2023年高考数学微专题专练6含解析

专练6函数的奇偶性与周期性

命题范围：函数的奇偶性、函数的周期性.

［基础强化］

一、选择题

1—x

1.［2021•全国乙卷］设函数/•(力=干，则下列函数中为奇函数的是()

A./(x-l)-lB./U-1)+1

C./U+D-1D./U+D+l

2.［2020•全国卷H］设函数f(x)=f—则f(x)()

X

A.是奇函数，且在(0,+8)单调递增

B.是奇函数，且在(0,+8)单调递减

C.是偶函数，且在(0,+8)单调递增

D.是偶函数，且在(0,+8)单调递减

3.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当*C(0,+8)时，f(x)=log2X,则A-8)

=()

1

A.3B.-

O

1

C.一"D.-3

4.［2022•安徽省蚌埠市高三下学期质检］已知定义域为R的偶函数/'(x)满足Al+x)

17

=f(l—x),f(-)=1，则/(—2)=()

3

A.—~B.—1

「3

C.1D."

5.定义在R上的偶函数/"(x)满足f(x+2)=f(x),当xd［0,1］时，f(x)=3'，则()

A.f(一l)=f(2)B.f(一l)=f(4)

,3,,5..3...

C./■(一］)>/)D.7•(一］)=/■⑷

6.［2021•全国甲卷］设Hx)是定义域为R的奇函数，且/Xl+x)=H—x).若(-0=

1

)

3

7.已知/'(x)是定义在R上的偶函数，且在(一8,0］上是增函数，设a=f(log"),b

=f(log⑶，c=f(0.2"6),则ab,c的大小关系是()

A.c</XaB.Xc〈a

C.从水cD.a〈b〈c

8.［2022•东北三省高三联考］定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)=f(—x+2),则

A2022)=()

A.0B.—1

C.1D.不确定

9.己知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若A5)=^-7-，则实数

a+1

a的取值范围为()

A.(-1,4)B.(-2,0)

C.(—1,0)D.(—1,2)

二、填空题

10.［2022•四川省成都“二诊模拟”］函数/V)是定义在R上的奇函数，当一l<x<0

时，f(x)=3',则f(log32)=..

11.［2022•陕西省西安中学高三模拟］已知函数/■(x)=(e*—31n(次工一”)为R上

的偶函数，则实数a=.

12.已知/,(x)是定义在R上的偶函数，令夕(x)=(x—8)+2017,若6是a,c

的等差中项，则F(a)+6(c)=.

［能力提升］

13.［2022•江西省临川高三模拟］已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(-x)=一以分，

函数y=f(x+D为偶函数，且当xG［0，1］时，F(x)=log2(x+a),则/'(2022)+f(2023)

=()

A.-1B.1

C.504D.无法确定

14.［2022•贵州省高三适应性测试］函数y=f(x)(xeR)的图像关于点(0,0)与点(1,

0)对称.当xC(-l,0］时，Ax)=-Z则/尊=()

15.[2022•陕西省西安高三三模]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x£[0,1]

时,f(x)=sin冗x,且满足当%>1时，/'(x)=2f(x—2),若对任意xQ[一如m\,f{x}W2小

成立，则力的最大值为()

16.[2022•全国乙卷(文)，16]若f(x)=ln—+6是奇函数，则d=___,

b=.

专练6函数的奇偶性与周期性

1.B通解选项A：因为函数/'(x)=H，所以/Xx—1)—1=片麦・-1=。

1十X1十(X—1)X

2

-1=--2,当x=l,—1时，函数/Xx—1)—1的值分别为0,—4.据此，结合函数奇偶性

的定义可知该函数不具有奇偶性.

选项B：因为函数f(x)=三1—,X所以/(x-D+l=1一—(X—1)+1=—9—+V1--.2据此，

l+x1+(X—1)XX

结合函数奇偶性的定义可知该函数为奇函数.

1—x1—(*+1)Y

选项C：因为函数f(x)=H，所以1)-1=.,-,/-1=--D7-1=-

1十xAA-+1十(才+1)x十2

表2丫-歹1-2，当x=i，-1时，函数Hx+D—i的值分别为一4可，。.据此，结合函数奇偶性的定

x+23

义可知该函数不具有奇偶性.

1—v1—(V—I-1)x2

选项D：因为函数f(x)=丁一，所以f(x+1)+1=1=—F+1=F，

XIJiXI\X-1/JiI乙XI乙

9

当x=l,—1时，函数/tr+1)+1的值分别为于2.据此，结合函数奇偶性的定义可知该函

O

数不具有奇偶性.

综上，所给函数中为奇函数的是选项B中的函数.

优解因为函数/"(x)=T=3T1+三一，所以函数f(x)的图像关于点(一1,

1十X1十X1十X

-1)对称.

选项A：因为将函数/Xx)的图像先向右平移1个单位，再向下平移1个单位，可得到函

数?•(x—D-l的图像，所以可知函数f(x—D—l的图像关于点(0,—2)对称，从而该函数

不是奇函数.

选项B：因为将函数f(x)的图像先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，可得到函

数/1(x-1)+1的图像，所以可知函数1)+1的图像关于点(0,0)对称，从而该函数是

奇函数.

选项C：因为将函数f(x)的图像先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，可得到函

数/i(x+1)—1的图像，所以可知函数f(x+l)—1的图像关于点(一2,—2)对称，从而该函

数不是奇函数.

选项D：因为将函数/Xx)的图像先向左平移1个单位，再向上平移1个单位，可得到函

数/Xx+1)+1的图像，所以可知函数f(x+l)+l的图像关于点(一2,0)对称，从而该函数

不是奇函数.

综上，所给函数中为奇函数的是选项B中的函数.

2.A解法一由函数/=父和y=-3都是奇函数，知函数/'(X)=*3-9是奇函数.由

函数尸f和y=-3都在区间(0,+8)上单调递增，知函数『(0=3一+在区间(0,+8)

上单调递增，故函数是奇函数，且在区间(0,+8)上单调递增.

X

解法二函数f(x)的定义域为(一8,0)U(0,+8),关于原点对称，*_才)=(―才)3

---(1、；尸_.+4=一『(十),故F(X)=f-^是奇函数.

(—X)XX

・・・£(%)=3^2+->0,.・.F(x)在区间(0,+8)上单调递增.

x

3.D・・・F(x)为奇函数，A-8)=-A8)=-1og28=-3.

4.C因为函数/*5)是定义域为R的偶函数，

所以f(x)=f(—x),

又因为f(l+x)=f(l—x),

所以f\2—x)=f{x),

则/'(2—x)=f(—x),即f(2+x)=f{x),

所以周期为7=2,

因为W)=i,

『(一|)=f(2—|)=r(1)=i.

5.C5f(x+2)=f(x),(力的周期为2,又fCO为偶函数，.•./1(-l)=f(l)=3i

=3,=AO)=3A4)=Ao)=i,f(一|)=f(卞=//(|)=y(-1)=A|)=酝，

.3.方、

A-2)>Ag).

6.C因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以1(—x)=—F(x).又F(l+x)=f(—x),

所以f(2+x)=f[l+(1+%)]=/[—(1+x)]=-F(l+x)=-f(—x)=f(x),所以函数f(x)

是以2为周期的周期函数，A|)=A|-2)=A-1)=1.

7.CHx)是定义在R上的偶函数，且在(-8,0]上是增函数，得函数在(0,+8)

上是减函数，图像越靠近y轴，图像越靠上，即自变量的绝对值越小，函数值越大，由于

0<0.206〈l<log,7〈log"9=logz3,可得b<a<c.

8.A因为函数/Xx)是奇函数，

所以f(—%)=—f(x),

所以由f(x)=/1(—*+2)=『(一*)=/'(x+2)=—f(x)=F(x+4)=-f(x+2)=f(x)=

f(x+4),所以该函数的周期为4,

所以/1(2022)=f(505X4+2)=F(2)=F(—2+2)=f(0)=0.

9.A是周期为3的偶函数，

Oo——Q

，F(5)=/(5-6)=/(-1)=AD—\>

a+1

2a—3

又A—rr<l,得一1〈水4.

10.答案：一；

解析:因为log32£(0,1),所以一log32£(―1,0),

由_f(x)为奇函数得：Alog32)=—f(—log32)=—Alog31)=-31og3^=—

11.答案：1

解析：由偶函数得f(—x)=f(x),

即(十一e")lnN.+a+x)=(e,-4)InC\//+a—x)对x£R恒成立，整理得g一

e^)lna=0,故lna=0,a=\.

12.答案：4034

解析：/®+ac)=(a—b)F(a—b)+2017+(c—b)F(c—6)+2017.,.・，是a,c的等差

中项，.，•。-b=—(c—b),令g(x)=xf(x)，则g(—x)=—xf{—x)=—xf{x)=-g(x),・，・g(x)

=xf(力是奇函数.；・(a—6)f(a—b)+(c-tf)f(c-ti)=0,/.F{a)+F(c)=2017+2017=

4034.

13.A因为函数y=F(x)的定义域为R,且f(-x)=一£(王)，

所以函数尸/'(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(0)=log2a=0,解得a=l,

即f(力=logz(x+l),F⑴=logz2=l；

因为y=f(x+l)为偶函数，

所以f(x+l)=f(—x+l),

即尸/'(x)的图像关于x=l对称，

又y=f(x)满足f(-x)=-f(x),

所以f(x+l)=-F(x—1),

则/'(x+2)=—f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

即函数尸F(x)是周期函数，周期为4,

则f(2022)+A2023)=f(2)+F(3)=一『(0)一/'(1)=-1.

14.A因为尸/'(x)图像关于点(0,0)与点(1,0)对称，所以/X—x)+f(x)=0,且

f(2-x)+F(x)=0,所以/•(2-x)=f(-x),即f(x)=f(x+2),所以/'(x)是以2为周期的

周期函数，当xC(—1,0］时，/1(*)=-F所以/'(1)=/•(—^+2)=/'(一》=—(—；)2=—

1

4

15.B由题意，函数/'（X）是定义在R上的奇函数，当x£[0,1]时，f（x）=sinn%,

当[―1,0）时，f{x）=-/、（一x）=—sin（一冗x）=sinnx,即f{x}=sin兀x,[—1,

1],又由当x>l时，F（x）=2f（x—2）,可画出函数图像，如图所示.

由图知，当3WxW5时，F（x）=4f（x-4）=4sin（兀彳-4n）=4sin五x；

则当一5WxW-3时，F（x）=-f（—x）=4sinJix；

当一5W后一3时，令4sinnx=2镉，解得小=一日，*2=一?（舍去），

•JO

若对任意[—而，加，成立，所以勿的最大值为

O

1

氮

答I

6.-2一