实数连续性定理(常用版)

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教案10实数连续性定理（常用版）(可以直接使用，可编辑完整版资料，欢迎下载）实数连续性定理一、闭区间套定理1、闭区间套定理：设有闭区间列，如果则存在唯一的数l属于所有的闭区间，即，且．2、关于定理的说明(1)、闭区间套定理刻画了实数具有连续性的事实，也即闭区间套定理只在实数范围内成立，在有理数集范围内定理不一定正确。例如：是单调增加的有理数列，是单调减少的有理数列。显然闭区间列满足闭区间套定理的两个条件，但是．(2)、如果把定理中的闭区间列换为开区间列，定理也不一定成立，例如：开区间列满足：但是．(3)、定理的本质特征如果所有的闭区间都具有某种共同的性质，则因为在点l的任意邻域中都含有闭区间，所以这个性质可以收缩到点l的局部去，或者说可以把全区间上的一种整体性质“收缩”到一点l的局部去。(4)、定理的使用方法定理确保了一个数l的唯一存在性，所以当需要找一个具有某种性质Ｐ的特殊数l的时候，可以考虑使用闭区间套定理将它“套”出来。一般的作法是根据性质P去构造一个具有性质的闭区间，将它二等分，保留具有性质的一个，再二等分，如此下去得到一个闭区间列，它满足定理条件，且每个闭区间都具有性质，闭区间列可以“套出”一个数l，再证l就有性质Ｐ。(5)、闭区间套定理的结论是一个特称命题（断言一个特殊点的存在性），因此如果用它去证明一个有关整体性质的命题的时候，就要用反证法，先将其转为一个局部性质的命题，再使用闭区间套定理进行论证。例1证明：若函数在上只有第一类间断点（可以有无穷多个），则在上有界。证明：（用闭区间套定理证明）假设在上无界。将二等分，则必在分得的某个区间上无界，记此区间为．再将二等分，则必在分得的某个区间上无界，记此区间为．如此继续下去，可得一闭区间列．满足：(1)；(2)．(3)，在上无界。由闭区间套定理，存在惟一的点，所以．且．一方面，因为，所以是的连续点，或者是的一类间断点。于是在点局部有界，即，使得在有界。另一方面，对上述的，只要取充分大的自然数k，就有，由闭区间列的性质，在无界。这与前面的结果矛盾。例2证明：区间是不可数集。证明：（反证）假设是可数集，设将三等分，在分得的三个闭子区间中，至少有一个子区间不含，记此区间为；再将三等分，在分得的三个闭子区间中，至少有一个子区间不含，记此区间为；如此继续下去，可得到一列闭区间,,它们满足，对，中不含点，且根据闭区间套定理，存在唯一的一个实数l属于所有的闭区间，且．一方面，因为,，所以，由此可知．另一方面，，从而导致矛盾。所以区间是不可数集。例3设在上连续，，且，数列有界，证明：，使得在上一致有界。即，，，有．证明：（反证法）假设在的任意闭子区间非一致有界。则对，，，使．因为在连续，由局部保号性，一定存在包含的子区间，且，使得，有．因为由假设，在上也非一致有界，所以对，，，使．同样，一定存在包含的子区间，且，使得，有．继续下去，可得到一列闭区间满足：(1)；(2)．(3)，有，()．根据闭区间套定理，存在惟一的属于所有的闭区间。且．一方面，根据已知是有界数列。另一方面，由闭区间列的性质，对，只要取自然数，则，有，从而，即数列无界，矛盾。所以，一定，使得在上一致有界。例4证明闭区间上的连续函数是一致连续的。证明：设函数在上连续。假设在上非一致连续，则由定义，，，，当时，有．将二等分，在分得的两个区间中，必在其中的某一个上非一致连续。记此区间为，则，，，当时，有．并且还可以有．事实上，如果对，上述事实不成立，即，，，当时，有．则将有在上一致连续，矛盾。再将二等分，在分得的两个区间中，必在其中的某一个上非一致连续。记此区间为，则同样，，，，当时，有．如此下去，可得一闭区间列满足：(1)；(2)．(3)，在上非一致连续。且，，，当时，有．由闭区间套定理，存在惟一的点，所以．且．一方面，在点连续，由柯西收敛准则，对上述的，，，有．另一方面，只要取充分大的自然数n，可使，由闭区间列的性质，，对上述的，，又有．矛盾。所以在上一致连续。教案11二、有限覆盖定理1、开覆盖定义：设Ｉ是一个区间，Ｓ是一开区间集（有限或无限多的），如果区间Ｉ中的每一个点都至少属于Ｓ中的一个开区间，即则称开区间集Ｓ覆盖了区间Ｉ，称Ｓ是Ｉ的一个开覆盖。2、有限覆盖定理：若开区间集Ｓ覆盖闭区间，则Ｓ中存在有限个开区间可以覆盖闭区间． 3、关于定理的说明(1)、定理刻划了实数的连续性，在有理数范围内，定理不成立（见下面的例题）。下面我们只在有理数范围内进行论述，即下面所说的闭、开区间都是由有理数构成的，区间的端点是有理数，区间中的点也只有有理数。对于，，所以．取，且，使或，即以x为中心，以为半径作一个小的开区间，使不再其中。则开区间集显然是的一个开覆盖，现在在Ｅ中任取有限多个开区间，对于上面的每个开区间，它不包含，也不会包含与充分接近的有理数（取一个以为极限的有理数列，则只要取充分大的Ｎ，当时，就不会在此区间之内）。又因为共有有限多个开区间，所以它们的并集也不会包含，及与充分接近的有理数，这表明，Ｅ中的任意有限多个开区间都不能覆盖闭区间．(2)、如果将定理中的闭区间，改为开区间，定理不成立。例如：对于开区间，显然开区间集可以覆盖．设（）是Ｅ中的任意有限多个（k个）开区间。则对于，显然有，即上述k个开区间不能覆盖开区间．(3)、如果将定理中的开区间集Ｅ换为闭区间集，定理也不成立。例如：对于闭区间，显然闭区间集可以覆盖，设()是Ｅ中的任意有限多个（k个）闭区间。则对于，显然有，即上述k个闭区间不能覆盖闭区间．(4)、定理的本质特征：使用有限覆盖定理，可以把上每一点邻域所具有的局部性质延展到全区间上。(5)、有限覆盖定理是一个全称的命题，定理的作用与闭区间套定理恰好相反，它可将无穷转化为有限，能把局部性质延展到全区间上。当你要使用有限覆盖定理去证明一个特称形式的命题，例如论证一个特殊点的存在性，那么，就要用反证法，把原来的特称命题，转化成一个全称命题去论证。(6)、定理的使用方法：根据所证的问题，构造一个有某种性质Ｐ的开区间集Ｓ，对Ｓ使用有限覆盖定理，将局部性质Ｐ延拓到全区间上。例1证明：若函数在上的任意一点单增（即，，，且，有），则在上单增。证明：由已知，，且，有），设，显然Ｓ是的一个开覆盖，根据有限覆盖定理，Ｓ中的有限个开区间可以覆盖，设这些开区间是．取，则时,必属于开区间．中的某一个，于是有，，即，于是有．取自然数m，使，则有．由此可推出,这与上面的结果矛盾。例2证明：若函数在上只有第一类间断点（可以有无穷多个），则在上有界。证明：（用有限覆盖定理证明），因为与都存在，所以在点的邻域有界，即，，，，有．设．则显然E是的开覆盖，根据有限覆盖定理，E中的有限多个开区间可以覆盖，设它们是：，，…，．函数在上述的每个小区间都有界，记，，设，则有．即在上有界。例3证明子列定理：无穷有界数列必有收敛子列。证明：设Ｍ是数列的一个界，则。假设没有收敛的子列，则，x都不是数列的极限，于是存在x的邻域，使得在区间内最多有数列的有限多项。否则，假若，，在内有数列的无限多项，则取，或，取，或，…………，取，或，…………，于是，得到的一个子列，显然当时，有，即数列有一个收敛的子列，这与假设矛盾。显然开区间集是的一个开覆盖，根据有限覆盖定理，Ｓ中的有限多个开区间可以覆盖，设它们是因为每个开区间中至多含有中的有限多个点，所以这n个开区间中最多也只含有的有限多个点，即中最多也只含有的有限多个点，这与矛盾。例4证明单调有界定理：单调有界数列存在极限。证明：只对单增情况给予证明。设是单增有界数列。Ｍ是它的界，则．假设不收敛，，x不是数列的极限，由极限定义，有．即不在开区间内，又因为数列是单增的，所以在开区间内至多含有数列的有限多项(对于一般的数列，如果不以x为极限，则或者在点x的任意邻域内，至多含的有限多项，在此邻域外有数列的无限多项；或者在x的邻域内含有数列的无穷多项，而在此邻域外也含有数列的无穷多项。然而对于单增数列而言，第二种情况一不可能的，因为一旦在x的邻域内含有单增数列的无穷多项，则可推出在此邻域之外就只能有数列的有限多项，从而导致数列是收敛的矛盾)。显然开区间集是的一个开覆盖，根据有限覆盖定理，Ｓ中的有限多个开区间可以覆盖，设它们是因为每个开区间中至多含有数列中的有限多个项，所以这n个开区间中最多也只含有的有限多项，于是中最多含有数列的有限多项，这与矛盾。教案12三、确界定理1、确界定义Ⅰ：上确界：设Ｅ是非空数集，如果，使得①，②，有．则称β是数集Ｅ的上确界。下确界：如果，使得①，②．则称α是数集Ｅ的下确界。注：(1)有限集一定有上确界与下确界，它们就是有限集中的最大数与最小数。(2)数集Ｅ的确界可以属于Ｅ，也可以不属于Ｅ．(3)上确界的等价定义：Ⅰ、，；②．，，有．Ⅱ、，；②．若是Ｅ的任意一个上界，则．Ⅲ、，；②.存在数列，有．2、确界定理：确界定理：若非空数集Ｅ有上界（下界），则数集Ｅ存在唯一的上确界（下确界）3、关于定理的说明：(1)、确界定理也是实数连续性定理之一，只有在实数范围内定理才是正确的，在有理数集内定理不一定成立，因为一个有理数集的上确界可能是无理数。例如有理数集在有理数集范围内就没有上确界，因为它的上确界是e，不是有理数。(2)、定理的本质特征：设数集Ｅ具有性质，如果supE=β,由定义，，，有这样就可以把Ｅ所具有的性质“收缩到”β的ε邻域内。(3)、定理的应用特点：确界定理确定了一个特殊的数的存在，因此在需要论证一个数的存在，或者需要寻找具有某种性质Ｐ的数的时候，可以考虑使用确界定理。在应用时，通常是构造一个具有某种性质的数集Ｅ，使其具有上（下）界，从而Ｅ有上（下）确界β(α)，再证β(α)具有所需的性质Ｐ。确界定理虽然是一个特称的命题，但在很多时候可以用它证明全称命题。证法是：为了证明在全区间有性质Ｐ，构造数集．然后证明b是E的上确界，并且．(4)、在很多问题中，常常用到下面的定理：存在严格单增数列，有．（哈工大1987）注意，当时，Ｅ一定是无限集，且Ｅ中无最大数。反之若Ｅ中无最大数，则Ｅ也一定是无限集。当使用确界定理去论证一个有关Ｅ上的连续函数的命题时，经常把这一事实与海涅定理联合使用。海涅定理：，，有．四、子列定理1、相关概念：(1)、是的子列是严格单增数列。(2)、若是的子列，则有：①．②．(3)、的任意子列收敛于．2、子列定理：有界数列必有收敛子列。3、关于定理的说明：(1)、子列定理又称致密性定理，这个定理也是基于实数具有连续性这一事实，显然在有理数集上，一个有界数列是不一定有收敛子列的。(2)、致密性定理断定了一个收敛数列（子列）的存在，实际上也就是断言一个点（子列的极限）的存在性，所以这是一个关于局部性质的定理，如果要使用该定理去证明一个有关整体性质的命题，那就要使用反证法，将其转为一个有关局部性质的命题。(3)、定理的本质特征：如果数列有界，且有性质，则有收敛的子列，并且也有性质，设子列收敛于．则在点的任意邻域内都有子列的点，这样就可以把性质带到点的任意邻域内。(4)、定理的应用特点如果我们要论证一个有某种性质Ｐ的点的存在性，可以考虑使用致密性定理。用致密性定理证明一个命题，通常要根据需要去构造一个具有某种性质的点列，这个点列不要求其收敛，但要有界。由致密性定理，点列有收敛的子列，并且也有性质。这样，我们就找到了一个点，它是子列的极限，再由所具有的性质去推证点有我们需要的性质Ｐ．在许多情况下，致密性定理也总是和海涅定理共同使用，以此去推断点有性质Ｐ。例１设在单增，，，证明：，使得．证明：（用确界定理证明）不放设，否则取可知命题正确。定义数集．则显然有，所以E是非空有界的，根据确界定理，E有上确界，设．由确界的等价定义，，有，根据单增及数集E的定义，．在上式中，令，可得．下面证明．假设，取，则，所以．上式表明，这与是E的上确界矛盾，所以必有．例2证明：若函数在上只有第一类间断点（可以有无穷多个），则在上有界。证明一：（用确界定理证明）设．因为存在，所以，使得在有界。任取，则在有界，即，所以．，即E是有界集。根据确界定理，数集有上确界，设，则，下面证明．假设，则，已知与都存在，由极限的局部有界性，，使得在有界．对上述的，由确界定义，，有，从而在有界，设其为．记，取，于是，有．即，这与矛盾，所以．下面证明．已知存在，所以，，在有界，根据确界定义，对上述的，，使．所以在有界，记，则，有．所以，即在上有界。证明二：（用子列定理证明）假设在上无界，则对，，使得．因为是有界数列，必有收敛的子列，设．则，．根据海涅定理，．即是的第二类间断点，这与已知矛盾。所以在上有界。例3设在连续，且在惟一的一点取到最大值，如果，使得，证明：．证明：（反证法）假设，由定义，，，，有．取，则，使．取，则，使．……，继续下去，可得到一个数列的一个子列，显然有收敛的子列，设．因为对，有，即不是的极限，所以．已知在点连续，再由海涅定理，就有．上式表明在点也取最大值，这与已知矛盾。教案13中值定理与泰勒公式一、基本概念与定理1、极值如果，有．则称函数在点取极小值，称为极小值点，简称极值点，类似可以定义极大值。注：由极值定义可知，极值不会在区间端点取得。2、连续函数在点取极值的必要条件：若函数在点取极值，则，或者不存在。3、函数在点取极值的充分条件：第一判别法：若在点的左右邻域有不同的符号，则在点取极值。第二判别法：若，而，则n为奇数时，在点取不极值，n为偶数时，在点取极值。特别地，是极小值；，是极大值。2、费尔马定理：若函数在点可导，且在点取极值，则．3、洛尔中值定理：推广的洛尔中值定理：设为有限或无穷区间，在内可微，且，则，使．4、拉格朗日中值定理：中值定理有明显的几何意义，公式．表明，曲线弧上有一点，该点的切线平行于弦．理解和掌握这一事实，对于分析和证明问题是很有意义的。5、柯西中值定理：注：在三个中值定理中，若将导数改为单侧导数，定理结论不一定成立。6、泰勒公式：具有皮亚诺型余项的泰勒公式：若函数在点有n阶导数，则具有拉格朗日型余项的泰勒公式：若函数在点的邻域有阶导数，则具有柯西型余项的泰勒公式：（略）注：泰勒公式是在一点的邻域，用多项式近似代替函数的公式，也是高阶中值定理。7、洛比达法则：8、函数的凹凸性与拐点：9、Jensen不等式：若在上为凸（），则有其中，，，且．二、中值定理与泰勒公式的应用１、讨论导函数零点的存在性。(1)对考虑使用达布定理。(2)论证在一区间上满足洛尔定理条件，用洛尔定理。(3)论证有极值点（常常是论证在闭区间内取最值），用费尔马定理。当问题中有函数可导的条件时，经常要使用洛尔定理或费尔马定理。在很多情况下，常常是根据方程（或函数）的特点，将其适当变形后，作一辅助函数，考虑对的原函数用洛尔定理或费尔马定理。这种方法的难点在于，①找出的原函数．②验证满足洛尔定理条件、或在某一区间内有极值。例1（推广的洛尔定理）设函数在连续，在可微，且，证明必存在，使得．（山西大学1987）证明一：（用介值定理证明有，再用洛尔定理。）如果，则对于，有，命题显然正确。如果，则至少，使，不妨设（类似可证）．取实数c，使．根据介值定理，，使得．已知，于是对于，，当时，有，所以．根据介值定理，，使得．于是函数在可微，且，由洛尔定理，，使得．证明二：（证明有最大值或最小值，再用费尔马定理。）如果，则对于，有，命题显然正确。如果，则至少，使，不妨设．已知，根据极限的保序性，，当时，有．函数在闭区间连续，必有最大值，即，，有．因为，所以有，于是，并且对于，又有．是函数在的最大值点，也是极大值点，由费尔马定理，有．例2设函数在上有一阶导数，在内有二阶导数，且，，证明存在一点，使得．（南京大学）证明：（证法：证明在内达到最大与最小值，在最大、最小值点使用洛尔定理。）已知在上可导，所以在上连续，从而在上有最大与最小值。由，根据极限的保号性，，使得．或同理，，使．上面的结果表明，的最大值Ｍ与最小值m在取得，设，，．则与也是极大值与极小值，由费尔马定理，，．对在或上用洛尔定理就得，，使得．例3设，且．试证：方程在内至少有一实根。（西南师院1983）证明：设．则在可导，且，．由洛尔定理，，使得，即方程在内至少有一实根。例4设函数在连续，在内可微，，且对于任意的，有．(1)证明存在，使．(2)证明存在，使，其中．（西北大学）证明：(1)设．则在连续，在内可微，且，由洛尔定理，，使得，因为，整理上式即得．(2)设．用洛尔定理即可证明，略。例5设函数在上连续，在内可导，且．证明对任一实数λ，存在，使得．（广西师大1984四川大学1987）证明：设，则在在上连续，在内可导，．且．由洛尔定理，存在，使得，即．例6设是可微函数，导函数严格单调递增，若（），证明：对一切，有（不得直接利用凸函数的性质）。（华东师大1982）证明：，，使得，．已知严格单调递增，所以．将上式通分整理，并利用就得．教案14教案14中值定理与泰勒公式（二）3、证明中值的存在性例1设在上有二阶导数，证明：，使得．证明一：将函数在点按Taylor公式展开．其中ξ在x与之间。将与代入上式，得，①，②其中，．②减①得，由达布定理，，使得，且，所以．证明二：记，由Taylor公式，有．其中ξ在x与之间。将上式两边从a到b积分，注意右边第二项积分为0，第三项的积分，因为导数具有介值性，积分中值定理成立，，使得．所以．4、中值不等式与中值的极限例2设函数在上三次可微，且，试证，使得．（西北大学）证明：(如果在所论的问题中含有高阶导数，经常要用到泰勒公式。)在点使用泰勒公式，得，其中，将，代入上式中，有①②再将①②两式相减就得．记，则．例3设函数在闭区间上有二阶导数，且，则至少有一点，使得．（南开大学1981哈师大1983哈工大）证明：在与点使用泰勒公式，并由已知，得，其中．其中．将代入上面两式之中，，其中．，其中．将上面两式相减，，记，则．所以．（如果取，，就是哈理工大学2003年入学试题。原题第二问：是否存在，使．回答是：当时，成立。当时，不一定成立。例如：，在区间上，．，有．而．）例4设函数两次可微，，且．证明：．证明：因为在上连续，必有最大、最小值，又因为，，所以最大值在内部达到，即，使得．于是为极大值，由Fermat定理，．将在按Taylor公式展开，并将，代入，①②其中，于是有．当时，，，．当时，，，．所以．5、导数估计与导数的极限例6设在上有二阶导数，时，，．证明：当时，．（南京航空学院1982）证明：（显然只有Taylor公式才能将联系在一个等式之内。）由Taylor公式，，．，．将以上两式相减，．．分享源源不断《平面向量基本定理》教学设计纳雍一中数学组黄明一、教学内容本节内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学4·必修（人教A版）》第二章2.3.1平面向量基本定理。学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理本节内容用1课时完成。二、学情分析授课班级为纳雍一中高一（13）班，一个极为普通的班级，学生的基础较差，思维速度较为缓慢。虽然前面学习了平面向量的实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理），但对于平面向量基本定理还是一个新课题，因此，在教学中必须以学生已有的知识生长点为基准。三、授课时间2010年12月25日下午第1节课四、教学方法与教学手段本节课为新授课。根据本班的实际情况，在教学中积极践行新课程理念，倡导合作学习；注重学生动手操作能力与自主探究能力；在教学活动中始终以教师为主线、学生为主体，让学生经历动手操作、合作交流、观察发现、归纳总结等一系列的学习活动。教学方法是综合法，教学手段采用学案式（因条件限制，不使用多媒体）。五、教学目标1、知识与技能（1）了解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示某一向量；掌握两个向量夹角的定义及二向量垂直的概念，会初步求解简单的二向量夹角问题，会根据图形判断两个向量是否垂直。（2）培养学生作图、判断、求解的基本能力。2、过程与方法（1）经历平面向量基本定理的探究过程，让学生体会由特殊到一般的思维方法；（2）通过本节学习，让学生体会用基底表示平面内一个向量的方法，体会求解一些比较简单向量夹角的方法。3、情感态度与价值观通过本节的学习，培养学生的动手操作能力、观察判断能力，体会数形结合思想。六、教学重点、难点1、教学重点：平面向量基本定理及其意义；两个向量夹角的简单计算；2、教学难点：平面向量基本定理的探究；向量夹角的判断。七、教具使用三角板、圆规、小黑板。八、教学过程教学环节教学内容学生活动教师活动设计意图1、情境引入已知平面内一向量是该平面内两个不共线向量，的和，怎样表达？=+作图提问、巡视，引导、评价。从最简单的问题入手，以提高学生学习的积极性。2、探究定理■问题1：如果向量与共线、与共线，上面的表达式发生什么变化？学生阅读教材93页—94页第1、2自然段。■问题2：对平面向量基本定理的理解，我们应注意些什么？谁来讲一讲。注意：（1）是不共线的；（为什么？）（2）叫做表示这个平面内所有向量的一组基底；（3）向量是任意的，但一经确定后，是唯一的；（4）基底具有不唯一性。（5）对这一式子：=称为用线性表示。相互讨论、交流，学生单独回答。学生阅读教材。讨论、交流，学生单独回答。讨论、交流，学生单独回答。根据作图进行提问、引导、归纳，板书表达式：=引入课题：平面向量基本定理教师巡视、引导板书定理内容引导、提问。让同桌之间相互讨论，经过讨论后，提问不同的学生，给出评价，让学生们自己归纳出理解平面向量理时应注意的问题。对（1）—（5），在学生归纳总结的基础上加以补充，讲清楚（1）、（3）、（4）的原因。学生已经学习过共线向量定理，运用共线向量定理解决这里的问题应该不难。在教学中，应基于学生的知识生长点。新课程标准指出：“学生的学习活动不应只限于接受、记忆、模仿与练习，高中数学课程还应倡导……阅读自学等学习的方式……”以学生发展为本，一切为了学生，为了学生一切！例1、如图，在△ABC中，D是BC边上的一个四等分点，试用基底，表示。ACDB学生独立思考※练习：1．下面三种说法：（1）一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示这个平面内的任一向量的基底；（2）一个平面内有无数对不共线的向量可作为表示这个平面内的任一向量的基底；（3）零向量不可以作为基底中的向量。其中说法正确的是（写出正确说法的序号）2、在平面内的四边形MNPQ中，下列一定可以作为该平面内任一向量的一组基底是（）挂小黑板：展示题目；师生共同解决。提问、引导、评价。根据教学需要，例1与这里的练习可适当调整。对平面向量定理中基底，要有一个正确的理解。检测学生对已学知识的掌握情况，给予及时补充与辅导。3、向量夹角■问题3：在向量加法一节中，曾经学习过求轮船的实际速度的方向，那里是用轮船的实际速度与水流速度的夹角来确定。这对你有何启示？■问题4：对于平面内不共线的两个向量，怎样描述它们的位置关系呢？例2、在等边三角形ABC中，设向量与的夹角为，则学生独立解决，教师进提问、引导、评价师生互动，教师给出向量夹角的概念。挂小黑板：展示题目，师生互动，从不同的角度对向量夹角进行辨别。可进行变式训练，如求的值等。“温故而知新”，用学生已有的知识体系，构建新的知识体系。向量是具有大小又有方向的量，对于两个方向的表示用夹角来表示比较直观。教材上对这一知识点仅只概念而已，因此，有必要及时检测学生对夹角这一知识点的掌握情况，查缺补漏。4、课堂练习1、已知一组基底且，请用基底表示2、已知，且与的夹角为600，求+与的夹角；-与的夹角。学生独立完成。巡视，引导、评价对教学目标进行达成度检测，以便及纠错与补充。5、课堂小结（1）平面向量基本定理及应用；（2）夹角的概念；（3）特殊到一般、数形结合等数学思想的运用。师生互动、共同总结。反思过程，提炼思想；回顾思路，总结方法。6、布置作业1、书面作业：（1）已知，不共线，且是一组基底，求实数的取值范围。（2）已知等腰三角ABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，∠BAC=800。①求向量与向量的夹角；②向量与向量是什么关系？说明理由。2、课后思考：教材93页图2.3-2中,如是使会出现什么情况？3、课后预习：教材节的内容。巩固知识，升华方法。让学生带着问题回去，有利于学习的可持续性发展，笔者认为，数学也应该先预习。7、板书设计§2．3．1平面向量基本定理例1：解题过程。二、向量夹角知识点归纳一、定理探究向量夹角的的概念。平面向量基本定理的内容。例2：解题过程。8、教学反思开始上课开始上课九、教学程序框图情境导入定理探究夹角问题情境导入定理探究夹角问题课堂练习效果是否满意否归纳小结是布置作业布置作业下课下课十、指导思想与理论依据1、向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着丰富的实际背景。2、新课程标准指出：“学生的学习活动不应只限于接受、记忆、模仿与练习，高中数学课程还应倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习的方式……”“还应注重数学思维能力”“与时俱进地认识‘双基’”。因此，笔者这次教学设计就是基于此而设计的，其基本想法就是让学生经历知识的发生过程，通过动手操作、观察归纳、抽象概括、数形结合等思维活动获取新知识，从而对数学思想方法有一定程度的认识。无线套管接箍定位器及其在连续油管压裂中的应用第4卷第2期2021年6月新疆石油天然气XinjiangOil&GasV0l_4No.2Jun.2O08文章编号:1673—2677【2021)02—_0073—04无线套管接箍定位器及其在连续油管压裂中的应用陈军,蒋金宝,刘兆年,张宝康,李晓波(1.新疆石油学院石油工程系,新疆乌鲁木齐830000;2.中国石油大学(华东)石油工程学院,山东东营257061)摘要:虽然连续油管压裂(CTF)作业作为一种安全,高效的油井增产措施已经得到现场证实,但由于种种原因,该技术还没有得到大范围的应用,高精度深度公差控制问题就是制约连续油管压裂作业的主要问题之一,经过多年的现场实验,哈里伯顿公司研制了无线套管接箍定位器,并根据现场的需求进行了改进,在现场的高精度深度公差控制方面取得了较好的应用效果.本文详细介绍了工具的设计,操作以及该工具在国外的使用效果,并对在我国的低渗透油藏增产作业中使用该技术的可行性做了探讨.关键词:无线套管接箍定位器;连续油管;压裂;高精度深度公差控制;应用中图分类号:TE931.2文献标识码:A1连续油管压裂时的深度控制问题连续油管压裂作业是最早在1992年.经过十几年的研究和现场实验,连续油管压裂技术迅速发展,除了常规压裂技术之外,还发展了多层同时压裂技术,准确定位压裂技术,被漏掉产层的压裂技术以及重复压裂技术等,作业的井数已经超过万口.连续油管压裂技术虽然得到一定程度的应用,但目前还存在很多问题需要解决,其中连续油管的高精度的深度公差控制就是连续油管压裂所存在的主要问题之一….在使用连续油管进行压裂作业时,连续油管下端连接有单卡双封封隔器,若该封隔器不在设计的深度坐封,会导致多方面问题.如果封隔器坐封过低,上部的封隔器将会低于该层顶部的射孔.首先,由于压裂不完全,直接导致压裂的增产效果降低,尤其是低渗透地层,未得到压裂的部分就不会有增产的可能;其次,当液体泵人时在上部封隔器周围产生流体窜槽;第三,砂子进人并堆积在上部封隔器的上部,甚至会造成工具串的砂卡.封隔器坐封过高也会造成同样的问题.射孔低于下封隔器,会因有未处理的射孔而造成产量降低,引起窜槽问题,以及砂子窜人并沉积在下封隔器以下引起砂卡.由此可见,要使得压裂的效果达到最优,连续油管的深度控制问题必须得到解决.2深度控制问题的解决方法¨J2.1轮式测量器及其存在问题最初,人们使用轮式测量器来测量下人井中的连续油管长度.轮式测量器的滚轮沿着连续油管的外表面转动并测量其长度,当滚轮磨损后,将在滚轮上产生沟槽.即使一个像一张纸厚的浅槽,在5000ft深的井中也会产生2米左右的误差,这就给收稿日期:2021—02—22作者简介:陈军(1965一),男,1987年毕业于华东石油学院开发系,高级工程师.73新疆石油天然气2021矩连续油管压裂的高效作业带来很大的困难.并且轮式测量器滚轮轴的轴承会随着时间的推移以及水和污物的侵入变得粗糙,从而使滚轮产生滑动而不是滚动,这个问题带来的深度误差更大.2.2光学编码器及其存在问题为了解决滚轮测量器精度差的问题,一些连续油管制造商在投放头传动装置上安装了光学编码器.因夹头滑轮链条伸长等因素,在一定程度上夹头滑轮和连续油管之间仍有滑动.大多数直接安装在传动装置上的测量器具有测深比实际浅的倾向.通常直接安装在投放头传动装置上的光学编码器具有较差的精度,有时甚至比滚轮测量器的误差还大.既使连续油管装置上的深度测量器工作完好,并对下人井中的连续油管长度测量精确,在电缆测井与连续油管工具串之间仍存在深度差异,即使通过加多个滚轮和深度补偿软件的方法来提高精度,也很难使之与电缆测井相一致.3无线套管接箍定位器(WCCL)¨J3.1无线套管接箍定位器工作原理2002年,哈里伯顿公司提出了使用无线套管接箍定位器来解决连续油管的高精度深度误差控制问题.该装置利用线圈和磁铁来探测套管因接箍或径向孑L眼引起的金属线密度的变化,来测量连续油管的下人深度.该装置用电池供电,当无线套管接箍定位器通过一个接箍时,线圈和磁铁会产生一个小的电压脉冲并传到地面上来.这种无线套管接箍定位器工具主要是用于射孑L深度控制,其限定工具的流量小于普通井的压裂流量.此外,现有的两种无线套管接箍定位器(WCCL)工具的流道有较大的弯曲,压裂时泵人携砂液的量也不令人满意,因此必须设计出一种新型的无线套管接箍定位器,来满足连续油管压裂作业的要求.3.2无线套管接箍定位器基本参数基于连续油管压裂作业的经验和现有的WCCL工具的使用经验,M.L.Connel等人对新设计的工具确定了如下参数:(1)允许携砂液最大流量大于12bbl/min;(2)可以在4in套管内工作;(3)在下人井中时能够进行反循环;74(4)必须承受3007F的井底温度和150001b/in2的井底压力;(5)从测井状态转到压裂状态不用投球.工具设计者要设计出电池组,电路板及电磁阀(位于中心管与工具外壳间的环型空间)等部件,而能在4in套管内工作这一点限制了工具的外径,为了最大限度地扩大工具的内径,其外径选为3in,这就余下1in的内径(图1).用连续油管压裂的大多数待选井井深小于10000英尺,且井底温度和压力相对较低.根据这些情况,工具设计者认为工具达到300.F的温度要求就足够了.对于井底温度达到250.F的井采用碱性电池是可行的,但是一旦高于这一温度,就应选用锂电池.4无线套管接箍定位器的操作¨J4.1工具下井过程工具下井过程中,进行反循环(图2).在工具的下端设计了一个破裂膜片,在液体从无线套管接箍定位器WCCL底部进人工具时,该膜片打开;当反循环停止时关闭.测井时膜片处于关闭状态(图3),所有泵人连续油管的液体都从侧喷口流出.与以前的无线套管接箍定位器WCCL一样,当一个接箍被检测到时,电磁阀打开,使液体从滑动活塞上部进入,活塞向下充分运动以封住排出口(图4).然后,电磁阀断电,活塞缩回.排出口可以采用不同尺寸的喷嘴,但最常用的喷嘴直径是0.25in和0.375in.这些尺寸的喷嘴允许排量为1.Obbl/min一1.75bbl/min,这一排量在连续油管压裂泵的工作范围内.4.2连续油管压裂当连续油管压裂的测井作业模式的工作完成,连续油管深度测量器得到校正,把工具从测井模式改为压裂模式(图5),压裂作业便可以进行了.工具设计者通过设计一个与剪钉一同固定的滑套来解决工作模式转换问题(测井模式转变到压裂模式).为了剪断剪钉,泵排量从通常的测井模式的1.Obbl/min一1.75bbl/min增力Ⅱ到3.Obbl/min一4.Obbl/min.在这一排量下,工具内的回压(液体从侧喷嘴流出而产生的)将会超过剪钉的强度.当第4卷第2期陈军等:无线套管接箍定位器及其在连续油管压裂中的应用FlapperRuptureOpened图1仪器剖面图图2反向循环模式图图3测井模式图图4接箍检测图DischasrupFluidMovement图5压裂模式图75新疆石油天然气2021焦剪钉被剪断,滑套下移把侧喷口堵塞.一旦侧喷口堵塞,工具内压力继续上升.在压力达到45001b/in时,安装于瓣形止回阀中破裂膜片破裂,在工具的中心打开一个1in直径的通路.为了确保滑套堵住侧喷口,卡在滑套凹槽中的卡环在滑套下行到位后卡住滑套防止其退回.这样,改进工具不在使用投球来改变工作模式,这不仅节省时间,而且降低了工作流体用量.5应用实例分析第一个大通径无线套管接箍定位器WCCL工具在2001年的第三季度进行了装配,并立即进行了室内试验以检验测井模式下的工具性能,随后进行了滑套,破裂模片功能的试验,以确保工具模式转换如同所设计的一样.最后,工具用排量为12bbl/min的携砂液在流动环路中进行了试验.根据试验情况,对工具的下部进行了改进,以增加其寿命.5.1在加拿大现场试验2001年10月下旬,该工具在加拿大进行了第一次现场试验.A井是在MedicineHat油田的一口浅气井(下深1900ft),该工具测出了一些虚假的接箍,并且有活塞粘卡现象,电磁阀的缺陷是造成工具工作不正常的原因.在连续油管压裂作业开始前,连续油管装置的测量器被校正了5fl(比实际浅).工具转换到压裂模式正如所设计的一样,在压裂过程中,通过工具泵人了80t的支撑剂,这次作业施工了9层.B井也是加拿大的一口浅气井(下深1300ft),这次测井情况良好,没发生活塞粘卡现象.在这口井中,连续油管压裂装置测量器所测得井深与有线测井的实际井深仅有0.5ft的偏差.在转换到压裂模式后,通过工具压进了65t的支撑剂,这次作业施工了7层.C井是美国Colorado的一口煤层气井(下深4155ft),连续油管装置测量器工作情况极好,与有线测井比较,其井深已经没有校正的必要.在转换到压裂模式后,通过无线套管接箍定位器WCCL工具压进了65t的支撑剂,这次作业施工了5层.D井是美国WestTexas油田的一口气井(下深5600ft),WCCL测井与有线测井比较,发现连续油管装置深度测量器所测的井深浅了20ft.在转换到压裂模式之后,在连续油管中泵人时怀疑封隔器泄76漏:由于怀疑封隔器有问题,在连续油管上做了油漆标记,把工具从井中起出,检查发现工具的滑套没有下行到压裂位置.其原因是在瓣形止回阀的活舌下部存在一些杂质,使其不能密封.把封隔器重新下回井中至油漆标记处后,完成了连续油管压裂作业.5.2在澳大利亚现场试验2005年,澳大利亚的CooperBasin油田采用了该技术对8口井进行了作业,该油区的油藏需要压裂层位多(最多可达8层),埋深差距大(可差100米),普遍埋藏深(2500～3000米),常规的压裂技术只能压裂多个目标层位的少数几个层,一般需要多次压裂才能完成,这样就大幅度增加了作业成本.基于油藏条件,工具条件和测井数据,油田作业者选择了8口井利用无线套管接箍定位器进行了作业,在所作业的8口井中,裂缝的条数从三对至七对之间.对于每一个目标层位,在进行大型压裂之前,都进行了小型的压裂.在这八口井中,共作业了三十八次.其中有三个层位没有压裂,还有一个层位因渗透率太低而放弃.这样还剩下三十四个层位.在这剩下的三十四个层位中,有50%出现提前滤砂,顶替效率为81%.先从设计的支撑剂用量和实际的支撑剂用量来看,作业还是比较成功的.作业后,油井的产量超过预计产量的30%,并且大幅度降低了作业时间和作业成本.6J6结论与展望(1)无线套管接箍定位器成功的解决了连续油管压裂作业中高精度深度公差控制问题,改进的工具能够从测井方式转到不受内径限制的压裂模式,而且不需要投球,节约了作业时间和降低了作业成本,并且作业后的产量高于预计的产量.(2)连续油管井下作业技术引入国内已经有十几年的历史了,但使用的效果并不是令人满意的,尤其在压裂方面,国外都已经使用十几年了,国内目前使用连续油管进行压裂还很少,从文献上来看,还没有查阅到关于连续油管在国内进行压裂的文献.(3)在我国,探明的低渗透油气藏的储量越来越多,并且绝大多数都需要压裂增产,而我国的低渗透油藏大部分构造比较复杂,层位多,厚度小.用常规的压裂增产作业很难实现经济生产,因此,建议使用连续油管进行压裂增产,(下转第84页)新疆石油天然气2021年(2)根据气候变化换季期间,定期校对含水仪;(3)对性能漂移含水误差大故障频繁的含水仪及时更换