分类计数原理和分步计数原理

关于分类计数原理和分步计数原理第一页，共二十页，编辑于2023年，星期日甲问题1

从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有3班，汽车有2班。那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？乙火车2火车1火车3汽车1汽车23+2=5（种）第二页，共二十页，编辑于2023年，星期日分类计数原理分类计数原理又称“加法原理”

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1

种不同的方法，在第2类方法中有m2

种不同的方法，…，在第n类办法中有mn

种不同的方法，那么完成这件事共有

N＝m1

＋m2

＋＋mn种不同的方法第三页，共二十页，编辑于2023年，星期日关于分类计数原理的几点注记：

⑴各类办法之间相互独立，都能完成这件事，且办法总数是各类办法相加，所以这个原理又叫做加法原理；⑵分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类；⑶完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同两类的两种方法都是不同的——不重不漏．第四页，共二十页，编辑于2023年，星期日火车2火车1火车3问题2

从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？甲乙丙汽车2汽车1火车1－汽车1火车1－汽车2火车2－汽车1火车2－汽车2火车3－汽车1火车3－汽车2第五页，共二十页，编辑于2023年，星期日分步计数原理完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第ｎ步有种不同的方法．那么完成这件事共有N＝种不同的方法．分步计数原理又叫作“乘法原理”第六页，共二十页，编辑于2023年，星期日关于分步计数原理的几点注记⑴各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤的方法数相乘，所以这个原理又叫做乘法原理；⑵分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标准，然后在确定的分步标准下分步；

⑶完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完成每一个步骤．更多资源

第七页，共二十页，编辑于2023年，星期日分类计数原理与分步计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题．区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．第八页，共二十页，编辑于2023年，星期日例题例1

书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书。（1）从书架上任取一本书，有多少种取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的取法?

注意区别“分类”与“分步”第九页，共二十页，编辑于2023年，星期日解:

(1)从第1层任取一本,有4种取法,从第2层任取一本,有3种取法,从第3层任取一本,有2种取法,共有

4+3+2=9种取法。答：从书架上任意取一本书，有9种不同的取法。(2)从书架的1、2、3层各取一本书,需要分三步完成,第1步,从第1层取1本书,有4种取法,第2步,从第2层取1本书,有3种取法,第3步,从第3层取1本书,有2种取法.由分步计数原理知,共有

4×3×2=24种取法。答：从书架上的第1、2、3层各取一本书，有24种不同的取法。分类时要做到不重不漏分步时做到不缺步第十页，共二十页，编辑于2023年，星期日例2一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共10个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码?本题的特点是数字可以重复使用，例如0000，1111，1212等等，与分步计数原理比较，这里完成每一步的方法数m=10，有n=4个步骤,结果是总个数N=10×10×10×10=104

解：由于号码锁的每个拨号盘有0到9这10个数字，每个拨号盘的数字有10种取法。根据分步计数原理，4个拨号盘上各取1数字组成的个数是答：可以组成10000个四位数字号码。N=104

。一般的，完成一件事有n个步骤，每一步骤的方法数相同，都是m,则完成这件事共有种不同方法。（牢记：步骤数n是指数！）mn第十一页，共二十页，编辑于2023年，星期日3.四名研究生各从A、B、C三位教授中选一位作自己的导师，共有______种选法；三名教授各从四名研究生中选一位作自己的学生，共有_____种选法。2.在1~20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?答.：(10×9+10×9)/2=90（种）.43

1.某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯口,问从1楼到5楼共有多少种不同的走法?答：3×3×3×3=34=81（种）练习

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第十二页，共二十页，编辑于2023年，星期日例3

要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？解：从3名工人中选出2名分别上日班和晚班，可以看成是经过先选1名上日班，再选1名上晚班这两个步骤完成。先选1名上日班，共有3种选法；上日班的工人选定后再选1名上晚班，上晚班的工人有2种选法，根据分步计数原理,所求的不同的选法数是答：有6种不同的选法。第十三页，共二十页，编辑于2023年，星期日

日班晚班甲乙丙丙乙甲乙甲丙相应的排法不同排法如下图所示甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙

日班晚班练习P86

练习2、3、4、5第十四页，共二十页，编辑于2023年，星期日例4

有数字1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字许重复）？解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这仍有5种选法；第三步确定十位上的数字，同理，它也有5种选法。根据分步计数原理，得到组成的三位数的个数是：

N=5×5×5=53=125

答：可以组成125个三位数。第十五页，共二十页，编辑于2023年，星期日例5:满足AB={1,2}的集合A,B共有多少种?解析:

法一

A,B均是{1,2}的子集:Ø,{1},{2},{1,2},但不是随便两个子集搭配都行,本题犹如含AB的两元不定方程,其全部解分为四类:1.当A=Ø时,只有B={1,2}得1组解;2.当A={1}时,B={2}或{1,2},得2组解;3.当A={2}时,B={1}或{1,2},得2组解;备选例题第十六页，共二十页，编辑于2023年，星期日4.当A={1,2}时,B=Ø或{1}或{2}或{1,2},得4组解由加法原理,共有1+2+2+4=9组解法2:设A,B为两个“口袋”,需将两种元素(1与2)装入,任一元素至少装入一个袋中分两步可办好此事:第1步装“1”,可装入A不装入B,也可装入B不装入A,还可既装入A又装入B,有3种装法;第2步装“2”,同样有3种装法.由乘法原理,共有

3×3=9种装法第十七页，共二十页，编辑于2023年，星期日

1．一件工作可以用两种方法完成。有5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成。选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？2．乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+ｃ5)展开后共有项？

4+5=9３×４×５＝６０练习2：1、把四封不同的信任意投入三个信箱中,不同投法种数是()A.12B.64C.81D.72、火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有（）种A.510B.105C.50D.以上都不对练习1：CA第十八页，共二十页，编辑于2023年，星期日总结：１．分类计数原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第一类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那麽完成这件事共有N=m1+m2+……+mn

种不同的方法。

分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不