到弦MN的距离；(2)求∠ACM的度数．5、如图28－30所示，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监控器，它的监控角度是65°，为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监控器台．6、如图28－31所示，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB＝8cm，OC＝3cm，则⊙O的半径为cm．7、如图28－32所示，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1，则弦AB的长是．8、如图28－33所示，在⊙O中，∠ABC＝40°，则∠AOC＝度．9、如图28－34所示，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°，∠ABC＝60°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连接DC，则∠AEB等于()A．70°B．110°C．90°D．120°10、如图28－35所示，⊙O中弦AB，DC的延长线相交于点P，如果∠AOD＝120°，∠BDC＝25°，那么∠P＝．11、若⊙O的半径为5厘米，圆心O到弦AB的距离为3厘米，则弦长AB为厘米．12、如图28－36所示，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为BC上一点，若∠CEA＝28°，则∠ABD＝度．13、如图28－37所示，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为E，且CD＝2，BD＝，则AB的长为()A．2B．3C．4D．514、如图28－38所示，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为．15、如图28－39所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是()A．2cmB．3cmC．4cmD．4cm学后反思 附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题主要考查对圆的基本概念的理解，要求能在图形中进行准确识别．答案：ADAC，ADAC，CDCAD，CDA2、分析本题主要考查的是对弧、弦、圆心角、圆周角等基本概念的理解．解：共有12条弧，4条弦，5个圆周角，2个圆心角．3、分析本题的A，C项容易忽略使用的前提是在同圆或等圆中，而D项除了相等外也可能互补．故选B．4、解：连接BE，CD．∵BC是⊙O的直径，∴∠BEC＝90°，即BE⊥AC.∵△ABC是等边三角形，∴∠ABE＝∠CBE，∴DE＝EC．同理DE＝BD，∴BD＝DE＝EC，∴BD＝DE＝EC．5、分析本题主要考查垂径定理的应用．连接OA，构造直角三角形OAC，∵OA＝5cm，OC＝3cm，∴AC＝＝4(cm)．由垂径定理，得AC＝AB，∴AB＝2AC＝8(cm)．故选C．6、分析因为CD⊥AB，所以AD＝AB＝5(米)．因为CD＝7(米)，所以OD＝CO－OC＝7－OA．因为OA2－OD2＝AD2，所以OA2－(7－OA)2＝25，解得OA＝(米)．故选D．7、分析因为DE∥OA，∠D＝50°，所以∠AOD＝∠D＝50°，所以∠C＝∠AOD＝25°．故选D．8、分析本题主要考查垂径定理的应用．遇到弦的问题往往要作出弦心距．在直角三角形中，可用面积作为等量关系求出CE，进而求出AD．解：过C作CE⊥AB于E，则AD＝2AE．在Rt△ABC中，AC＝5cm，BC＝12cm．∴AB＝＝13(cm)．∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CE，∴CE＝(cm)．∴AE＝(cm)，∴AD＝2AE＝(cm)．【解题策略】在研究半径、弦、弦心距三者之间的关系时，通常都要与垂径定理相联系．如果在直角三角形中利用垂径定理，千万别忘了勾股定理，有时也可以用面积作为等量关系列式．9、分析本题主要考查垂径定理与等腰三角形的性质定理的综合应用．∵D，E分别是弧AB，AC的中点，很容易联想到垂径定理，∴连接OD，OE，要判断△AFG的形状，可考虑∠3＝∠4．解：△AFG是等腰三角形．理由如下：连接OD，OE，分别交AB，AC于H，I．∵D为AB的中点，∴OD⊥AB．∴∠DHA＝90°．同理∠EIA＝90°．∵OD＝OE，∴∠D＝∠E．在Rt△DHF中，∠1＋∠D＝90°．在Rt△EIG中，∠2＋∠E＝90°．∴∠1＝∠2．又∵∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠3＝∠4，∴AF＝AG．∴△AFG是等腰三角形．10、分析本题主要考查圆周角与三角形的外角的性质的灵活应用．解：航船在航行的过程中，始终保持对两灯塔A，B的视角小于θ，即可安全绕过暗礁区．理由如下：①在APB外任取一点C，连接CA，CB，设CA交APB于F，连接FB．∵∠AFB＝∠APB＝θ，∠AFB＞∠C，∴∠C＜θ．②在APB内任取一点D，连接AD并延长，交APB于E，连接DB，EB．∵∠E＝∠APB＝θ，∠ADB＞∠E，∴∠ADB＞θ．由①②知，在航标灯塔A，B所在的直线北侧，APB外的任一点对A，B的视角都小于θ，APB上的任一点对A，B的视角都等于θ，APB内的任一点对A，B的视角都大于θ．因此，只有对灯塔的视角小于θ的点才是安全点．【解题策略】本题考查圆周角的应用，应增强理解题意的能力．11、分析为了证明QM＝2OR，一种常用的方法是设法作出2OR，而最简单的方法是作O关于BP的对称点O′，故只需证OO′＝QM即可．证明：过O作BP的垂线交BP于点R，延长OR到O′点，使O′R＝RO．∵OO′⊥BP，KQ⊥BP，∴OO′∥KQ，即OO′∥QM．连接OQ，OK，O′M，则∠Q＝∠OKQ．∵点K，M分别在∠ABC的两边上，且MK⊥BP，BP为∠ABC的平分线，∴点M，K关于BP对称．又O，O′关于BP对称，∴∠O′MK＝∠OKM，即∠O′MK＝∠Q，∴OQ∥O′M，∴四边形OO′MQ为平行四边形，∴QM＝OO′＝20R，∴结论成立．|规律·方法|本题综合应用了转化的思想和对称的方法，适当地添加辅助线是解决问题的一种有效工具．12、分析要证AE2＝AD·AC，只需证△ADE∽△AEC，而由垂径定理知AF＝AE，故∠1＝∠C，从而△ADE∽△AEC，问题(2)的关键是要确定变换前后的哪些量变化了、哪些量没变、要证明什么问题、证明方法与证明(1)时相同．证明：(1)连接CE，∵AB为⊙O的直径，EF⊥AB，∴AE＝AF，∴∠1＝∠C．∵∠EAC＝∠EAC，∴△EAD∽△CAE，∴，∴AE2＝AC·AD．解：(2)原结论成立．选择图(2)来证明，过程如下：连接CE，∵AB为⊙O的直径，EF⊥AB，∴AE＝AF，∴∠AEF＝∠ACE．∵∠EAD＝∠EAC，∴△AEC∽△ADE，∴，∴AE2＝AC·AD．|规律·方法|本题运用了转化思想，通过证明三角形相似，得出结论；在问题(2)的解答中，运用了类比思想，通过类比第(1)小题得出结论．13、分析要确定较好的射门位置，关键看这两个点各自对球门MN的张角的大小．当张角较小时，球容易被对方守门员拦住(比赛时情况复杂，这里只从数学的静态角度来考虑)．解：可过M，N以及A，B中的一点作圆，不妨过M，N，B作圆，显然A点在圆外．设MA交圆于点C，连接NC，则∠MAN＜∠MCN．∵∠MCN＝∠MBN，∴∠MAN＜∠MBN，∴应从B点射门，即由乙来射门．体验中考1、分析：本题比较容易，考查圆的相关性质，根据∠ACO＝32°可知∠CAO＝32°．从而∠COB＝64°．答案：64°2、分析设P(x，y)，作PA⊥y轴于点A，由垂径定理可知PA＝4，则x＝－4，y＝－7，所以P(－4，－7)，k＝xy＝28．答案：283、解：(1)∵CD⊥AB，∴AD＝BD，∴∠DEB＝∠AOD＝×52°＝26°．(2)∵OD⊥AB，∴AC＝BC，△AOC为直角三角形．∵OC＝3，OA＝5，由勾股定理知AC＝＝4，∴AB＝2AC4、分析本题难度不大，主要考查垂径定理及三角函数等知识的综合应用．解：(1)连接OM，∵点M是AB的中点，∴OM⊥AB．过点O作OD⊥MN于点D，由垂径定理，得MD＝MN＝2．在Rt△ODM中，OM＝4，MD＝2，∴OD＝＝2，故圆心O到弦MN的距离为2cm．(2)cos∠OMD＝．∴∠OMD＝30°，∴∠ACM＝60°．5、分析本题难度中等，考查圆的相关性质，解本题时，要透过现象看本质，因为一台监控器的监控角度是65°，这个角就是圆周角，所以它所对的弧的度数为130°，而一个圆周角是360°，＝2，因此，为了监控整个展厅，应采用进一法取近似值．答案：3