人教数学A版《平面向量的实际背景及基本概念》同步练习

《平面向量的实际背景及基本概念》同步练习一、选择题1．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量eq\o(OA,\s\up6(→))外，与向量eq\o(OA,\s\up6(→))共线的向量共有()A．6个 B．7个C．8个 D．9个[答案]D[解析]与向量eq\o(OA,\s\up6(→))共线的向量有：eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))，故共有9个．2．在下列判断中，正确的是()①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．A．①②③ B．②③④C．①②⑤ D．①③⑤[答案]D[解析]由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．显然，③、⑤正确，④不正确，所以答案是D.3．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|且eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，则四边形ABCD的形状为()A．平行四边形 B．矩形C．菱形 D．等腰梯形[答案]C[解析]∵eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|，∴四边形为菱形．4．已知圆心为O的⊙O上三点A、B、C，则向量eq\o(BO,\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→))、eq\o(OA,\s\up6(→))是()A．有相同起点的相等向量B．长度为1的向量C．模相等的向量D．相等的向量[答案]C[解析]圆的半径r＝|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|不一定为1，故选C.5．下列关于向量的结论：(1)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；(2)向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；(3)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；(4)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.其中正确的序号为()A．(1)(2) B．(2)(3)C．(4) D．(3)[答案]D[解析](1)中只知|a|＝|b|，a与b的方向不知，故(1)不对；不要让实数的性质|x|＝a，则x＝±a，错误迁移到向量中来．(2)没告诉是非零向量，故(2)不对，因为零向量的方向是任意的．(3)正确．对于任一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的，因此相等向量可以起点不同．(4)向量与数不同，向量不能比较大小．6．四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系不一定成立的是()A．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(EF,\s\up6(→))|\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(FH,\s\up6(→))共线\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(EH,\s\up6(→))共线\o(DC,\s\up6(→))与eq\o(EC,\s\up6(→))共线[答案]C[解析]∵三个四边形都是菱形，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(EF,\s\up6(→))|，AB∥CD∥FH，故eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(FH,\s\up6(→))共线，又三点D、C、E共线，∴eq\o(DC,\s\up6(→))与eq\o(EC,\s\up6(→))共线，故A、B、D都正确．当ABCD与其它两个菱形不共面时，BD与EH异面．7．下列命题正确的是()A．向量a与b共线，向量b与c共线，则向量a与c共线B．向量a与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线C．向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线D．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量[答案]D[解析]当b＝0时，A不对；如图a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，c＝eq\o(BC,\s\up6(→))，b与a，b与c均不共线，但a与c共线，∴B错．在▱ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线，但四点A、B、C、D不共线，∴C错；若a与b有一个为零向量，则a与b一定共线，∴a，b不共线时，一定有a与b都是非零向量，故D正确．8．下列说法正确的是()①向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))是平行向量，则A、B、C、D四点一定不在同一直线上②向量a与b平行，且|a|＝|b|≠0，则a＋b＝0或a－b＝0③向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度与向量eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等④单位向量都相等A．①③ B．②④C．①④ D．②③[答案]D[解析]对于①，向量平行时，表示向量的有向线段所在直线可以是重合的，故①错．对于②，由于|a|＝|b|≠0，∴a，b都是非零向量，∵a∥b，∴a与b方向相同或相反，∴a＋b＝0或a－b＝0.对于③，向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(BA,\s\up6(→))方向相反，但长度相等．对于④，单位向量不仅仅长度为1，还有方向，而向量相等需要长度相等而且方向相同．选D.二、填空题9．如图ABCD是菱形，则在向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))、eq\o(DA,\s\up6(→))、eq\o(DC,\s\up6(→))和eq\o(AD,\s\up6(→))中，相等的有________对．[答案]2[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).其余不等．10．给出下列各命题：(1)零向量没有方向；(2)若|a|＝|b|，则a＝b；(3)单位向量都相等；(4)向量就是有向线段；(5)两相等向量若其起点相同，则终点也相同；(6)若a＝b，b＝c，则a＝c；(7)若a∥b，b∥c，则a∥c；(8)若四边形ABCD是平行四边形，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→)).其中正确命题的序号是________．[答案](5)(6)[解析](1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不定；(2)该命题不正确，|a|＝|b|只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同；(3)该命题不正确，单位向量只是模为单位长度1，而对方向没要求；(4)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；(5)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；(6)该命题正确．由向量相等的定义知，a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同，b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故a＝c；(7)该命题不正确．因若b＝0，则对两不共线的向量a与c，也有a∥0,0∥c，但a∥\c；(8)该命题不正确．如图所示，显然有eq\o(AB,\s\up6(→))≠eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))≠eq\o(DA,\s\up6(→)).11．已知A、B、C是不共线的三点，向量m与向量eq\o(AB,\s\up6(→))是平行向量，与eq\o(BC,\s\up6(→))是共线向量，则m＝________.[答案]0[解析]∵A、B、C不共线，∴eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))不共线，又∵m与eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))都共线，∴m＝0.三、解答题12．如图所示，点O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))相等的向量；(2)写出与eq\o(AO,\s\up6(→))共线的向量；(3)写出与eq\o(AO,\s\up6(→))的模相等的向量；(4)向量eq\o(AO,\s\up6(→))与eq\o(CO,\s\up6(→))是否相等？[解析](1)eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))；(2)与eq\o(AO,\s\up6(→))共线的向量为：eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))；(3)|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝|eq\o(CO,\s\up6(→))|＝|eq\o(DO,\s\up6(→))|＝|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝|eq\o(BF,\s\up6(→))|＝|eq\o(CF,\s\up6(→))|＝|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝|eq\o(DE,\s\up6(→))|；(4)不相等．13．如图所示，四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，N、M是AD、BC上的点，且eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→)).求证：eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→)).[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．∴|eq\o(DA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|，且DA∥CB.又∵eq\o(DA,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))的方向相同，∴eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→)).同理可证：四边形CNAM是平行四边形，∴eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(NA,\s\up6(→)).∵|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DA,\s\up6(→))|，|eq\o(CM,\s\up6(→))|＝|eq\o(NA,\s\up6(→))|，∴|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DN,\s\up6(→))|，DN∥MB，即eq\o(DN,\s\up6(→))与eq\o(MB,\s\up6(→))的模相等且方向相同．∴eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→)).14．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量共有几个；(2)与eq\o(AB,\s\up6(→))平行且模为eq\r(2)的向量共有几个？(3)与eq\o(AB,\s\up6(→))方向相同且模为3eq\r(2)的向量共有几个？[分析]非零向量平行(共线)包括两种情况：一种是方向相同，另一种是方向相反．[解析](1)与向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量共有5个(不包括eq\o(AB,\s\up6(→))本身)．(2)与向量eq\o(AB,\s\up6(→))平行且模为eq\r(2)的向量共有24个．(3)与向量eq\o(AB,\s\up6(→))方向相同且模为3eq\r(2)的向量共有2个．15．如图所示，已知▱ABCD，▱AOBE，▱ACFB，▱ACGD，▱ACDH，点O是▱ABCD的对角线交点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c.(1)写出图中与a相等的向量；(2)写出图中与b相等的向量；(3)写出图中与c相等的向量．[解析](1)在▱OAEB中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))＝a；在▱ABCD中，eq\o(CO,\s\up6(→