【单元练】成都市九年级数学上册第二十四章《圆》经典习题(培优练)

一、选择题AB是ОCB,CD是О的弦，且CBCD,CDABE，连接OD．若AOD40则的度数是（）20解析：B【分析】

B．35 C．40 D．55B连接BD，得到∠DOB=140°，求出∠CDB，∠ODB即可；【详解】如图：连接BD，∵∠AOD=40°，∴∠DOB=180°-40°=140°，∴∠DCB=1∠DOB=70°，2∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB=55°，∵DO=BO，∴∠ODB=∠OBD=20°，∴∠CDO=∠CBO，∴∠CDO=∠CDB-∠ODB=35°，故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识；P10cm6cm，则此圆的半径为（）8cm解析：C【分析】5cm或3cm C．8cm或2cm D．3cmCPP“一个点到”可知，点P或差即是圆的直径，进而即可得出半径的长．【详解】P10+6=16cm8cm．P10-6=4cm2cm．C．【点睛】本题考查了圆的有关性质，熟知一个点到圆的最大距离和最短距离都在过圆心的直线上是解题的关键．在平面直角坐标系中，以点(3,45作圆，则原点一定（）解析：C【分析】

在圆外 C．在圆上 D．在圆内C设点（-3，4）为点P，原点为点O，先计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法求解．【详解】解：∵设点（-3，4）为点P，原点为点O，323242

＝5，而⊙P的半径为5，∴OP等于圆的半径，∴点O在⊙P上．故选：C．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．下列事件属于确定事件的为（）氧化物中一定含有氧元素C解析：A【分析】

弦相等，则所对的圆周角也相等D．物体不受任何力的时候保持静止状态根据确定事件的概念，可知需找出必然事件或不可能事件即可.【详解】A、氧化物是含有两种元素其中一种是氧元素的化合物，必然事件；BC、戴了口罩一定不会感染新冠肺炎，不确定事件；D、物体不受任何力的时候保持静止状态或匀速运动，不确定事件.故选A.【点睛】本题考查事件的划分，必然事件和不可能事件统称为确定事件，确定事件中，必然出现的事情称为必然事件；不可能出现的事情称为不可能事件.①是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到ACBD12cmCD两点之间的距离为，圆心角为60，则图中摆盘的面积是（）A．12cm2解析：C【分析】

B．cm2 C．cm2 D．cm2C阴影 扇形首先证△OCD是等边三角形，求出再根据阴影 扇形【详解】CD．∵O=60°，∴△OCD是等边三角形，∴OC=OD=CO=3cm，∴OA=OC+AC=15cm，∴OB=OA=15cm，∴S 阴影

6015260360 360

=36cm2．故选C．【点睛】

nr2本题考查了扇形的面积，等边三角形的性质与判定等知识．扇形的面积=360．今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15该问题的答案是（）A．8.5 B．17 C．3 D．6D解析：D【分析】先根据勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形内切圆半径公式求出半径，从而得到直径．【详解】解：根据勾股定理，斜边是15217，直角三角形的内切圆半径815173，2∴直径是6．故选：D．【点睛】本题考查三角形的内切圆，解题的关键是掌握直角三角形内切圆半径的求解方法．如图，ABCA是

O30，边ACAB分别交OEDED作OFF恰BC上，连接OC，若O的半径为6，则OC的最大值为（）A．39 3解析：A【分析】

B．210 3 C．35 3 D．53A先推出∠DOE=2∠DAE=60°，连接OE，OD，OF，证明Rt△EFO≌Rt△DFO，得到∠∠DOF=30°Rt△EFO中，∠EOF=30°EF23，推出点C在以EF为直径的半圆上，设EF中点为G，得出当OC经过半圆圆心G时，OC最长，即OC的值最大，求出OG，CG即可得出答案．【详解】在△ABC中，∠∠BAC=30°，∠DAEDE∠DOEDE所对的圆心角，∴∠DOE=2∠DAE=60°，连接OE，OD，OF，∵ED作OF，∴∠FEO=∠FDO=90°，EODO∴Rt△EFORt△DFO中FOFO，∴Rt△EFO≌Rt△DFO（HL），∴∠EOF=∠DOF=30°，又∵EO=6，在Rt△EFO中，∠EOF=30°，∴EF=23，又∵点F恰好是腰BC上的点，∠ECF=90°，∴点CEF为直径的半圆上，∴设EF中点为G，则EG=FG=CG=1

1EF=

×23= 3，2 2∴当OC经过半圆圆心G时，OC最长，即OC的值最大，在Rt△OEG中，OE=6，EG= 3，∴OG= OE2EG2= 39，∴OC=OG+CG= 39+ 3，故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆的性质，证明Rt△EFO≌Rt△DFO是解题关键．1cm的P9πcm，12πcm，15πcm的三角形外沿三遍滚动（没有滑动）一周，则圆P所扫过的面积为（）cm23π解析：A【分析】5π C．76π D．77πA圆在三角形的三个角的顶点处旋转的路线是弧，通过观察可以发现圆转动时在三个角上共转动了圆心角360°，所以在三个顶点处转了一个圆的面积，在三个边上滚过的图形是以三角形边长为长，圆的直径为宽的矩形，然就分别计算，最后求和．【详解】解：根据运动特点可知三个顶点处转了一个圆的面积，在三个边上滚过的图形矩形∴圆P所扫过的面积=π+（9π+12π+15π）×2=73π故选：A【点睛】解答本题的关键是，找出圆滚动一周的图形，并将图形进行分割，拼组，化难为易，列式解答即可．如图，CDAB为直径的O上的两个动点（、D、B重合），在运动过程中弦CD始终保持长度不变，M是弦CD的中点，过点C作CPAB于点P．若CD3AB5PMxx的最大值是（）A．4解析：C【分析】如图：延长CP交的值最大．【详解】

B．5 C．2.5 D．23CONDNPM1DNDNPM2解：如图：延长CP交ABCN，CPPN，CMDM，1

O于N，连接DN．PM2DN，5DNPM2C．【点睛】本题考查是圆的综合题，垂径定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．一个圆锥的底面直径为4cm，其侧面展开后是圆心角为90°面积等于（）A．4πcm2 B．8πcm2 C．12πcm2 D．16πcm2请点击修改第II卷的文字说明

第II卷（非选择题）参考答案D解析：D【分析】设展开后的圆半径为r，根据圆锥性质可知底面周长就等于展开后扇形的弧长，然后算出展开后扇形的半径，进而计算出扇形的面积．【详解】解：设展开后的扇形半径为r，由题可得：=2r解得r=81∴S=4×82=16故选：D【点睛】此题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥侧面展开图与各部分对应情况是解题关键．二、填空题AOBAOB90CDEFCABD在OBEOBCDEF2时，阴影部分的面积为 ．π﹣2【分析】连结OC根据勾股定理可求OC的长根据题意可得出阴影部分的面积＝BOC的面积﹣ODCAOB中∠AOB＝90°正方形CDEF解析：π﹣2【分析】连结OC，根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．【详解】解：连接OC，∵在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，∴∠COD＝45°，∴OC＝2CD＝2 2，∴阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积45(2 2)2 1＝ ﹣ ×22360 2＝π﹣2．故答案为：π﹣2．．【点睛】本题考查了扇形面积的计算以及正方形的性质，解题的关键是得到扇形半径的长度．已知OAB10cm，CD是OAECDE，BFCD，垂足为点F，且CD8cm，则BFAE的长6OH⊥CDHAHAHBFKOCAE=FKOHBKOH⊥CDHAHAHBF于解析：6【分析】OH⊥CD于HAHAHBFKAE=FK，利用勾股定OH，再利用三角形的中位线定理求出BK即可解决问题．【详解】OH⊥CD于HAHAHBFK∵OH⊥CD，∴CH=DH=4（cm），∠CHO=90°，∴OH= OC2CH2 5242=3（cm），∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴AE∥OH∥BF，∵OA=OB，∴EH=FH，∵∠AEH=∠KFH=90°，∠AHE=∠FHK，∴△AEH≌△KFH（AAS），∴AH=HK，AE=FK，∵AO=OB，2∴OH=1BK，2∴BK=6（cm），∴BF-AE=BF-FK=BK=6（cm）．故答案为6．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．如图所示，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE6，则它的外接圆圆心P的坐标． POPAPPG⊥OAG由正六边形推出为等边OGPGP点坐标【详解】解：如图所示连接POPAPPG⊥OAG则∵ 解析：3,3 3【分析】PPG⊥OA于点G，由正六边形OABCDE推出OPA为、PGP.【详解】解：如图所示，连接PO，PA，过点P作PG⊥OA于点G，则OGP90，∵多边形OABCDE为正六边形，∴OPA60，∵POPA，∴ OPA为等边三角形，又∵PG⊥OA，∴PG平分OPA，∴OPG30，又∵OA=6，∴OG1OP1OA163，2 2 2∴由勾股定理：P OP2OG2 6223 3， ∴P的坐标是 故答案为：3,3 3【点睛】本题考查正多边形外接圆的问题，熟练掌握正多边形的性质，灵活运用三角形相关知识解决边角关系是本题的关键.ABCDABAD4cm．以点A为圆心作圆，使B，C，D三点中至少有一点在圆外，且至少有一点在圆内，此圆半径R的取值范围是 ．【分析】使BCD三点至少有一个在圆内且至少有一个ABACAC=53<r<5【详AC∵ABCDAB=3cmAD=4cm∠ABC=93R5【分析】使B、C、D三点至少有一个在圆内，且至少有一个在圆外，也就是说圆的半径不能小于AB,不能大于AC，可求得AC=5，所以3<r<5.【详解】如图，连接AC，∵ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，∠ABC=90°，BD=AC，∴AC=BD= AB2AD2 42，∴AB<AD<AC，∵B，C，D三点中至少有一点在⊙A内，且至少有一点⊙A在外，∴点B⊙A内，点C⊙A外，∴⊙A半径R的取值范围应大于AB的长，小于对角线AC的长，即3<R<5．故答案为：3<R<5．【点睛】，圆的半径为rd>rd=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内．在ABCC90,AC3,BC4，则ABC的内切圆的周长为 ．AB圆的半径公式求出半径再算出周长【详解】解：根据勾股定理内切圆半径内切圆周长故答案是：【点睛】本题考查三角形的内切圆解题的关键是掌握直角三角形解析：2【分析】AB出周长．【详解】解：根据勾股定理，AB

AC2BC25，内切圆半径

ACBC

34

1，2 2内切圆周长2r2．故答案是：2．【点睛】本题考查三角形的内切圆，解题的关键是掌握直角三角形内切圆半径的求解方法．如图是半径为2的O上的三点，APB45，则弦AB的长．【分析】首先连接OAOB由圆周角定理即可求得∠AOB=90°又由OA=OB=2利用勾股定理即可求得弦AB的长【详解】解：连接OAOB∵∠APB=45°∴∠AOB=2∠APB=90°∵OA=OB=2∴22【分析】首先连接OA，OB，由圆周角定理即可求得∠AOB=90°，又由OA=OB=2，利用勾股定理即可求得弦AB的长．【详解】解：连接OA，OB，∵∠APB=45°，∴∠AOB=2∠APB=90°，∵OA=OB=2，∴AB OB22222．【点睛】此题考查了圆周角定理以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．如图，AB⊙O的直径是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD=OA，CD的延长线⊙O于点E，∠BOE=54°，∠C= ．18°【分析】连接OD利用半径相等和等腰三角形的性质以及三角形的外角性质得到∠BOE=3∠C即可解决问题【详解】连接OD∵CD=OA=OD∴∠C=∠DOC∴∠ODE=∠C+∠DOC=2∠C∵OD=O解析：18°．【分析】连接OD，利用半径相等和等腰三角形的性质以及三角形的外角性质得到∠BOE=3∠C，即可解决问题．【详解】连接OD，∵CD=OA=OD，∴∠C=∠DOC，∴∠ODE=∠C+∠DOC=2∠C，∵OD=OE，∴∠E=∠EDO=2∠C，∴∠EOB=∠C+∠E=3∠C=54°，∴∠C=18°，故答案为：18°．【点睛】本题考查了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键．已知一个圆锥形纸帽的底面半径为5cm10cm，则该圆锥的侧面积为cm2（π）50π积公式即可求解【详解】解：圆锥的底面周长是：2×5π＝10π则圆锥的侧面积是：×10π×10＝50π（cm2）故答案是：50π【点睛】本题主要考查解析：50π【分析】首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．【详解】解：圆锥的底面周长是：2×5π＝10π，1故答案是：50π．【点睛】

×10π×10＝50π（cm2）．本题主要考查了圆锥侧面积的求法，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长19．在平面直角坐标系xOy中，A（5，6），B（5，2），C（3，0），△ABC的外接圆的圆心坐标．(14)ABBC的垂直平分线它们的交点为△ABC的外接圆的圆心然后直接读出△ABC的外接圆的圆心坐标【详解】PP的坐标为（14）故答案为（14）睛解析：(1，4)【分析】ABBC△ABC的外接圆的圆心，然后直接读出ABC的外接圆的圆心坐标．【详解】解：如图所示：点P即为所求；所以点P的坐标为（1,4）．故答案为（1,4）．【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点是解答本题的关键．O到直线l5，⊙O半径为r，若直线l与⊙O有两个交点，则r的值可以．（写出一个即可答案不唯一如516等（满足即可）【分析根据直线与圆的位置关系可得出圆的半径与圆心距之间的关系再取r的值即可【详解】解：∵l与⊙OOl5∴∴在此范围内取值即可如5165.1，6等（满足r5即可）【分析】根据直线与圆的位置关系可得出圆的半径与圆心距之间的关系，再取r的值即可．【详解】解：∵直线l与⊙O有两个交点，圆心O到直线l的距离为5，∴r5∴在此范围内取值即可，如5.1，6等．【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系---相交，熟知直线与圆相交满足的条件是解答此题的关键．三、解答题是O是O的一条弦，且CDABE．（1）若，求OCE的度数；（2）若CD4 2，AE2，解析：（1）10；（2）3【分析】

O的半径．∠ADE的度数，再根据圆周角定理求出∠AOC的度数，最后求出∠OCE的度数；CDAB垂直，利用垂径定理得到ECDCE的长，在直角三角OCEOC=r，OE=OA-AEOE，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到圆的半径r的值．【详解】

CDAB，，ADE40．AOC80，OCE10；2因为AB是圆O的直径，且CDAB于点E，所以CE1CD14 22 2，2 2在Rt OCE中，OC2CE2OE2，设圆O的半径为则OCr，OEOAAEr2，所以r2(2 2)2(r2)2解得：r3．所以圆O的半径为3．【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及圆周角定理，熟练掌握定理是解本题的关键．ABCD为对角线．△ABCA△AEFBEC的对应点FCD△AEF．（迹）在三点共线．解析：（1）作图见解析；（2）证明见解析．【分析】CDAACCD延长线即为FFBC长为半径画弧，以AAB长为半径画弧，两段弧交于点EAE、EFAF即可．DE，BE∠AEF=∠ADF=90°A，F，D，E四点共圆，即可知道∠AED+∠AFD=180°．再由AF=AC结合题意可进一步证明∠ABD=∠AFD．最后由AB=AE可知∠ABE=∠AEB，即推出∠AFD=∠AEB，即可证明∠DEA+∠AEB=180°．【详解】△AEF即为所求．DE，BE．∵∠AEF=∠ADF=90°，∴A，F，D，E四点共圆，∴∠AED+∠AFD=180°．∵AF=AC，∴∠ACD=∠AFD．∵∠ACB=∠AFE，∠ACB+∠ACD=90°，∠AFE+∠FAE=90°，∴∠ACD=∠EAF=∠AFD．∵∠ABD=∠EAF，∴∠ABD=∠AFD．∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∴∠AFD=∠AEB，∴∠DEA+∠AEB=180°，∴B，E，D共线．【点睛】本题考查作图-旋转变换、矩形和等腰三角形的性质以及圆的确定条件和圆的性质．需理解题意，灵活运用所学知识解决问题．为量角器（半圆△BCDBD交量角器边缘于点GCDE处（AE60°），第三边交量角器边缘于点F处．求量角器在点G处的读数α（0°＜α＜90°）；AB＝12cm，求阴影部分面积．解析：（1）30°；（2）6π﹣9 3【分析】如图，连接OE∥BC∠ABC=∠AOE=60°，所以由图形中相关角与角间的和差关系即可得到∠ABG=15°；然后由圆周角定理可以求得量角器在点G处的读数α（0°＜α＜90°）；根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：（1）如图，连接OE，OF．∵CD切半圆O于点E，∴OE⊥CD，∵BD为等腰直角△BCD的斜边，∴BC⊥CD，∠D＝∠CBD＝45°，∴OE∥BC，∴∠ABC＝∠AOE＝60°，∴∠ABG＝∠ABC﹣∠CBD＝60°﹣45°＝15°∴弧AG的度数＝2∠ABG＝30°，∴量角器在点G处的读数α＝弧AG的度数＝30°；（2）∵AB＝12cm，∴OF＝OB＝6cm，∠ABC＝60°，∴△OBF为正三角形，∠BOF＝60°，∴S 扇形

60360

＝6π（cm2），S△OBF＝9 3，△∴S ＝S ﹣S ＝6π﹣9 3．△阴影 扇形【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，圆周角定理．求（2）题时，利用了“分割法”求得图中阴影部分的面积．AB是ODE是ODEAB于点C．若OC3,OA5AB的长；EAOBAD．解析：（1）AB8；（2）见解析【分析】DE⊥AB∠OCA＝90°，OC＝3，OA＝5DE是⊙O的直径，所以DE平分AB，得到AB＝2AC，即可得到AB；∠∠EDE⊥ABADBD∠E＝∠∠BAD．【详解】∵DE⊥AB∴∠OCA=90°，则OC2+AC2=OA2又∵OC＝3，OA＝5，∴AC=4，∵DE是⊙O的直径，且DE⊥AB，∴AB＝2AC=8∵∴∠E=∠EAO又∵DE是⊙O的直径，且DE⊥AB，∴ADBD，∴∠E=∠BAD∴∠EAO＝∠BAD．【点睛】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了垂径定理以及勾股定理．PT⊙O相交于点TPO与⊙O相交于、B两点，已知PTAB．求证：PT⊙O的切线；若PTBT 3，求图中阴影部分的面积．3解析：（1）64【分析】∠B+∠∠∠2∠∠2=90°∠PT⊙O相切；TP=TB∠P=∠B∠∠P∠∠B∠可计1算出∠B=30°，∠POT=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AT=2AB，△AOT=SAOT进行计算．【详解】（1）证明：连接OT，∵AB是⊙O的直径，∴∠ATB=90°，∴∠B+∠OAT=90°，∵OA=OT，∴∠2，∵∠B，∴∠PTA+∠2=90°，即∠OTP=90°，∴直线PT与⊙O相切；（2）∵PTBT 3，∴∠P=∠B=∠PTA，∵∠TAB=∠P+∠PTA，∴∠TAB=2∠B，∵∠TAB+∠B=90°，∴∠TAB=60°，∠B=30°，在Rt△ABT中，设AT=a，则AB=2AT=2a，∴a2+( 3解得：a=1，∴AT=1，∵OA=OT，∠TAO=60°，∴△AOT为等边三角形，S

11 3 3．AOT

2 2 4阴影部分的面积S

S

6012

3 3 ．【点睛】

扇形AOT

360 4 6 4本题考查了切线的判定、勾股定理，此类题常与方程结合，列方程求圆的半径和线段的长，也考查了扇形的面积公式．BABAB长为半径的圆称为点A,B的“共径圆”．点A,B的“共径圆”的示意图如图所示．A的坐标为(0,0)B的坐标为(3,4)B的”的面积为 ；A在以坐标原点为圆心，以1为半径的圆上，点Byx4上，求点A,B的“共径圆”的半径最小值；A的坐标为(0,0)Bxxyxb上存在两BB的“的面积为，直接写出满足条件的b的取值范围．解析：（1）；（2）2 21；（3）2b2 2【分析】由点、B的坐标知，AB 425,由圆的面积公式得共径的面积πr2=25π；如下图，当、Bl”的半径最小，即可求解；设点B的坐标为AB之间的距离为rπr2=4πr=2（负值已舍去），AB=x2+（x+b）2=22=4B2△=（2b）2-2×4（b2-4）＞0，进而求解．【详解】解：（1）A的坐标为(0,0)B的坐标为(3,4)，AB32425,由圆的面积公式得：“共径圆”的面积πr2=25π，故答案为25π；l于BO于点AB的”的半径最小值；设直线yx4与x,y轴交于点M,N．M4,0,N)），则，△MON等腰直角三角形，MN424242点到直线MN的距离为2 2A点在OByx4上B间的最短距离是2 21即B的共径的最小半径是2 21设点B的坐标为AB之间的距离为rπr2=4πr=2（负值已舍去），AB=x2+（x+b）2=22=4，∵满足条件的B点有2个，故△=（2b）2-2×4（b2-4）＞0，解得：2 2b2 2,∵点B是x轴及x轴上方的点，故b=2时，点B在x轴上，2b2 2【点睛】本题为圆的综合题，涉及到一次函数的性质、根的判别式等，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序逐次求解，一般比较容易解答．如图，ABC内接于OBAC60DBCBCAB边上的高AECFH．试证明：；AHDO是菱形．解析：（1）见详解；（2）见详解【分析】AD，根据题意易得BADCAD,ODBC∠∠∠DAO=∠ODA，然后根据角的等量关系可求解；过点OOM⊥ACMAFH≌△