人人素材密码至合辑机械制图

3章立体的投影基本体的投影及其表面上的点平面3.1所示为一个正六棱柱的立体图和投影图。在投影图中，改变投影轴的位置并不如图3.1(a)所示的正六棱柱，它的上、下底面均为水平面，六个侧棱面中，前后两个图3.1(b)所示，例如正六棱柱前后棱面之间的宽度都应为y1，点M与后棱面之间的宽度为y2，作图时一般可直接量取相等距离；也可以如图3.2(b)所示，添加45°辅助线作图。在平面立体表面上取点，其原理和方法与平面上取点相同。如图3.1(b)所示，正六棱表面上点M的正面投影m′，要求出其他投影m，m′′。由于点M的正面投影是可见的，因此，点M必定在ABCD棱面上，而ABCD棱面为铅垂面，水平投影a(d)b(c)具有积聚性，因此ma(d)b(c)上。由点的投影规律mm′即可求m′′M所在的表面ABCD的侧面投影可见，故m′′可见。(a)立体 (b)投影3.1正六棱柱的投均为类似形。棱面△SAC为侧垂面，其侧面投影积聚为一直线，其他两个投影为类似形。AB、BC为水平线，ACSB为侧平线，SA、SC为一般位置直线。它3.2(b)所示，要作正三棱锥的投影，首先画出三棱锥底面△ABC的各个投影，再作出锥顶S的各个投影，然后连接SA、SB、SC各棱线，即得正三棱锥的投影。(a)立体 (b)投影

3.2正三棱锥的投求两点M、N的在其余两投影面上的投影。 3.3正三棱锥表面取对于N3.3(b)所示。根据点N的水平投n的位置及可见N在正三棱锥S-ABC的侧面SAC上，且平面SAC的侧面投影有积聚性，可利用积聚性求出n′′，nn′′n′N所属棱面△SACVn′为不可见。M3.3(c)所示。由于它所在的平面△SAB是一般位置平面，其三面投影△SAB平面上作辅助线，连接锥SM并延长AB于点D(即做辅助SD)。具体步骤是：连接线段s′m′，并延长交a′b′于点d′，过点d′，向铅垂线与ab相交得d，连接sd，即为SD的水平投影m′作铅垂投sdm，即M点的水平投影点。同理，可d、d′求出d′′，连s′′d′′，即为直SD的侧面投影，过m′作水平线与s′′d′′相交，即得点M的侧面投影m′′。如图曲面3.4中画出了球面的水平投影，是球面上的水平大圆的水平投影，这个水平3.4球的水平投影轮廓成[见图3.5(a)]。)BB1的投影a′a1′b′b1′；在侧面投影上为最最后两条素线CC1DD1的投影c′′c1′′d′′d1′′。作图时可先画出水平投影的圆，再画出其他两个投影，结果如图3.5(c)所示。可根据在平面(上、下底圆)3.5(c)所示，已知点M的正面投影m′，由于m′是可见的，因此点M必定半个圆柱面上，水平投影m′m′′。(a)圆柱 (b)立体 (c)投影

3.5圆柱的投3.6(b所示为一轴线垂直于水平面的圆锥，底面为水平面，因此它的水平投影反映实形(圆，其正面和侧面投影积聚成一直线。对圆锥面要分别画出决定其投影范围的外形轮廓线，其中最左素线SA、最右素线SB为圆锥面前后可见和不可见部分的分界线，即前半圆锥面可见，后半圆锥面不可见；在侧面投影中，最前素线SC、最后素线SD是圆锥面左影，最后分别画出其外形轮廓线，即完成圆锥的各个投影，如图3.6(c)所示。(a)圆锥 (b)立体 (c)投影

3.6圆锥的投辅助素。如图3.7(a)所示，过锥顶S与点K作辅助素线SG的三面投影，再点K在右前半圆锥面上，所以k可见，k′′不可见。纬圆法。如图3.7(b)所示，过点K作平行于锥底的辅助圆，即在正面投影中过k′ 3.7圆锥表面取3.13.8(a)SAB的正面投影，求其水平投影为圆锥面上的曲线，又因a′b′了向W面投影的转向轮廓线(在轴线处)，所以AB的一a′b′c′3.8(b)所示。a′、b′、c′H和n′，然后，用纬圆法求出相应的m、n和m′′、n′′。H面投影时圆锥面是可见面，则其表面上的线均可见，所以，用粗实saacnmbWC为左、右两部分可见与不c′′n′′m′′b′′可见，用光滑粗实线连接；s′′a′′c′′不可见，用细虚线连接，其s′′a′′cc是椭圆弧与

3.8圆锥表面取3.9(b)所示，圆球的各面投影均为与其直径相同的圆，但各个投影面上的圆，是(a) (b)立体 (c)投影

3.9球的投影及表面取3.9(c)所示，已知圆球面上M水平投影，作出正面投m′和侧m′′。过点M作平行于正投影面的辅助纬圆，水平投影为12，正面投影是以12为直径的圆，m′必在该圆上，由m作出m′，再由m、m′求出m′′。点M是半球上，因此正面投影m′可见，同理点M是在左半球上，侧面投影m′′也可见。 3.10环的投影及表面取立体表面的(a)截交线 (b)截交线 (c)相贯3.11带有交线的零3.2】3.13S-ABCP，求作截交线的三图3.12平面截切平面立 图3.13平面截切三棱PvPv重影，只须求水平投影和Pvs′a′、s′b′、s′c′1′、2′、3′为截平面与各棱线的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正3.3】3.14所示为一带切口的三棱锥。已知一个缺口三棱锥的正面投影，3.14补全缺口三棱锥的水平投影和侧AC，正垂截面分别与△SAB、△SACEFEG。由于组成切口的两个gf'h'fhf"h"g'h'ghh"g"。3-1平面与圆柱相交的各种情圆3.4】3.15(a) 3.15平面与圆柱相1′′、5′′、3′′、7′′及水平投影1、5、3、7。作一般点。在截交线投影为已知的正面投影上定出一般点的位置，如点4′(6′)和点2′(8′)4、62、8，应在圆柱面积聚性投影圆周上，再根据投影关系求出其侧面投影4′′、6′′和2′′、8′′，一般点取多少可根据作图准确程度要求而定。图3.15所示截平面与圆柱轴截交线随截平面与圆柱轴线夹角β的变化而3.5】3.16所示，已知圆柱上方开一方槽后的正面投影和水平投影，试求由于截P的正面投p′有积聚性，所以ABDE的正面1′2′3′4′与p′ABDE的水平投影(12)和(34)在圆周上积聚成两点。平面Q与P的情况类似，读者可自己分析。由于截平面R是一水平面，其正面投影r′有积聚性，所以前半个圆柱面上的交线圆弧的3.16补画开方槽圆柱的投3-2平面与圆锥相交的各种情且)(=(<圆3.6】3.17(a) 3.17正平面截切圆圆在圆锥表面上取点，求得其水平投影2、4和正面投影2′、4′。【例3.7】如图3.18所示，圆锥被正垂面截去左上端，截切掉的圆锥点画线画3.18正垂面截切圆3-2可知，截交线是椭圆，其正面投影积聚成2′1′、2′1、2和1′′、2′′，1、2，1′、2′和1′′、2′′也是椭圆长轴端点的三面投影。4′。3′、4′也是最前点和最后点的正面投影。可过3′、4′作辅助水平圆，作出该辅助水平圆的水平投影，采用表面取点的方法，即可由3′、4′求得3、4，再求得3′′、4′′。于圆的直径，如图3.19所示。当截平面倾斜于投影面时，截交线的投影为一般椭圆。】图3.19球面的截交 Qp′′、qp′、q′确定。交线的水平投影也积聚为直′′(3)RRr′，水平投影为13、24r1′′3′′、2′′4圆弧积聚为直线，并且是可见的，而两平面的交线1′′2′′、3′′4′′为不可见，画成细虚线。

3.20半球被平面截】PQP平面P、Q彼此相交于直线段，如图3.21(a)所示。 3.21顶尖头部的截交为1′、2′，侧面投影为1′′、2′′，进而求出1、2。分界点左边为双曲线，其中1、2、3为特殊点，4、5为一般点，具体作图步骤读者自己分析。右边为直线，可直接画出。两曲面立体相交三种情况，如图3.22(a)、(b)、(c)所示。两立体表面的交线称为相贯线。(a)两平面立体相 (b)平面立体与曲面立体相 (c)两曲面立体相3.22两立体相交的种】 3.23两圆柱相V投影轮廓线的交点为相I(1，1′，1′′III(3，3′，3′′)，同时它们又是最高点。从侧面投影中可以直接得到最低点II(2，2′，2′′)IV(4，4′，4′′)，同时它们又是最前点和最后点。5′′、6′′、7′′、8′′，最后由水平、侧面投影求得其正面投影5′、6′、7′、8′。两内表面相交图[见图3.24(b)]。 3.24两圆柱】 3.25轴线交叉的两圆柱相贯3.26轴线交叉的圆

为最简单(直线或圆)。另外，有些也可应用立体表面上取点、线的方法求之。 3.27辅助平面3.12】图3.28所示为水平圆柱与半球相交。其公共对称面平行于V面，故相贯线的正面投影为3.28圆柱与半球的相求一般点。可作辅助平面，如取水平面P，它与圆柱面相交为一对平行直线，与球面相交为圆，直线与圆的水平投影的交点2、6即为共有点Ⅱ、Ⅵ的水平投影，由此可求出正面投影2′、6′这一对重影点的投影。3.13】3.29圆柱与圆锥的相贯V面的轮廓素线彼此相交，交点Ⅰ(1，1′，1为最高点，交点Ⅱ(2，2′，2为最低点，也是最点，交点Ⅳ(4，4′，4′′)为最后点；通过锥顶作与圆柱面相切的侧垂面T，与圆柱面相切于TwV5′′就重合在R6′′、66′。点Ⅴ、Ⅵ前后对称，正面投影5′、6′重合。点Ⅴ、Ⅵ为相贯线的最右点。求一般点。为了连点的需要，再作水平面S，找出一般点Ⅶ(7，7′，7′′)、Ⅷ(8，8′，8′′)等。43.14】求圆台与半圆球相贯线的投影(3.30)3.30圆台与半圆球的相贯V1'、2'，即为所求正面转向线上的T，它与圆锥面交于侧面投影转向线，与圆球面交于一条侧平半圆，两者的交点的投影为3"、4"，即为所求圆锥侧面投影转向线上的点。Q，与圆5、65'、6'56"。2'5'3'1'，后一3"5"2"6"43"(1)4位于圆面投影轮廓线的交点的连线(3.33)。如两回转面相交，以轴线的交点作为球心作一球Ⅵ即为两曲面的共有点，即相贯线上的点(见图3.31)。如球面的半径变化则可求出一系列3.31圆柱与圆锥斜交时相R3A、Ba'、b'以及球面与圆柱面的交线圆C的正面投影c′，这两组圆的正面投影相交，交点3'(4)、5'(6')即为两曲面的共有点Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ的正面投影。再作若干不同半径的同心球面，可的水平圆的水平投影后即可求得5、6点。9、10是可见部分与不可见部分的分界点，因此左面部分的连线9-5-2-6-l0画成细虚线，其余均画成粗实线。(a 3.32公切于同一个球的圆柱、圆锥的见图(a

3.33两个同轴回转体的相贯 3.34圆柱、圆锥相贯的特殊情的形状，还要看它们与投影面的相对位置。见表3-3，分别以圆柱与圆柱相贯和圆柱与圆3-4所示3-3立体的形状及相对位置对相贯线的影贯贯3-4立体的尺寸变化对相贯线的影】是圆柱与圆球的相贯线A、圆柱与圆锥的相贯线B、圆锥与圆球的相贯线C组合而成。欲求出组合相贯线，应分别求出相贯线A、B、C以及它们的分界点，A。由于圆柱的轴线通过球心(共轴的两回转体)，因此相贯线为一圆，且面V