张量分析论文

1知识总结1.1指标符号例如，三维空间任意一点p在笛卡儿坐标系(X,x,x)，若是再推广到比三123维更高的空间时不好描述了。因此，发展了另一种记法指标记法。在三维空间力里，矢量有三个分量，采用一般的指标将它们用一个简单的分量进行缩写。因此在指标记法里边用指标符号表示为(Xj,i=1,2,3)。一个n维空间的矢量(x,x,x，…,x)也可用分量表示为(x,i=1,2,...,n)。123ni其中i一指标(取值范围为小于或等于n的所有正整数)n一维数1.1.1求和约定和哑指标可表示为S=£axi=1X可表示为S=£axi=1Xax.j=1要表示求和S=ax+axH—ax，1122nn约定：S=ax=ax，(用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维)。其中求和指标Iljj与所用的字母无关指标重复只能一次。对于双重求和，X2Axy，ijiji=1j=1…Axy=Axy+Axy+Axy+Axy+Axy其中，ijij11111212131321212222+Axy+Axy+Axy+Axy2323313132323333可表示为Axyz，代表27项的和式。ijkijk1.1.2自由指标Ax+Ax+Ax=bTOC\o"1-5"\h\z1111221331Ax+Ax+Ax=b2112222332Ax+Ax+Ax=b3113223333可以简写为A.x.=b,其中j——哑指标i——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同1.1.3Kronecker-S符号和置换符号（Ricci符号）（1）Kronecker-S符号定义

首先是标积，从物理学知道，一个力矢量f与一个位移矢量s，可以确定个标量，即功W，W=f.s=|fe|scos。其中记作fs•.所以又称点积。用指标符号，贝UW=f/a,+f2s2+f^=£郁=f岛t=\当用基矢分别表示fs，时，它们的点积记为幽—（/［勺+/£卫+j.w）■+土勺+=脉】,e2+"e厂e2+"仑广％+…由于匕，与，匕是相互垂直的单位矢量，由点积的定义，知当i=j时，8〃的分量是1;当i村时，8ij的分量为0。即8=8jiij〃18=8jiij0当，。j8y.l当i,j8y.l当i,j=1,2,3时，有8=8=8=1812=8=8=8=8=8=0克朗内克'22123(Kronecker)888111213888212223888313233当将1、2、3100100323113符号8j可看作是一个单位矩阵的缩写形式，即001赋值给i时，这一点很容易被验证，于是得到的分量分别为V2，V3所以j.=V，可见，最终的结果是由于"值变换上用，•代替j。所以，显而易见，将8〃应用于vj只是将vj中的j用i置换；因此8〃符号通常称为置换算子。（2）置换符号（Ricci符号）‘1若G,j,k）=G,2,3）（2,3,1）（3,1,2）e=\-1若G,j,k）=（3,2,1）（2,1,3）（1,3,2）ijk0若有两个或三个指标相等交错张量eijk还为缩写提供了另一种方法。例如，叉积可以写为evwe。ijkjki注意求和约定。三个矢量U，V，W的点积和叉积可以得到几种有意义的乘积形式：

（6rxr）xfKtZx（FxJF）、t/x（rxjn下面的关系式成立并且有用：〔1）通常，（UT）•用（2）up（rx>n、w-（vxu）以UVW,为边的平行六面体的体积或者该体积的负值，这要根据UVW,是不是构成右手坐标系而定。1.2矢量的基本运算在三维空间中，任意矢量都可以表示为三个基矢量的线性组合e,e,e，123a=ae+ae+ae=ae

112233ii其中a.为矢量a在基矢量e.下的分解系数，也称矢量的分量（1）矢量点积可表示为e-e-6,a-b=ae-be=ab5iijjijijab=ab（2）矢量叉积可表示为exe=eeijijkk5i15j1e1i25j2e25i15j1e1i25j2e25i35j3e3=e55e=ee=eerstirjstijttijkkaxb=aexbe=abexeiijjijijabee=eabe=cijijkkijkijkc=eab

kijkij(3)矢量的混合积故可得:可表示为axb-c=eabe-ce=eabc5ijkijkrrijki=eabcjrkrijkijk其中有exe-e=ee-e=e5=eijkijrrkijrrkijk（e以表示Ricci符号）1.3坐标变换考虑三维空间的两个正交直线坐标系（笛卡尔坐标系），并设原坐标系为咛尸"其基矢量为％%J又设变换后的新坐标系为O&K或,其基矢量为站勺展；口设一矢量孔用IH坐标和新坐标系表示「分别为v=e.v.=e.v.由此可得；将矢量分量由旧坐标变换为新坐标的变换式。为此，用勺点乘上式.得v：=ef-e（vj记为式中匕二*，％-=|圳勺co招二为新坐标轴：对旧坐标轴J的方向余弦仔利用4•记号还可以写出新旧坐标的关系■1.4梯度、散度1.4.1标量场的梯度假定在空间某区域定义一个标量P，那么可以得到P分别对三个坐标的导洒洒洒数，即grad^=—eeedx1世2边31.4.2矢量的散度7.du前du_「div^=—x+——^+——=u=ed-ue=V・udxdydzj，j11jjV・u是一个标量，在空间任一点，它只有一个值，不像矢量那样有三个分量。1.5笛卡尔张量1.5.1张量的概念与表示方法矢量是比标量更复杂的一种物理量或几何量。自然界还有比矢量更复杂的量，如弹性体中一点的应力状态，就有正应力b，b，b和剪应力T，T，Tyz，T.，Tyx，Tzy共九个分量值。这样一种量，叫做张量。先从矢量V的表示方法考虑，从有向线段的图示法出发，应用平行四边形合成法则，引进了¥=咐的表示方法。或者略去基矢弓的记号，只记它在某一坐标系中的分量，用行（或列）矩阵，将矢量『记为或［上％吟……土］'然后’从分析方法方面，明确一个矢量在坐标变换时所遵从的变换规如1"时即矢量在变换后的坐标可以按照上述规则进行变换，无论是像速度或者力这样的物理量，还是像从原点出发的轴射矢量这样的几何量，或者像标量的梯度这样不易想象的量，这个变换规则适合任何的矢量。若我们现在在定义张量和表示张量时'上述的方法，可以如下推广.首先，对于图示法.-个二维或者P维甚至K维的有向线段，它只能表示矢量，用这样••种简单而直观的办法来表示张量，显然是不行的.-个矢量V,在选定的坐标系贝&邑中可表为尸=己国+坎电+我均而由变换规则叫'=5在经过变换的另••个坐标系腐琴^中，则可表为v=e［vi+e2v2+qV,它们之间的关系，可写为V；=W=CDS（兄占）七在学习弹性力学时，曾遇到过很复杂特性的量，这些量原叫“并矢量二现在，并矢晕:被称为二阶张量D名称“张量”起源于它和张力有关的历史.下面，首先定义具有三个量的•阶张量，其分量具有这样的特性；如果他们在任意坐标系西中某一定点上的值为飞，则在其他任何坐标系£中，在该点的值可由关系式片.'=4%求出，由于所有矢量都遵循这一规则迸行变换，这些矢量就是一阶张量。不论采用的坐标如何,一个标量，如温度,在一定点上有着相同的值，所以，标量不受变换的影响，定义为零阶张量,个一阶张量有三:个分量，一个零阶张量有一个分量，、可类似地将该定义推广到高阶张量.一个二阶张量，有九个分量。这样，如果在可坐标系中，它们在某点的值为‘％,那么在其他任何坐标系A中，在同一点的值为atj=，/用知正如个矢量完全可由二个标量来定义，-个二阶张量完全可由三个矢量来定义.1.5.2张量的代数运算加(减)法T=A+B=(A+B)ee=Teei'j'i'j'i'j'i'j'i'j'矢量与张量的点积(点乘)张量的乘法，又叫张量的外积或直积。任何阶的几个张量都可施行乘法运算。其意义是第一个张量的每一个分量乘以第二个张量的每一个分量，不难证明它们组成的集合仍是一个张量，叫做原两个张量的积张量。积张量的阶数等于两相乘张量的阶数之和。矢量与张量点乘的结果仍为张量,新张量b比原张量T的阶数降低一阶左点乘a-T=(ae)-(Tee)=aT5e-biijkjkijkijk右点乘T-a—(Tee)-(ae)-Tae5-Tae—cijijkkijkijkijjia•T丰T-a(只有对称张量两者才相等)矢量与张量的叉积矢量与张量叉乘的结果仍为张量，新张量与原张量同阶左叉乘axT—(ae)x(Tee)-aTeee—eaTee—Aiijkjkijkijrrkijrijkrk右叉乘Txa—(Tee)x(ae)-Taeee—eTaee—Bijijkkijkijkrrjkrijkir两个张量的点积两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减2A•B—(Aee•••e)•(Bee•••e)ij—kijkrs“,trst—ABee一书e•••eij—krs-tijkrst—ABee•••e•••e—Sij…kks-tijst两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量，这相当于矩阵相乘张量的缩并在张量的不变性记法中，将某两个基矢量点乘，其结果是一个较原张量低二阶的新张量,这种运算称为缩并，张量的缩并是张量特有的又一个代数运算。对阶张量进行缩并，就是对其中两相同的指标按求和约定求和。不难证明，缩并之后仍是张量，其阶数比原张量低某个偶数，这要看它是对几对指标缩并而定。二阶张量的缩并，是一个标量。低于二阶的张量（如矢量）不能进行缩并运算。A-AeeA=Ae-e=A6=A=A+A+A•,■,,,,11ccccijijijij11112233（6）指标置换这是张量所特有的代数运算之一，也是最简单的张量代数运算，如A=Aeeeijkijk若对该张量的分量中任意两个指标交换次序，得到一个与原张量同阶的新张量Aeee=BeeejikijkijkijkAeee=Aeee=Beeeijkjikjikijkijkijk如果一个张量只是对某一对特定指标对称（或者斜对称），则称之为对这对指标对称的（或者斜对称）张量。如果在一个坐标系中，一个张量对某一对指标对称（或者斜对称），那么在所有的坐标系中，它对该对指标都对称（或者斜对称）。2知识应用井筒岩体裂隙等效渗透系数张量数值法研究2.1井筒岩体淋水现状受地质、水文、施工等多种复杂因素的影响，煤矿在井筒建设之初就有淋水现象。随时间推移，淋水点越来越多，淋水量不断增大。副井井筒主要出水层位是在进入到主要含水层后开始，明显出水点集中在井壁破裂处，局部裂隙、明显出水点和井壁破裂严重的位置基本对应，大多出现在井筒的东北和西南方向，裂隙井筒岩体渗透性及其随着应力、温度的影响受到广泛关注。图2.1副井井筒内罐道梁和支护体系在淋水后锈蚀沿整个副井井深，在井壁的东北和西南出现明显的压剪破坏裂缝，东北方位裂缝多数右上到左下方向，而西北方位裂缝多数是左上到右下，呈现出与地层侏罗系地层X型压剪共轭裂缝相对应的特征。随着井筒深度增加，裂缝倾角（初始近70）有逐步变缓趋势。井壁裂缝沿井深的分布广，井深50m以下直到马头门上方均布。图2.2井深80〜200m副井井壁混凝土破坏段主要位于马头门向上100m左右范围，从地质柱状图可知，这一范围恰好处于1煤至5煤的含煤地层。从2012年4月检查情况看，局部区域的井壁厚度甚至不足15cm，井壁破坏严重，井壁后煤层清晰可见。由于煤层的自身承载力能力弱，且具有遇水膨胀的特性，井壁的淋水渗透到煤层引起向井筒内的膨胀变形进一步加剧了井壁破坏。为研究岩体温度与裂隙渗透性变化关系，进行为期3个月的静水压力及温

度对含单裂隙石英岩渗透性实验，并分析其变化机制开展了不同温度及应力作用下人工裂隙渗流试验，提出了岩样裂隙结构面温度-应力-水力耦合本构关系式。2.2井筒岩体裂隙渗透特性试验研究（1）试验装置及试验方案首先开展了大理岩人工裂隙渗透率随应力及温度变化的试验研究，获得加卸载过程中裂隙渗透率的演化规律；其次通过数值方法研究了某裂隙岩体特定张开度条件下其等效渗透系数的尺寸效应及各向异性，获得了该裂隙岩体的等效渗透系数REV及渗透张量。试样取井筒中部大理岩，将试样加工成直径49.07mm，高80mm圆柱体后，采用巴西劈裂法制作人工裂隙，制成后的裂隙试样见图2.3,其中裂隙试样为一个整体，裂隙闭合，人力难以将裂隙两侧岩块分开。图2.3试样巴西劈裂试验形成的裂缝（2）试验结果分析表2.1不同静水压力试样D-C10的渗透试验结果划|载试睑押莪试验升ifeL试睑静水压力/MPa诳汽压力/MPa渗流注率./(ml.-fiJ静水压力/MPa川气压力/MPa渗流速率油温也进7压力ZMPu牒流■速率/(ml.-s'jV(1.7023.70151]y2331IV.71.072顷|]0.6»21L70L.2022.592tl.61.3020.61130.S723.63111.1022.113791.5722.61。前22,7591.0721,3347,CI1.7?24.2217L157LOO213356.11.9419.53201.1321.42记整体坐标系下的渗透系数矩阵为K，局部坐标系下的渗透系数矩阵为K''，OXY逆时针旋转角度中为oxy，x轴与X，Y轴的方向余弦分别记为l]=cos甲，m^=sin中，y轴与X，Y轴的方向余弦分别记为12=—sin中，m2=cos甲。

K和K，的分量之间满足坐标转换关系：k”'~iiPnPj'j（1）..一lm一一一其中P=11为整体坐标系和局部坐标系的转换系数。如果以王渗透系〃Ll2g数k,k2的方向为整体坐标系的X轴和Y轴的方向，则逆时针旋转平度的局部坐标系x'轴方向的渗透系数为、-甲+k.:sin'（2）根据椭圆方程的极坐标形式，有cos'6sin20_1er*b1l~（3）对比式（2）,令—=k,—=k,-=k。a21b2212中1，沿着平角度方位径长2则可以看出渗透系数张量的分量的某种形式可以用椭圆来描述，该椭圆称为渗透椭圆（见图2.4），渗透椭圆的主轴分别为*1，沿着平角度方位径长2图2.4渗透椭圆示意图图2.5为根据渗透椭圆方程（3）拟合出来的椭圆，其中沿着中角度方位径长为■-，根据椭圆拟合结果得到渗透张量主值和主方向，最大渗最大渗透系\k*中数为6.1x10-10m/s，方向沿着x轴逆时针旋转15.4o，最小渗透系数为了3.22x10-10m/s方向沿着y轴逆时针旋转15.4。。利用式（1）求得当前坐标系下渗透张量的各个分量，等效渗透系数张量为5.