《合情推理与演绎证明》文字素材8(新人教A版选修12)

推理与证明复习指导关于数学的学习，应具备“能力”，此中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思想”能力形式．经过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以加强对问题的敏锐的察看，深刻的理解、意会能力．一．推理部分1．知识结构：演绎推理推理归纳和情推理类比2．和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理．①归纳推理：由某类事物的部分对象拥有某些特色，推出该类事物的所有对象都拥有这些特色的推理，或有个别事实归纳出一般结论的推理，称为归纳推理．②类比推理：由两类对象拥有某些近似特色和此中一类对象的某些已知特色，推出另一类对象也拥有这些特色的推理称为类比推理．③定义特色；归纳推理是由特别到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特别到特别的推理；都能由已知推断、猜想未知，进而推理结论．可是结论的靠谱性有待证明．比如：已知

f(n)

n2

5n

3，能够

f(1)

1

0，

f(2)

30,f(3)

30,f(4)

10，于是推出：对入任何

nN

，都有

f(n)

0；而这个结论是错误的，明显有当

n5时，

f(5)

30．所以，归纳法获取的结论有待证明．比如：“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”；类比线与线获取：“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“；明显此结论是错误的”．类比线与面获取：在空间与同一个平面垂直的两个平面平行；明显此结论是错误的．④推理过程：从详细问题出发察看、剖析、比较、联想归纳、类比猜想．3．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特别状况下的结论，这类推理称为演绎推理（逻辑推理）．①定义特色：演绎推理是由一般到特别的推理；②数学应用：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；推理模式：“三段论”：ⅰ大前提：已知的一般原理（M是P）；ⅱ小前提：所研究的特别状况（S是M）；ⅲ结论：由一般原理对特别状况作出判断（会合简述：ⅰ大前提：xM且x拥有性质P；

S是

P）；ⅱ小前提：yS且SM；ⅲ结论：y也拥有性质P；例题1．若定义在区间D上的函数f(x)关于D上的n个值x1,x2,xn，总满足1f(x1)f(x2)f(xn)f(x1x2nxn)，称函数f(x)为D上的n凸函数；现已知f(x)sinx在(0,)上是凸函数，则ABC中，sinAsiBnsC的i最n大值是．解答：由1f(x1)f(x2)f(xn)f(x1x2xn)（大前提）nn因为f(x)sinx在(0,)上是凸函数（小前提）()()()3(ABC（结论）得)AfBfCff3即sinAsinBsinC3sin3323所以，sinAsinBsinC的最大值是332注：本题是一典型的演绎推理“三段论”题型４．和情推理与演绎推理的关系：①和情推理是由特别到一般的推理，演绎推理是由一般到特别的推理；②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的靠谱性；axaxaxax0且a1）例２．设f(x)，g(x)（此中a221）５＝２＋３请你推断g(5)可否用f(2),f(3),g(2),g(3)来表示；（2）假如（1）中获取了一个结论，请你推断可否将其推行.解答:（1）由f(3)g(2)g(3)f(2)＝a3a3a2a2＋a3a3a2a2a5a52222＝2又g(5)＝a5a52所以，g(5)＝f(3)g(2)g(3)f(2)（2）由g(5)＝f(3)g(2)g(3)f(2)即g(23)＝f(3)g(2)g(3)f(2)于是推断g(xy)＝f(x)g(y)g(x)f(y)证明：因为：f(x)axaxaxa2，g(x)2

x（大前提）所以g(xy)＝axyaxy，2g(y)＝

aya

y，f(y)＝aya

y，（小前说起结论）2所以f(x)g(y)

2g(x)f(y)＝axaxayayaxaxayay2＋222＝axyaxy＝g(xy)2解题评注：本题是一典型的由特别到一般的推理，结构g(23)＝f(3)g(2)g(3)f(2)是本题的一大难点，要经过察看、剖析、比较、联想而得到；进而归纳推出一般结论g(xy)＝f(x)g(y)g(x)f(y)．二．证明部分１．知识结构数学归纳法综合法证明直接证法剖析法２．综合法与间接证法反证法剖析法①综合法；利用已知条件和某些数学定义、公义、定理等出发，经过一系列推理论证，推导出所要证明的结论建立．②剖析法：从要证明的结论出发逐渐追求使它建立的充分条件，直至把要证明的结论归纳为鉴别一个明显建立的条件为止．③综合应用：在解决问题时，常常把综合法与剖析法和起来使用；使用剖析法找寻建立的条件，再用综合法写出证明过程．例３．已知：ab0，求证：证明：因为ab0所以(ab)2abab(ab)28a28b又由已知ab0，所以，b1a建立．ab因为以上剖析步步等价，所以步步可逆．故结论建立．解题评注：(1)以上解答采纳恒等变形，其实质从上往部下于剖析法，反之属于综合法．(2)这里表示了b1a,(ab0)是结论建立的充要条b件,自然找到了却论建立的充分条件就能够了.例4.求证抛物线y22px(p0)，以过焦点的弦为直径的圆必与p相切.2／／证明：（如图）作AA、BB垂直／准线，取AB的中点M，作MM垂直准线.要证明以AB为直径的圆与准线相切

／AA／MM／FBB／1｜AB｜只要证｜MM｜＝2由抛物线的定义：／／｜＝｜BF｜｜AA｜＝｜AF｜，｜BB／／所以｜AB｜＝｜AA｜＋｜BB｜／1／／所以只要证｜MM｜＝2（｜AA｜＋｜BB｜）依据梯形的中位线定理可知上式是建立的.所以以过焦点的弦为直径的圆必与xp相切.以上解法同学们不难以综合法作出解答.2解题评注:剖析法是从结论出发找寻证题思路的一种重要的思想方法,特别是题设和结论相联合,即综合法与剖析法相联合,可使好多较为复杂的问题获取解决.数学归纳法一般地，证明一个与正整数ｎ相关的命题的步骤以下：1）（归纳奠定）证明当ｎ取第一个值ｎ0时命题建立；（2）（归纳递推）假定ｎ＝k（(kn0,kn)时命题建立，证明当nk1时命题也建立。就能够判定对从ｎ0开始的所有正整数ｎ都建立．其证明的方法叫数学归纳法．（3）学习重点：理解第一步是推理的基础，第二步是推理的依照，二者缺一不行．特别地，在证明第二步nk1时命题建立，必定要用上归纳假定ｎ＝k时命题建立；此外在证明第二步时第一要有明确的目标式，即确立证题方向；数学归纳法常和和情推理综合应用，特别常以归纳推理为前提．例５．已知数列a的前n和为Sn，此中aSn1且annn(2n1)13求a2,a3猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法加以证明．解答：（1）a2S2a1a221)62(2又a1，则a1，近似地求得a113215335（2）由a111，a231，a317355猜得：an

1(2n1)(2n1)以数学归纳法证明以下：①当n1时，由（1）可知等式建立；②假定当nk时猜想建立，即ak1(2k1)(2k1)那么，当nk1时，由题设anSn得n(2n1)akSk，ak1Sk1k(2k(k1)(2k1)1)所以Sk(2k1)a＝k(2k1)1＝k1)(2k1)2k1(2kak1SKSK(k1)(2k1)akk11－1k2k所以，k(2k3)ak12k1所以ak111(2k1)(2k3)[2(k1)1][2(k1)1]这就证了然当nk1时命题建立.由①、②可知命题对任何nN都建立.解题评注：（1）本题第一采纳了归纳推理，即由特别到一般的推理；Sn对任何nN都建立，所以要注（2）解题时注意已知式an1)n(2n意其变形应用；归纳假定已用上，在上边的横线处，是解题重点的一步.三．高考要求高考重申对数学思想能力的观察，“和情推理”是一种重要的归纳、猜想推理，它是发现问题和持续推理