2020秋高中数学人教版2-2学案：1.1.1变化率问题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020秋高中数学人教A版选修2-2学案：1.1.1变化率问题含解析第一章导数及其应用为了刻画现实世界中运动变化着的现象，在数学中引入了函数．随着人们对函数研究的深入，人们在思考：已知物体运动的路程作为时间的函数，在任意时刻的速度与加速度是怎样的一种关系?怎样求任意曲线的切线和曲边形的面积、几何体的体积?怎样研究复杂函数的变化规律？怎样解决生活中的优化问题？……于是，导数与积分应运诞生了，它是数学史上具有划时代意义的伟大创造,是数学史上的里程碑．当你看到“导数”“积分”这两个名词时,你可能会感到陌生，其实它不过是初中数学的延伸．本章我们将会系统的学习如何用导数工具研究函数的性质，解决生活中的优化问题等一系列问题．学习本章，要深刻领会以直代曲,无限细分、积分的极限思想，体会用微观驾驭宏观的辩证思维方法，体会构造在研究数学中的作用．

1。1变化率与导数1。1.1变化率问题自主预习·探新知情景引入中国体坛名将刘翔在21岁时,以12.94秒的成绩打破了12.95秒的奥运会纪录,但经过验证他是以12。91秒平了世界纪录，他的平均速度达到8。52米/秒．通过这个事例我们可以看出,世界充满着变化，有些变化几乎不被人们所察觉,有的变化比较明显，而有些变化却让人们发出感叹和惊呼．这就是人们经常关心的变化快慢—-变化率问题．新知导学1．在气球膨胀过程中，当空气容量从V1增加到V2时，气球的半径从r(V1)增加到r(V2),气球的平均膨胀率是__eq\f（rV2－rV1，V2－V1)__。随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变__小__.2．高台跳水运动员当高度从h（t1)变化到h(t2)时，他的平均速度为__eq\f(ht2－ht1，t2－t1)__。3．函数平均变化率的定义已知函数y＝f(x)，当自变量x从x1变化到x2时，函数值从f（x1）变化到f（x2）,则当x1≠x2时，比值__eq\f（fx2－fx1，x2－x1)__为函数f（x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1,用__x1＋Δx__代替x2；类似地，__Δy＝f(x2）－f(x1）__，于是平均变化率可以表示为eq\f（Δy，Δx)。预习自测1．（2020·凉州区校级期末)在平均变化率的定义中,自变量的增量Δx满足(D）A．Δx＜0 B．Δx＞0C．Δx＝0 D．Δx≠0［解析]由导数的定义，可得自变量x的增量Δx可以是正数、负数，不可以是0。故选D．2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy＝（D)A．f(x0＋Δx) B．f（x0)＋ΔxC．f（x0)·Δx D．f（x0＋Δx）－f（x0)［解析]函数值的改变量Δy是表示函数y＝f（x)在x＝x0＋Δx的函数值与x＝x0的函数值之差，因此有Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）．3．已知函数f(x）＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1。1，则函数f(x）从A点到B点的平均变化率为（C)A．4 B．4xC．4.2 D．4.02［解析]eq\f(f1。1－f1，1。1－1)＝eq\f(2×1。12－4－2×12－4,0。1）＝eq\f(0.42,0。1）＝4.2，故选C．4．已知函数y＝eq\f(1,2）(x2＋1)，则函数从x0到x0＋Δx的平均变化率是__x0＋eq\f（1，2)Δx__.[解析]eq\f（Δy，Δx）＝eq\f(\f（1,2)[x0＋Δx2＋1]－\f(1，2)x\o\al（2,0）＋1，Δx）＝x0＋eq\f（1,2)Δx。互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶求函数的平均变化率典例1求函数y＝2x2＋3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝－eq\f（1，2)时该函数的平均变化率．［思路分析］依据函数的平均变化率的定义，只要求出函数的平均变化率的表达式，代入相应的数值，即可求出相应的平均变化率．［解析]当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为eq\f（Δy，Δx）＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx）＝eq\f([2x0＋Δx2＋3]－2x\o\al（2，0）＋3,Δx）＝eq\f(4x0Δx＋2Δx2，Δx)＝4x0＋2Δx。当x0＝2，Δx＝－eq\f（1,2)时，平均变化率的值为4×2＋2×(－eq\f（1,2)）＝7.『规律总结』1.求函数f(x)的平均变化率的一般步骤为：①求函数值的增量：Δy＝f（x0＋Δx）－f(x0）；②计算平均变化率：eq\f（Δy，Δx）＝eq\f(fx0＋Δx－fx0，Δx）。2．要注意Δx，Δy的值可正，可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f（x)为常值函数,则Δy＝0。┃┃跟踪练习1__■求函数y＝x3从x0到x0＋Δx之间的平均变化率,并计算当x0＝1,Δx＝eq\f（1,2)时平均变化率的值．［解析］当自变量从x0变化到x0＋Δx时,函数的平均变化率为eq\f（Δy，Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0，Δx）＝eq\f（x0＋Δx3－x\o\al（3，0),Δx）＝3xeq\o\al（2，0)＋3x0Δx＋(Δx)2当x0＝1,Δx＝eq\f(1，2）时平均变化率的值为3×12＋3×1×eq\f（1，2)＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2))）2＝eq\f（19,4)。命题方向❷平均变化率的应用典例2试比较正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝eq\f（π,2)附近的平均变化率哪一个大？[思路分析]求正弦函数的平均变化率可按三角函数知识变形，便于比较大小．在x＝0与x＝eq\f（π，2)附近，Δx很小，可正可负，故比较平均变化率的大小，应依据作差后的表达式考虑判断方法,先求两点的平均变化率k1、k2,再作差k1－k2变形,最后依据函数知识确定符号下结论．[解析］当自变量x从0变化到Δx时，函数的平均变化率为k1＝eq\f（sinΔx－sin0,Δx）＝eq\f（sinΔx，Δx）.当自变量x从eq\f（π,2)变化到eq\f（π,2）＋Δx时，函数的平均变化率为k2＝eq\f（sin\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋Δx)）－sin\f（π,2)，Δx）＝eq\f(cosΔx－1,Δx)。由于是在x＝0和x＝eq\f(π,2)的附近的平均变化率，可知|Δx|较小，但Δx既可为正，又可为负．当Δx＞0时，k1＞0，k2＜0，此时有k1＞k2；当Δx＜0时，k1－k2＝eq\f(sinΔx,Δx）－eq\f（cosΔx－1,Δx）＝eq\f(sinΔx－cosΔx＋1,Δx)＝eq\f(\r（2)sin\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(Δx－\f(π，4）））＋1,Δx).∵Δx＜0，∴Δx－eq\f(π，4)＜－eq\f（π,4)，∵|Δx|很小，∴sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（Δx－\f(π,4）））＜－eq\f（\r（2)，2)。从而有eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（Δx－\f(π，4）））＜－1，则eq\r（2）sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(Δx－\f(π，4）))＋1＜0，又∵Δx〈0，∴k1－k2＞0,即k1＞k2。综上,k1〉k2。即正弦函数y＝sinx在x＝0附近的平均变化率比在x＝eq\f(π，2)附近的平均变化率大．『规律总结』比较函数平均变化率的大小,可以先将函数在每个自变量附近的平均变化率求出，然后进行大小的比较．┃┃跟踪练习2__■已知函数f(x)＝3x2＋2，求f(x)在x0＝1,2，3附近Δx＝eq\f(1，2)时的平均变化率k1，k2,k3，并比较其大小．［解析]∵eq\f（fx0＋Δx－fx0,x0＋Δx－x0）＝eq\f（[3x0＋Δx2＋2］－3x\o\al（2，0)＋2,Δx）＝eq\f(6x0·Δx＋3Δx2,Δx）＝6x0＋3Δx。∴函数f(x）＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0＋3Δx。当x0＝1，Δx＝eq\f(1，2）时，函数在[1，1.5]上的平均变化率为k1＝6×1＋3×0.5＝7。5；当x0＝2,Δx＝eq\f（1，2）时,函数在［2，2.5]上的平均变化率为k2＝6×2＋3×0。5＝13。5;当x0＝3,Δx＝eq\f（1,2)时，函数在[3，3。5］上的平均变化率为k3＝6×3＋3×0。5＝19。5,所以k1<k2〈k3.学科核心素养平均变化率的几何意义一般地，设函数y＝f（x)的图象是曲线C，P（x0,y0）是曲线C上的定点，Q(x0＋Δx，y0＋Δy）是曲线C上与点P邻近的点，则y0＝f(x0)，y0＋Δy＝f(x0＋Δx），即Δy＝f(x0＋Δx）－f（x0)．我们把直线PQ叫做曲线C的割线，割线PQ的斜率k＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).这就是函数y＝f（x)从x0到x0＋Δx的平均变化率，所以函数的平均变化率表示连接函数y＝f（x）图象上两点割线的斜率．典例3过曲线y＝f（x）＝x2－x上的两点P(1，0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求Δx的值．［思路分析］割线PQ的斜率即为函数f(x）从1到1＋Δx的平均变化率eq\f（Δy,Δx）。［解析]∵Δy＝f（1＋Δx)－f(1)＝（1＋Δx）2－(1＋Δx)－（12－1）＝Δx＋(Δx）2，∴割线PQ的斜率k＝eq\f(Δy,Δx）＝1＋Δx.又∵割线PQ的斜率为2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1.『规律总结』解决本题的步骤是：首先求出函数值的变化量Δy,然后求出自变量的变化量Δx，最后利用平均变化率即为割线的斜率建立等量关系，利用方程思想求解Δx的值．┃┃跟踪练习3__■过曲线f(x）＝x3上两点P(1,1)和Q（1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线,求出当Δx＝0。1时割线的斜率．［解析]∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1）＝(1＋Δx)3－1＝(Δx）3＋3（Δx)2＋3Δx，∴割线PQ的斜率k＝eq\f（Δy，Δx)＝eq\f（Δx3＋3Δx2＋3Δx，Δx）＝(Δx）2＋3Δx＋3。设Δx＝0.1时割线的斜率为k1,则k1＝0.12＋3×0.1＋3＝3.31.易混易错警示不能正确识图致误典例4A,B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1（t)，W2(t）与时间t（天)的关系如图所示，则一定有(B）A．两机关单位节能效果一样好B．A机关单位比B机关单位节能效果好C．A机关单位的用电量在［0，t0］上的平均变化率比B机关单位的用电量在［0，t0]上的平均变化率大D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大［错解]选C．因为在（0，t0)上,W1（t)的图象比W2（t）的图象陡峭，∴在（0，t0）上用电量的平均变化率，A机关单位比B机关单位大．［辨析]从图上看，两机