高考试题-数学理(宁夏卷)

2007年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（宁夏）

本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分.第n卷第22题为选考题,

其他题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后,

将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准

考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上.

2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号;

非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚.

3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.

5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的

标号涂黑.

参考公式：

样本数据占，,乙的标准差锥体体积公式

轲F+—+(…力V^-Sh

3

其中最为样本平均数其中S为底面面积、h为高

柱体体积公式球的表面积、体积公式

，4,

V=ShS=4nR2,丫=一兀火3

3

其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知命题P：VXER,sinxWl,则（）

A.-np:GR,sinxN1B.—:VxGR,sinxN1

C.-np:GR,sinx>1D.—^p:VxGR,sinx>1

13

2.已知平面向量Q=(1,1),ft=(L—1),则向量一Q—b=()

22

A.(—2,—1)B.(—2,1)

C.(-1,0)D.(—1,2)

JT

3.函数y=sin[2x-g在区间—上,兀的简图是（）

2

y

n

o33-1

~26

A.B.

yy

兀>

兀0xHi兀

2623

c.D.

4.已知｛4｝是等差数列,Go=10,其前10项和Si0=70,则

其公差d=()

A.--B.cD

3~3I-1

5.如果执行右面的程序框图，那么输出的S)

A.2450B.2500

C.2550D.2652

6.已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为方，

点《(即/),P2(x2,y2),吕（工3,％）在抛物线上，

且2々=玉+退，则有（)

B.附『+照叫2

A,闷+|%=阀|

C.2上⑷=|咐|+忻图D•阀「=阀・|阳

a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则（“+：」的

7.已知x>0,y>0,x,

最小值是（）

A.0B.1C.2D.4

8.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出

的尺寸（单位：cm）,可得这个几何体的体积是

)

40003

A.----cm

3

80003

B.----cm

3

C.2000cm3

D.4000cm3

则cosa+sintz的

值为（）

不

21~T

10.曲线y=e?”在点（4e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（)

A.-e2B.4e2C.2e2D.e2

2

11.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表

甲的成绩乙的成绩丙的成绩

环数78910环数78910环数78910

频数5555频数6446频数4664

4,52,S3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）

A.*>M>V2B.s2>S]>S3

C.S]>s2>S3D.S2>S3>S]

12.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且

底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、

三棱柱的高分别为九，为，“，则4：饱：打=（）

A.存1:1B.73:2:2C.73:2:V2D.0:2:百

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须

做答，第22题为选考题，考生根据要求做答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心

率为.

14.设函数"X）=（"+1）（"+"）为奇函数,则。=.

X

15.i是虚数单位，-5+10<=.（用4+方的形式表示，a,Z>eR）

3+4z----------

16.某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个

班，不同的安排方法共有种.（用数字作答）

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底8在同一水平面内的两个测点C与。.现

测得N8CO=a,ZBDC=/3,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为氏求塔高

18.（本小题满分12分）

如图，在三棱锥S-ABC中，侧面S48与侧面S4c均为等边

三角形，NB4c=90°,。为BC中点.

（I）证明：SO_L平面ABC；

（II）求二面角A—SC—3的余弦值.

B

19.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中,经过点（0.V2）且斜率为k的直线/与椭圆三+丁=1有两个不

同的交点P和。.

（I）求Z的取值范围；

（II）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为AB,是否存在常数%,使得向量

OP+OQ与AB共线？如果存在，求女值；如果不存在，请说明理由.

20.(本小题满分12分)

如图，面积为S的正方形A8CD中有一个不规则的图形M,可按下面方法估计M的面积:

在正方形ABCD中随机投掷〃个点，若〃个点中有机个点落入M中，则M的面积的估计

值为‘S,假设正方形A6C£＞的边长为2,M的面积为1,并向正方形A8CO中随机投

n

掷10000个点，以X表示落入M中的点的数目.D

(I)求X的均值EX；

(II)求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际

值之差在区间(-0.03,0.03)内的概率.

附表：PGtQXaooooxOWxcnsiw

(=oA

k2424242525742575

P(k)0.04030.04230.95700.9590

21.(本小题满分12分)

设函数/(X)=ln(x+cz)+x2

(I)若当x=—1时，/(x)取得极值，求a的值，并讨论/(幻的单调性;

e

(H)若/(x)存在极值，求。的取值范围，并证明所有极值之和大于In^.

22.请考生在A,B,C三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，

用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

22.A(本小题满分10分)选修4一1：几何证明选讲

如图，已知AP是。的切线，P为切点，AC是0

的割线，与0交于B,C两点，圆心。在NB4C的

内部，点M是BC的中点.

(I)证明AP,O,"四点共圆；

(II)求NQ4A/+NAPM的大小.

C

22.B(本小题满分10分)选修4一4：坐标系与参数方程

。］和O2的极坐标方程分别为p=4cos6,/?=-4sin9.

(i)把a和Q的极坐标方程化为直角坐标方程;

(H)求经过0厂O2交点的直线的直角坐标方程.

22.C(本小题满分10分)选修4-5；不等式选讲

设函数/(x)=|2x+lk|x-4|.

(I)解不等式，(x)>2；

(II)求函数y=/(x)的最小值.

2007年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题参考答案（宁夏）

一、选择题

1.c2.D3.A4.D5.C6.C

7.D8.B9.C10.D11.B12.B

填空题

13.314.15.l+2i16.240

三、解答题

17.解：在△68中,Z.CBD=n—a-/3.

CD

由正弦定理得——

sinZBDCsinZCBD

叱““CDsinZBDC^•sinB

所以EC==

sinZ.CBDsin(a+/3)

在中，AB=BCtanZACB=5，tan^sm^.

sin(a+/7)

18.证明：

(I)由题设AB=AOSB=SC=1s4,连结。4,△ABC

/y

为等腰直角三角形，所以0A=08=0C=,且

2

AOI.BC,又△SBC为等腰三角形，故SOL3C,且

6

SO^—SA,从而aV+SO'-SAt

2

所以△SOA为直角三角形，SO1AO.

又AOBO=O.

所以SO，平面ABC.

（II）解法一：

取SC中点M,连结AMO.,由（I）知SOQC=SA,得

OMl.S,CALM.

...NOM4为二面角A—SC—3的平面角.

由4OLBC,AO±SO,SO3。=0得40_1_平面58。.

所以AOLOM,又4加=迫£4,

2

故sinZAMO=也=年=

AM63

所以二面角A-SC-B的余弦值为也.

3

解法二：

以。为坐标原点，射线0804分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系

O-xyz.

设8(1,0,0),则。(一1,。0),4(0,1,0),5(0,0,1).

：.MO'SC=0,MA'SC=0.

故MO±SC,MAISC,<MO,MA>等于二面角

A—SC-B的平面角.

皿MO-MAG

cos<MO,MA>=।-------1=——，

n3

所以二面角A—SC—3的余弦值为Y二.

3

19.解：（I）由已知条件，直线/的方程为旷=日+血,

2

代入椭圆方程得二+（区+/）2=1.

2

整理得2+2&区+i=o①

直线/与椭圆有两个不同的交点P和。等价于△=8公一4（；+%2）=4公一2＞0,

初/旦,近旬1垃

解得左＜一-—或人＞——.即人的取值范围为一8,_

22

(n)设P(X[,y),Q(X2,%)，则OP+OQ=(玉+毛，X+%)，

限叵k

由方程①，%+无2=

1+2公

③

又,+%=k(%+X2)+25/2.

而A(0,O),3(0,1),AB=(-V2,l).

所以。尸+OQ与AB共线等价于％+与=一&(y+%)，

将②③代入上式，解得左=也

2

由(I)知k一旦或k)旦,故没有符合题意的常数人.

22

20.解:

每个点落入M中的概率均为p=；.

依题意知乂~8(10000,；).

(I)EX=10000x-=2500.

4

(II)依题意所求概率为-0.03<一工一x4-l<0.03

I10000)

P\-0.03<^^x4-1<0.03|=P(2425<X<2575)

I10000J

2574

=EGooo。X0.25'xO^i0000-'

1=2426

25742425

EGooooxO.25'X0.75",-XG'oooox0.25,x0.75mxM

/=2426/=0

=0.9570-0.0423=0.9147.

21.解：

(I)f'(x)=-^—+2x,

x+a

3

依题意有［(一1)=0,故。=；.

2x2+3x+1(2x+l)(x+l)

从而f\x)=

33

XH—x+-

22

/(X)的定义域为,"l，+83

,当—5<x<-1时，/'(%)>0；

当—l<x<-一时，f\x)<0；

当x>—,时，f\x)>0.

从而，/(X)分别在区间(―3，-11(一；，+8)单调增加，在区间(一1，—；)单调减少.

2x2+2ox+l

(II)y(x)的定义域为+8),r(x)

x+a

方程2/+2以+1=0的判别式△=4/一8.

(i)若A<0,即一起<。(夜，在/(x)的定义域内/(x)〉0,故/(x)的极值.

(ii)若△=(),则。一血或。=-V2.

若a=6,XG(-"+8),/，(无)=(垃.二)一.

x+yjl

万(5、

当X=-----时，/'(X)=0>当X€-yfi,-----时，/'(x)〉0,所以/(幻

2I2,38)

无极值.

若。=一及，xe(0,+8),r(x)=(®1二)>0，/(X)也无极值.

x-\j2

(iii)若△>(),即。>血或。<-夜，则2x?+2ax+1=I有两个不同的实根

-a-yja1-2-a+y/a2-2

x.=-----------.x,=------------.

122

当。<一行时，x]<-a,x2<-a,从而/'(x)有.f(x)的定义域内没有零点，故f(x)无极

值.

当a>血时，玉>一。，々>一。，/'(尤)在/(处的定义域内有两个不同的零点，由根值

判别方法知/(%)在x=*x=々取得极值.

综上，.f(x)存在极值时，。的取值范围为("+8).

/(幻的极值之和为

9717e

/(Xj)+/(x2)=ln(Xj+。)+玉+ln(x2+a)+x2=In—+a-—1>l-ln2=In—.

22.A

(I)证明：连结。P,OM.

因为AP与。相切于点P,所以OPLAP.

因为M是。的弦8C的