高考试题数学文(山东卷)

2008年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

文科数学

第I卷(共60分)

参考公式：

锥体的体积公式：V=-Sh,其中S是锥体的底面积，〃是锥体的高.

3

球的表面积公式：S=4nR2,其中R是球的半径.

如果事件AB互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.满足=“该4，且M{q,%@={q@的集合M的个数是

（）

A.1B.2C.3D.4

———17

2.设z的共辄复数是z,若z+z=4,zz=8,则一等于（）

Z

A.iB.-iC.±1D.±i

（7T7TI

3.函数y=lncosx[-J的图象是（）

4.给出命题：若函数y=/(x)是嘉函数，则函数y=/(x)的图象不过第四象限.在它的

逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()

A.3B.2C.1D.0

-1-x2,元W1,

5.设函数9

X+x—2,x>1,

278

U8

15一---a

A.B.-169

16

6.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据,

可得该几何体的表面积是（）

A.9兀B.1071

C.1ITTD.12兀

7.不等式士三N2的解集是（)

U-D2

T(1，3]

A.C.1D.

-3T27)(向

8.已知a,b为△ABC的三个内角ABC的对边，向量

m-(>/3,-1),n=(cosAsinA).若帆且acos3+Z?cosA=csinC,则角AB

的大小分别为（)

兀712兀兀兀71兀兀

A.一,一B.----，一c.一，一D.

63363633

9.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（)

分数54321

人数2010303010

B,巫8

A.6C.3D.-

55

—j+sin<z=—>/3,则sin[a+*]的值是（

10.已知cosa-)

65

27327344

A.B.---C.D.-

555

11.若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴相切，则该圆的标

准方程是（）

A.（x—3）2+（y—g）=1B.（x-2）2+（y-l）2^l

c.（x-l）2+（y-3）2=lD.+（y-l）2=l

12.已知函数/（无）=108“（2*+。-1）（。＞0,的图象如图所示，则a,匕满足的关系

是（）

A.0<a-1<b<\B.0<Z?<a-1<1

C.0<Z?-1<«<-1D.0<a''<b''<1

第n卷(共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13.已知圆。：/+/-6%-4)，+8=0.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦

点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为

14.执行右边的程序框图，若〃=0.8,

则输出的〃=.

15.已知f(3")=4xlog23+233,

则/'(2)+/(4)+/(8)++/(28)的

值等于.

x-y+230,

5x-y-10W0,

16.设x,y满足约束条件<

x、0,

y20,

则z=2x+y的最大值为

三、解答题：本大题共6小题，共74分.

17.(本小题满分12分)

己知函数/(x)=J^sin(<yx+e)-cos@x+>](0<9<兀，口>0)为偶函数，且函数

y=/(x)图象的两相邻对称轴间的距离为^■.

(I)求/的值；

(H)将函数y=/(x)的图象向右平移四个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的

6

单调递减区间.

18.(本小题满分12分)

现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A4通晓日语，打通晓俄语，c，c

，A2,B,,B2,2

通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组.

(I)求4被选中的概率；

(ID求5和G不全被选中的概率.

19.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P—A5c。中，平面平面ABC。，AB//DC,△小£)是等边三

角形，已知6O=2AT)=8,AB=2DC=475.

(I)设〃是PC上的一点，证明：平面平面P4D；

(II)求四棱锥P—ABCD的体积.

20.(本小题满分12分)

将数列｛4｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

%

a2%

%%%

。7。9a\0

记表中的第一列数q，a2,a4,%,构成的数列为也｝,4=4=1.S”为数列出｝的前

〃项和，且满足——J=l(〃22).

(I)证明数列<>成等差数列，并求数列｛a｝的通项公式；

(II)上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为

同一个正数.当网|=—时，求上表中第A（Z23）行所有项的和.

21.（本小题满分12分）

设函数f（x）=x2ev-1+ax3+bx2,已知x=—2和x=1为/（%）的极值点.

（I）求4和。的值；

（II）讨论/（X）的单调性；

2

（III）设g（x）=§%3—%2,试比较/（X）与g（x）的大小.

22.（本小题满分14分）

己知曲线C,：tl+N=1（。＞。＞0）所围成的封闭图形的面积为4际,曲线G的内切圆半径

ab

尺

为2工.记c,为以曲线G与坐标轴的交点为顶点的椭圆.

3

（I）求椭圆C?的标准方程；

（II）设A3是过椭圆中心的任意弦，/是线段AB的垂直平分线.“是/上异于椭圆

中心的点.

。）若|朋0|=4口4|（。为坐标原点），当点A在椭圆G上运动时，求点M的轨迹方程;

（2）若M是/与椭圆G的交点，求△AMB的面积的最小值.

2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

文科数学（答案）

一、选择题

1.B解析：本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。集合M中必含有q,%,

则M={%%}或Af={%,%,4}•选B.

2.D解析：本小题主要考查共钝复数的概念、复数的运算。可设5=2+初，由z-5=8

得4+/=8,6=±2.-Q-2"=+/选口.

z88

3.A解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。y=lncosx(—&<x〈乙)是偶函数,

可排除B、D,由COSX的值域可以确定.选A.

4.C解析：本小题主要考查四种命题的真假。易知原命题是真命题，则其逆否命题也是

真命题，

而逆命题、否命题是假命题.故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题

有一个。选C.

5.A解析：本小题主要考查分段函数问题。正确利用分段函数来进行分段求值。

/⑵=4,|=/当=1-=".选A.

l/Qp41616

6.D解析：本小题主要考查三视图与几何体的表面积。

从三视图可以看出该几何体是由一个球和

一个圆柱组合而成的，其表面及为5=4»*12+〃、12乂2+2〃乂卜3=12%.选口。

7.D解析：本小题主要考查分式不等式的解法。易知XH1排除B;由X=0符合可排除

C；

由X=3排除A,故选D。也可用分式不等式的解法，将2移到左边直接求解。

8.C解析：本小题主要考查解三角形问题。百cosA-sinA=0,

A=—;=>sinAcos8+sin8cosA=sin2c

3

sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC=sin2C,

C=—TT.8=T上T.选C.本题在求角B时，也可用验证法.

26

9.B解析：本小题主要考查平均数、方差、标准差的概念及其运算。

-100+40+90+60+10.

x=-------------------=3,

100

S2=—[(X,-%)'+(^2-%)-++(x„-x)2]

n

=—[20x22+10xl2+30X12+10X22]

100

1608nS子选B.

100-5

10.C解析：本小题主要考查三角函数变换与求值。

cos(dz-—)+sin«=^-cosor+—sina=—>/3,

6225

1V3.4

一cosad-----sina=—,

225

..7式,TC1]4

sm(a+——)=-sm(a+—)sina+—cosa=——.

662J5

选c.

11.B解析：本小题主要考查圆与直线相切问题。

14a-311

设圆心为(a,1),由已知得d=!耳=1,a=2(舍—一).选B.

52

12.A解析：本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小。

由图易得a>1,/.0<a-1<1;取特殊点x=0=—l<y=log"/?<0,

=>-1=log—<logb<\og1=0,<b<1.选A.

二、填空题

22

13.--一±=1解析：本小题主要考查圆、双曲线的性质。圆。：/+丁一6尤-4>+8=0

412

丁=0=>%2-6%+8=0,得圆C与坐标轴的交点分别为(2,0),(4,0),

22

则a=2,c=4,户=12,所以双曲线的标准方程为二一二=1

412

14.4解析：本小题主要考查程序框图。

—I----1—>0.8,因此输出〃=4.

248

15.2008解析：本小题主要考查对数函数问题。

/(3*)=4xlog23+233=4log,3*+233,

=>f(x)=4log,x+233,/(2)+f(4)+f(8)++/(28)=

8x233+4(log22+2log22+3log22++8log22)=1864+144=2008.

16.11解析：本小题主要考查线性规划问题。作图(略)易知可行域为一个四角形，其四

个顶点

分别为(0,0),(0,2),(2,0),(3,5),验证知在点(3,5)时取得最大值11.

三、解答题

17.解：(【)/(x)=百sin(0x+e)-cos(④x+e)

=2——sin(s+*)——COS(GX+0)

2sin15+*一看

因为/(x)为偶函数,

所以对xcR,/(-%)=/(幻恒成立,

兀(71

因此sin(一①光+夕——)=sin①x+(p——

6I6

BP-sincoxcos(p——+coscoxsin

I6j

整理得sin④xcos=0.

因为0>0,且XER,

所以COS(p

又因为0v°v兀，

」，7171

故0----=—・

62

所以f(x)=2sin^69x+^=2COS69X.

2TEit

由题意得——二2—，所以0=2.

co2

故/(x)=2cos2x.

因此同

=2cos—=5/2.

4

(H)将/(x)的图象向右平移四个单位后，得到了的图象,

6

所以g(x)=/(xqj=2cos2x~~~

7T

当2hiW2x—W2E+兀（ZEZ）,

3

jr2冗

即E+—WXWE+二（A:GZ）时，g（x）单调递减，

63

jr27r

因此g（x）的单调递减区间为E+—,kn+——（ZeZ）.

63

18.解：（I）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基

本事件空间

。=｛（，，），（，），（，

44G4B、,C2）,（A-B2,GA/C2）,（A，BVCJ,

（，）（，）（）（）（

4ByC2,AByG,4,ByC2,A,,B2,c,,4,B2,C2）,

（，），（，）（，）（）（）

AB3,G4%C2,4ByC,,A3,ByC2,A,,B2,£,

（，。）（与）｝

4B2,2,&,BVG），（A，c2

由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生

是等可能的.

用M表示“4恰被选中”这一事件，则

A/=｛（A，B/G），（A，81,。2）,（4，B?,G），

（A，B2,C2）,（A，B3,G）,（A，B3,C2）｝

事件M由6个基本事件组成，

因而P（M）=9=L

183

（n）用N表示“用，G不全被选中”这一事件，则其对立事件正表示“Byc,全被选

中”这一事件，

由于R=｛（A，ByG）,（4，By£）,（&,ByC,）｝,事件》有3个基本事件组成，

—31—15

所以P（N）由对立事件的概率公式得尸（N）=1-P（N）=1--=-.

18666

19.（I）证明：在△ABO中，

由于AT>=4,BD=8,AB=4后，

p

所以A£)2+3r>2=A32.

故AD_L3O.

又平面24。，平面ABC。，平面24。平面ABC。=AD,

5。u平面ABC。，

所以班），平面尸AD,

又BDu平面MBD,

故平面MB。J_平面PAD.

(II)解：过P作PO_LAD交AO于O,

由于平面PA。，平面ABC。，

所以PO_L平面ABC。.

因此P。为四棱锥P-ABCD的高，

又△P4O是边长为4的等边三角形.

因此「。=也、4=26.

2

在底面四边形ABC0中，AB//DC,AB^2DC,

4xRR/s

所以四边形A3c。是梯形，在RtZWO3中，斜边4?边上的高为—二丝一,

此即为梯形ABCD的高，

所以四边形ABCD的面积为S=2石+步x当且=24.

25

故Vp_ABCD=；X24X=1.

2b

20.(I)证明：由已知，当〃》2时，------=1，

b凡-S：

又S“=伪+4++bn,

2(S,f_J

所以=1,

⑸-S,i)S,-S；

即空』2=1

一S“_R

所,以-------

2

又4=4=4=1・

/、

所以数列I工1是首项为1,公差为L的等差数列.

2

.._,1..1［、H+1

由上可r知=1d(zM-1)=------，

s,22

即S”=

〃+1

222

所以当心2时，止S,f广有一厂-诉

1,7?=1,

因此"=<

-------——，〃22・

n(n+1)

(II)解：设上表中从第三行起，每行的公比都为夕，且9>0.

因为1+2++12=^^=78,

2

所以表中第1行至第12行共含有数列｛4｝的前78项，

故为在表中第13行第三列，

,4

因此％]=43q=—•

所以9=2.

记表中第k(k23)行所有项的和为S,

则s=a"力=——--a")=2(1_2*)(k》3).

\-q%(左+1)1-2%(%+1)

21.解：(I)因为/(%)=>-|(2%+%2)+3=2+26%

=xe'T(x+2)+x(3ax+2b),

又x=-2和x=1为/(幻的极值点，所以又(-2)=又(1)=0,

-6ci+2Z?=0,

因此4

3+3a+2b—0,

解方程组得a=-1，b=-\.

3

(II)因为。=一1，b=-l,

3

所以八x)=x(x+2)(ei—1),

令(元)=0，解得玉二-2,x2=0,七=1•

因为当X£(-O。,—2)(0为时，1(x)v0；

当尤e(—2,0)(1,+00)时，/,(x)>0.

所以/(x)在(-2,0)和(1,+00)上是单调递增的；

在(-8,-2)和(0,1)上是单调递减的.

(III)由(1)可知/(xQfe'T—；/—/,

故/(%)-g(x)=x2ev-'-x3=x2(e*T-x),

令/z(x)=ei-x,

则Zi'(x)=e*T—l.

令l(x)=0,得x=l,

因为xw(-oo,l]时，〃'(x)W0,

所以〃(x)在xe(-8,1]上单调递减.

故xe(-8,1]时，h(x)/?(1)=0；

因为xe[l,+oo)时，〃'(x)20,

所以〃(x)在xe[l,+oo)上单调递增.

故XG[1,+OO)时，h(x)/?(1)=0.

所以对任意xe(—oo,+oo),恒有〃(x)20,又》220,

因此/(x)-g(x)20,

故对任意xe(-00,+oo),恒有/(x)2g(x).

lab=4&

22.解：(I)由题意得，曲2A/5

西+厂丁

又。>Z?>0,

解得/=5,b2=4.

22

因此所求椭圆的标准方程为土+匕=1.

54

（ID（1）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为丁=依（女工0）,

力）•

--+--=1，r2020公

解方程组54得/

4+5公4+5&2

y=kx,

2

所以2020k220(1+Zr)

4+5新4+5公4+5F

设M（x,y）,由题意知阿0|=川。4|（/1片0）,

所以1Moi2=421ali2,即f+,2=万20（1+?

因为/是AB的垂直平分线，

所以直线/的方程为y=-:X,

即2=-土，

y

(J、

201+T

20，+/)

2I

因此炉+9A门9

4y2+5元2

4+5—

y

又f+J#0,

所以5x2+4y2=2(M2,

27

xy12

故—।—=A..

45

又当女=0或不存在时，上式仍然成立.

22

综上所述，M的轨迹方程为二+工二万.工。）.

45

on20k2

（2）当上存在且女工0时，